2.- Análisis de líneas Una línea de transmisión puede verse como un dispositivo de dos puertas cuya matriz de dispersión, referida un valor R0 para ambas puertas es: S= LM 0 MNe −γl e −γl 0 OP PQ R0 es la impedancia característica de la línea (que en líneas de bajas pérdidas es un valor real), l es la longitud de la línea y g es una constante compleja que depende de sus características físicas: γ=α + jβ En una línea terminada en ambas puertas con una impedancia igual a la característica se tiene que: l R0 V1 + + R0 V2 al ser s11 = s22 = 0, resulta que b1 = a2 =0 y b2 = e-γla1 V1 = como R 0 (a1 + b1 ) = V2 = R 0 (a 2 + b2 ) = R 0 a1 R 0 b2 = R 0 e −γl a1 = V1e −γl la relación entre tensiones entrada/salida será: V2 = V1e −γl = (V1e −αl )e − jβl a es la constante de atenuación de la línea (Np/mt) y β , la constante de fase (rad/mt o grados/mt) β= 2π λ linea = 2πf v linea donde llinea es, a la frecuencia de operación, la longitud de onda de la OEM en la línea y vlinea su velocidad de propagación. Normalmente, las líneas utilizadas en aplicaciones de circuitos de RF son de bajas pérdidas, lo que significa que α −> 0 y γ = jβl = jθ , donde θ (rad. o grad.) es la longitud eléctrica de la línea. En todo lo que sigue se supone esta característica. Si la impedancia de carga de la línea es Zc, diferente a R0, se tiene que: Γe = s11 + s12s21Γc = s12s21Γc = e − j 2θ Γc 1− s22Γc donde Γc = Zc − R0 Zc + R0 La impedancia de entrada a una distancia (angular) θ de la carga vale: 1+ Γe 1 + Γ c e − j 2θ = R0 Zent = R0 1− Γe 1 − Γ c e − j 2θ Notar que, en el ábaco de Smith, Γe resulta de girar Γc en sentido horario un ángulo 2θ (de la carga hacia el generador), es decir, el doble de la longitud eléctrica de la línea. hacia generador 2θ En plano r-x, ze En plano u-v, Γe Γc En plano r-x, zc En plano u-v, Γc Γe=Γce-j2θ -j2θ o si θ = 90 (línea de cuarto de onda) , e si θ=180o (línea de media onda) = -1 , e-j2θ = +1 y y Ze = R0 1 − Γ c R 02 = 1+ Γ c Zc Ze = R0 1+ Γc = Zc 1− Γc Para el caso particular que Zc = 0 (cortocircuito) se tiene que Γc = -1 y: Ze = R0 1− e − j 2ϑ 1+ e − j 2ϑ Si Zc = ∞ (circuito abierto), Γc = +1 = R0 e jϑ − e − jϑ e jϑ + e − jϑ = jR0 tan(ϑ) Ze = R0 1+ e−j 2ϑ 1− e−j 2ϑ = R0 e jϑ + e−jϑ e jϑ − e−jϑ =−j R0 tan(ϑ) Para algunas aplicaciones en frecuencias de UHF y superiores, se utilizan líneas en cortocircuito y circuito abierto como inductancias o capacitores en derivación. Normalmente de longitud θ < 90o. También se pueden utilizar segmentos de línea en ramas serie para sintetizar redes de acoplamiento o adaptación. 3.- Diseño de amplificadores lineales de pequeña señal Diagrama en bloques de un amplificador de una etapa: Red adap. entrada Dispositivo Activo Red adap. salida [S] X X Z1 ref Ro Z2 Γ2 = (Z2-Ro)/(Z2+Ro) Γ1 = (Z1-Ro)/(Z1+Ro) Γg Zg Γe Ze Γs Zs Γc Zc Normalmente, las impedancias de generador y carga (Zg y Zc) que se deben presentar al dispositivo activo son diferentes a las reales (Z1 y Z2), por ello la necesidad de incluir redes de adaptación de entrada y salida. Si el dispositivo activo está caracterizado por su matriz [S], referida a un determinado valor (R0=50Ω generalmente), pueden definirse los coeficientes Γ correspondientes tomando el mismo valor de referencia. La ganancia de transducción del dispositivo vale: 2 g T = s 21 . donde: (1 − Γ c 2 ).(1 − Γ g 2 2 1 − Γ e . Γ g . 1 − s 22 . Γ c Γ e = s11 + Γc = s12 . s21. Γ c 1 − s22 . Γ c Zc −R0 Zc +R0 2 ) 2 o gT = s 21 . y Γ s = s22 + y Γg = 2 (1 − Γ c ).