Ejemplos de problemas resueltos #1 Carrera entre dos veleros sobre un lago de helado sin fricción m2 = 2m1 y Fviento = cte. en dirección horizontal Los dos veleros viajan la misma distancia s = ∆x ⇒ K1 = K 2 , porqué el trabajo es el mismo: ∆K = W = Fviento ∆x r r En la meta p = F ∆t , pero como m2 = 2m1 ⇒ ∆t2 > ∆t1 El impulso sobre el velero 2 debe ser más grande que sobre el velero 1, porque el tiene más inercia ⇒ p2 > p1 Como K1 = K2 , podemos deducir la rapidez del velero 2: 1 2 m1v12 = 12 m2v22 = 1 2 ( 2m1 ) v22 ⇒ v2 = 1 2 1 v p2 m2 v2 2m1 12 v1 Comparando las cantidades de movimiento: = = = 2 p1 m1v1 m1v1 1 #2 Patada sobre balón de fútbol Balón fútbol con masa m = 0.40kg y rapidez v1x = −20 una rapidez v = 30 m es pateada de modo que adquiere s m a un ángulo 45o en un tiempo ∆t = 0.010s s Puesto que sen45o = cos45o ≈ 0.707 Velocidades antes: v1x = −20 m y v1 y = 0 s Velocidades después: v2 x = v cos45o = v2 y = v sen45o = 0.707⋅ 30 m m = 21.2 s s m m m Impulso en x: J x = p2x − p1x = m ( v2x − v1x ) = 0.40kg 21.2 − −20 = 16.5kg ⋅ s s s m m Impulso en y: J y = p2 y − p1y = m ( v2 y − v1 y ) = 0.40kg 21.2 − 0 = 8.5kg ⋅ s s Las componentes de la fuerza media: ( Fmed ) x = magnitud Fmed = (1650N) + ( 850N ) 2 2 Jy Jx = 1650N y ( Fmed ) y = = 850N ∆t ∆t = 1.9 ×103 N 850N o y dirección θ = arctan = 27 1650N Observe que la velocidad final no tiene la misma dirección que la fuerza media. Esto porque inicialmente el balón no estaba en el reposo ⇒ introduce un factor aleatorio en el juego porque no se sabe exactamente en cual dirección se va ir el balón 2 #3 Choque en línea recta Dos deslizadores se acercan sobre un riel de aire sin fricción ⇒ energía es conservada = choque elástico Después de chocar, B se aleja con velocidad vBf = +2.0 m s Cantidad de movimiento antes del choque: m m m Pxi = m Av Ai + mB vBi = ( 0.50kg ) 2.0 + ( 0.30kg ) −2.0 = 0.40kg ⋅ s s s Aplicando el principio de conservación de momento lineal, cantidad de movimiento después del choque: Pxf = m Av Af + m B v Bf = 0.40kg ⋅ m s ⇒ v Af = Pxf − mB vBf mA = −0.40 m s El cambio de cantidad de movimiento de las partículas: m m ∆PA = mA ( vAf − v Ai ) = −1.2kg ⋅ y ∆PB = +1.2kg ⋅ s s El cambio de cantidad de movimiento es igual y opuesto, pero no el cambio en velocidad: ∆v A = −2.4 m m y ∆vB = 4.0 s s La magnitud de la fuerza es la misma pero, por la segunda ley de Newton, la magnitud de la aceleración es mayor para el cuerpo con menos masa o inercia 3 #4 Choque en plano horizontal Dos trozos de hielos se choque mA = 5.0kg , v Ai = 2.0 m s mB = 3.0kg , vBi = 0 Después del choque: v Af = 1.0 m en dirección α = 30o s Como no hay fuerza externa P = cte. Pxi = Pxf y Pyi = Pyf Por tanto en x: m Av Axi + mB vBxi = mA vAxf + mB vBxf ⇒ vBxf = ⇒ vBxf = mAv Axi + mBv Bxi − mAv Axf mB mA ( vAxi − vAxf mB = mAvAxi + 0 − mA vAxf mB ) Como cos30o ≈ 0.866 ⇒ vBxf = 5.0kg m m m +2.0 − 1.0 0.866 = 1.89 3.0kg s s s Igualmente en y: m Av Ayi + mB vByi = mA vAyf + mB vByf = 0 ⇒ vByf = − mA 5 m 5 1m m vAyf = − 1.0 sen30o = − ⋅ ; −0.83 mB 3 s 3 2 s s La magnitud vBf = (1.89 m s ) + ( −0.83 m s ) Dirección: β = arctan 2 2 −0.83 ms = −24o m 1.89 s 4 = 2.1 m s #5 Deslizadores que no rebotan mA vAi + mB vBi = ( mA + mB ) v f m m 0.50kg ⋅ 2.0 + 0.30kg ⋅ −2.0 m v + mB vBi m s s ⇒ v f = A Ai = = 0.5 mA + mB 0.50kg + 0.30kg s Los deslizadores se mueven juntos a la derecha. Antes del choque: 2 m K A = 12 m A v A2 = 12 ( 0.50kg ) 2.0 = 1.0J s 2 m K B = m v = ( 0.30kg ) −2.0 = 0.60J s 1 2 2 B B 1 2 ⇒ Ki = 1.6J Después del choque: 2 m K f = ( m A + m B ) v = ( 0.50kg + 0.30kg ) 0.50 = 0.10J s 1 2 Kf = 2 f 1 2 1 Ki 16 El trabajo: ∆K = K f − Ki = 0.10J − 1.60J = − 15 Ki 