2 - Choque Plástico, choque elástico y Centro de masa ( 69 Pag ) ( F14-15 ) (1)

F14-15
FISICA CBC
PROBLEMAS
RESUELTOS
CHOQUE
* IMPULSO
* CANTIDAD DE MOVIMIENTO
* CHOQUE PLÁSTICO
* CHOQUE EN DOS DIMENSIONES
* CHOQUE ELÁSTICO
* CHOQUE EXPLOSIVO
* CENTRO DE MASA
F14-15
20-05-05
ASIMOV
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3.21 Dos esferas de masa mA y mB están suspendidas de modo tal que en su posición de equilibrio
sus centros de masa quedan a la misma altura. Se separa la esfera A de la posición inicial y se la deja
caer desde una altura h contra la esfera B, con la que choca en forma perfectamente elástica. La
relación entre sus masas es mA / mB = 3. Luego la altura a la que llegaría la esfera B será:
a) 2 h
b) 1/4 h
c) h
d) 9/4 h
e) 2,5 h
f) 3/2 h
Según lo que describe el problema, el asunto
parece ser algo así:
El problema es de un choque perfectamente
elástico, por lo tanto se conserva la cantidad
de movimiento y la energía mecánica.
Planteo la conservación de la cantidad de movimiento durante el choque: PF = P0
mA |VA0| + mB |VB0| = mA |VAf| + mB |VBf|
Me dieron una relación entre las masas de las bolas: mA = 3 mB. La misma ecuación con
este reemplazo quedaría: 3 mB |VA0| + mB |VB0| = 3mB |VAf| + mB |VBf|
Puedo cancelar mB en todos los términos: 3|VA0| + |VB0| = 3|VAf| + |VBf|
Como antes del choque la bola B está quieta, |VB0| = 0 .
Entonces: 3|VA0| = 3|VAf| + |VBf|
(a)
Por otro lado, puedo averiguar |VA0|: antes del choque, la bola A parte desde una altura
h y sin velocidad. Planteo conservación de energía:
∆Em = 0
Em0 = Emf
Em0 = mA g h ⇒ VA0 =
⇒
Emf = ½ mA V2A0
Reemplazo en la ecuación (a):
para la bola A
2gh
g h = ½ V2A0
3 2gh = 3 VAf + VBf
(1)
La ecuación (1) tiene 2 incógnitas, así que tengo que buscar una ecuación más para poder
resolver el problema. Planteemos la conservación de energía cinética durante el choque:
∆Ec = 0, entonces: ½ mA V2A0 + ½ mB V2B0 = ½ mA V2Af + ½ mB V2Bf
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Bueno, pero sabemos que mA = 3mB, |VB0| = 0 y además VA0 =
el ½ que aparece en todos los términos. Entonces:
2gh . y podemos cancelar
3 mB 2gh = 3mB VAf2 + mB VBf2
También puedo cancelar el término mB:
6 gh = 3VAf2 + VBf2
(2)
Ya tengo las 2 ecuaciones que necesito. Ahora trabajemos con eso para poder resolver el
sistema. Voy a tomar la (1) y la voy a elevar al cuadrado para sacarme de encima la raíz
(
18 gh = 3 VAf + VBf
)
2
Y resolviendo el cuadrado del binomio que nos queda:
6 gh = 3 V2Af + 1/3 V2Bf + 2 |VAf| |VBf|
Ahora la igualo con la ecuación (2): 3V2Af + V2Bf = 3V2Af + 1/3 V2Bf + 2 |VAf| |VBf|
Simplificando y pasando de término… 2/3 V2Bf - 2 |VAf| |VBf| = 0
Saco factor común: VBf (2/3 |VBf| - 2 |VAf| ) = 0
Entonces: ó VBf = 0 (lo cual es un absurdo que la bola B no se mueva después del choque)
Ó 2/3 |VBf| - 2 |VAf| = 0
Entonces: |VBf| = 3 |VAf|
Ahora reemplacemos (3) en la (1) original
Entonces VBf =
3
2gh
2
⇒3
(3)
2 g h = 2 VBf
(b)
Tengo la velocidad de la bola B después del choque en función de la altura h con la que
parte la bola A. Ahora tenemos que encontrar la altura que alcanza la bola B. La voy a
llamar HB. Después del choque para la bola B se conserva la energía
Por lo tanto:
Emf = mB g HB
∆Em = 0
Em0 = ½ mB V2Bf
Entonces: ½ V2Bf = g HB
Como de la ecuación (b) sabemos que: VBf =
3
2gh
2
Reemplazamos en la última expresión y despejamos:
HB = 9/4 h
Correcta la d)