(1 − Γ g ) 2 2 1 − Γ s . Γ c . 1 − s11. Γ g s12. s21. Γ g 1− s11. Γ g Z g − R0 Z g + R0 Normalmente, el diseño se debe realizar para obtener un determinado valor de ganancia de transducción. a) Dispositivo incondicional estable 2 Se define la máxima ganancia disponible del dispositivo cuando Γg = Γe* y Γc = Γs*, es decir, existe adaptación conjugada a la entrada y salida. Para encontrar los valores de Γg y Γc adecuados, se deben solucionar las ecuaciones complejas: F = Gs H s12. s21. Γc 11 + 1− s22. Γc Γg IJ K ∗ Γc y F = Gs H 22 + s12 . s21. Γ g 1 − s11. Γ g I JK ∗ Puede demostrarse que las soluciones, para cargas pasivas, existen únicamente si se cumplen las siguientes condiciones de estabilidad : 2 K= o 2 1 − s11 − s22 + ∆ s 2. s12. s21 1 − s22 µ= 2 >1 y ∆s <1 (condiciones de Rollet) 2 s11 − s22∗ .∆ s + s12 .s21 >1 (condición de Edwards) Si se cumplen las condiciones de arriba, se dice que el dispositivo activo es incondicional estable: cualquier valor de |Γc|<1 (Zc con parte real positiva), se reflejará en la entrada como |Γe|<1 y, viceversa, cualquier valor de |Γg|<1 (Zg con parte real positiva), se reflejará en la salida como |Γs|<1. Las soluciones para Γg y Γc son: Γ donde: g = B1 − B 12 − 4 . C 1 2 Γc = 2.C 1 2 2 B1 = 1+ s11 − s22 − ∆s C1 = s11 − ∆s .s2∗2 2 B2 − B22 − 4. C2 2 2.C2 2 2 , B2 = 1+ s22 − s11 − ∆s , C2 = s 22 − ∆ s . s1∗1 2 Usualmente, los programas de simulación de circuitos de RF, dan las soluciones para Γg y Γc o Zg y Zc que permiten adaptación conjugada en entrada/salida y se dispone de los parámetros K y ∆s y µ. La ganancia de transducción de un dispositivo incondicional estable puede ponerse s21 s .( K − K 2 − 1 ) . La relación 21 es un factor de mérito también como : gT = s12 s12 del dispositivo que indica la máxima ganancia de transducción disponible en condiciones estables (MSG, también disponible en los programas de diseño de RF) b) Dispositivo potencial inestable Si |s11| y |s22| son menores que 1, pero no se cumplen las condiciones de estabildad (Rollet o µ), se dice que el dispositivo es potencial inestable, es decir, pueden existir valores de |Γg|<1 que hagan |Γs|>1 (Zs con parte real negativa) o valores de |Γc|<1 que hagan |Γe|>1 (Ze con parte real negativa). s12.s21.Γc = 1 da los valores de Γc que La solución de la ecuación compleja s11 + 1− s22.Γc hacen |Γe| =1. Puede demostrarse que representando Γc en el ábaco de Smith (plano de carga), la solución de la ecuación anterior define un círculo de centro Ccar y radio Rcar : Ccar = ∗ s22 − ∆ ∗s .s11 2 s22 − ∆ s Rcar = 2 s12 .s 21 s 22 2 − ∆s 2 El círculo representa la frontera de valores de Γc que hacen |Γe| =1, valores de Γc que estén dentro del círculo harán |Γe| mayor o menor que 1 mientras que si están fuera de él, |Γe| será menor o mayor que 1. El lado que hace |Γe| >1 es la zona inestable y prohibida para Γc. Si Γc =0, entonces Γe =s11, si |s11|<1 el centro del ábaco de Smith representando al plano de carga pertenece a la zona estable (caso normal). En el caso de un dispositivo incondicional estable, el círculo de inestabilidad no se superpone con el plano de carga. Dispositivo condicional estable Frontera |Γe|=1 zona prohibida para Γc Círculos de estabilidad Dispositivo incondicional estable Plano de Carga |s11|<1 Igualmente, la solución de s22 + s12.s21.Γg 1− s11.