16 La mayoría parte de la energía se fue 5 #6 Choque inelástico de dos autos Auto compacto mA = 1000kg , v A = 15 Auto de lujo mB = 2000kg , vB = 10 m al norte s m al este s Los dos autos después del choque quedan enganchados y se aleja del punto de impacto con el ángulo θ - componentes de cantidad de movimiento p x = pAx + pBx = m Av Ax + mB vBx = 0 + (2000kg) ⋅ (10 p y = pAy + pBy = m AvAy + mB vBy = (1000kg) ⋅ (15 m m ) = 2.0 ×104 kg ⋅ s s m m ) + 0 = 1.5 ×104 kg ⋅ s s r m m m Magnitud p = 2.0 × 104 kg ⋅ + 1.5 ×104 kg ⋅ = 2.5 ×104 kg ⋅ s s s 2 Dirección θ = arctan py px 2 = 37 o 6 Tratamos el sistema como aislado. Vemos ahora si esto es justificado Si mB = 2000kg , el peso w = mg = 20000N Si supongamos un coeficiente de fricción µk = 0.5 La fuerza de fricción f = 10000N , esto es relativamente alto Comparamos esta fuerza con las fuerzas inelásticas (internas) que paro el auto: 2 La energía cinética del coche B antes de la colisión: 1 m ( 2000kg ) ⋅ 10 = 1.0 ×105 J 2 s El trabajo para parar el coche es: W = −1.0 ×105 J Si el coche se aplasta 0.2m, la fuerza promedia para hacer este trabajo es igual a: W −1.0 ×105 J F≈ = = 5 ×105 N ∆s 0.2m Esto es 50 × la fuerza de fricción entre el auto y el suelo ⇒ justifica tratar el sistema como aislado Si los autos no se desprenden: M = 3000kg m 4 p 2.5 ×10 kg ⋅ s m ⇒V = = = 8.3 M 3000kg s La energía cinética inicial: La energía cinética final: 1 2 1 2 m Av 2A + 12 m B vB2 = 2.1× 105 J MV 2 = 1.0 × 10 5 J Más de la mitad de la energía cinética se convirtió en otras formas 7 #7Choque rectilíneo elástico m Av Ai + mB vBi = mA vAf + mB vBf 0.4kg m = 0.5kg ⋅ v Af + 0.3kg ⋅ vBf s Usando relación entre velocidades relativas: vBf − vAf = − ( v Bi − v Ai ) m m m vBf − v Af = − −2.0 − 2.0 = 4.0 s s s Antes del choque la velocidad de B relativa a A hacia izquierda es −4.0 choque la velocidad de B relativa a A hacia derecha es 4.0 m = 0.5kg ⋅ v Af + 0.3kg ⋅ vBf = s m = 0.5kg ⋅ v Af + 0.3kg 4.0 + v Af s m = 0.8kg ⋅ v Af + 1.2kg s m −0.8kg s = −1.0 m = 0.8kg s m , después del s m s ⇒ 0.4kg ⇒ v Af ⇒ vBf = 4.0 = m m + v Af = +3.0 s s Ambos cuerpos invierten sus direcciones, esto es diferente a ej. 8.5, porque el choque aquí es elástico 2 2 m m Por lo tanto, K f = 12 0.50kg −1.0 + 12 0.30kg 3.0 = 1.6J o K f = Ki s s 8 #8 Honda gravitatoria Una sonda (objeto A) se aproxima de Saturno (objeto B) mA = 825kg , v A = 10.4 km km y m B = 5.69 ×10 26 kg , vB = −9.6 s s Consideramos la interacción como una colisión elástica Como la velocidad relativa es constante: v Af − vBf = − ( v Ai − v Bi ) Considerando la diferencia de masa, podemos suponer vB = cte. ⇒ v Af = −v Ai + vBi + vBf = −10.4 km km km km − 9.6 − 9.6 = −29.6 s s s s Esto es aproximadamente 3 veces mayor La energía cinética de la sonda aumenta por un factor 8 veces mayor La razón porque K aumenta es que Saturno se esta moviendo – aquí viene el suplemente de energía – como el satélite tiene menor masa, el gana más energía cinética en la interacción elástica 9 #9 Dos hombres ligados por una cuerda sobre una superficie sin fricción m1 = 60.0kg y m2 = 90.0kg , separados por d = 20m Los dos empiezan a tirar sobre la cuerda (sin peso) ¿De cuantos m1 se mueve si m2 se mueve de 6m hacia el centro? r r Como no hay fuerza externa P = 0 ⇒ vcm = 0 Si pongamos el origen al centro: x1i = 10m y x2i = −10m ⇒ xcm = ( 90.0kg )( −10.0m) + ( 60.0kg )( +10.0m ) = −2.0m 90.0kg + 60.0kg A moverse 6m ⇒ x2 f = −4m Como xcm = ⇒ x1 f = x2 f m2 + x1 f m1 m2 + m1 xcm ( m2 + m1 ) − x2 f m2 m1 = −2.0m (150.0kg ) − ( −4.0m ) 90.0kg 60.0kg = +1.0m Moví −9.0m Si continúan a tirar, el hombre con el peso menor llegara al centro primero al centro de masa 10