Γg = 1 determina los valores de Γg que hacen |Γs| = 1 y se representa en el plano de Γg (plano de generador) como un círculo de centro Cgen y radio Rgen: C gen = s11∗ − ∆ ∗s .s22 2 s11 − ∆ s R gen = 2 s12 .s 21 2 s11 − ∆ s 2 Como antes, el círculo representa la frontera para los valores admisibles de Γg. Si |s22|<1, el centro del ábaco de Smith representando al plano de generador, pertenece a la zona estable. En aquellos casos en que el diseño no se hace utilizando la matriz S del dispositivo sino p.ej. un modelo físico, el modelo lineal pi híbrido, etc., el control de la potencial inestabilidad del amplificador se debe hacer analizando las impedancias de entrada y salida en el rango de frecuencias mas amplio posible. Se debe comprobar que ambas presenten parte real positiva. Aunque la existencia de impedancias entrada/salida con parte real negativa no significa que el amplificador será inestable (depende de las condiciones de carga), si marca una tendencia hacia la oscilación que se debe tratar de evitar. Dispositivo condicional estable Frontera |Γg|=1 zona prohibida para Γg Círculos de estabilidad Dispositivo incondicional estable Plano de Generador |s22|<1 El amplificador será estable mientras Γg y Γc se mantengan fuera de las zonas prohibidas de los planos de generador y carga respectivamente en todo el rango útil del dispositivo. Si el dispositivo activo es incondicional estable, es posible hacer Γg = Γe* y Γc = Γs* y diseñar las redes de entrada/salida para que las impedancias terminales Z1 y Z2 presenten al dispositivo activo los valores correctos Ze y Zc establecidos: Si el dispositivo activo es potencial inestable, la adaptación conjugada de entrada y salida simultáneamente no es realizable. Sin embargo, puede diseñarse un amplificador estable siguiendo tres caminos: (a) adaptación conjugada a la salida, entrada desadaptada para lograr estabilidad. (b) adaptación conjugada de entrada, salida desadaptada y (c) no utilizar adaptación conjugada en ninguna puerta fijando valores de Γg y Γc que, estando dentro de la zona estable de los planos de generador y carga, permitan obtener la ganancia especificada. Si el dispositivo ofrece mayor ganancia que la especificada, puede intentarse una cuarta variante: (d) reducir la ganancia del dispositivo con una carga resistiva para hacerlo incondicional estable y recién intentar adaptar conjugadamente entrada/salida. En todos los casos es necesario comprobar la estabilidad del amplificador en su rango útil de frecuencia. Las dos últimas alternativas: (c) y (d), permiten llegar relativamente rápido a resultados razonables. Es preferible intentar siempre primero con (d). a) Adaptación conjugada de salida: Γc = Γs* , en éste caso: 2 (1 − Γ c ).(1 − Γ g 2 g T = s 21 . 2 2 2 ) 1 − Γ s . Γ c . 1 − s 11. Γ g (1 − Γ s ).(1 − Γ g 2 2 = s 21 . 1 − Γ s .Γ s ∗ 2 2 ) . 1 − s 11. Γ g 2 2 gT ( Γ c = Γ s∗ ) (1 − Γ g ) 2 = g av ( Γ g ) = s 21 . 2 (1 − Γ s ). 1 − s11. Γ g 2 como Γs = Γs(Γg), resulta que gT = gT(Γg) = gav(Γg) , que se define como la ganancia disponible (available gain) del amplificador, función del coeficiente (o impedancia) de reflexión del generador. Resolviendo la expresión de gav en función de Γg , es posible llegar a un conjunto de valores de Γg que suministran la ganancia especificada. Los valores obtenidos, forman un círculo en el plano de entrada de centro y radio Cav y Rav C av = 2 ∗ g .( s11 − ∆ ∗s .s 22 ) 2 2 1 + g .( s11 − ∆ s ) donde g= Rav = 1 − 2.K . s12 .s21 .g + s12 .s21 .g 2 2 2 1 − g .( s11 − ∆ s ) gav s21 2 En algunos casos, los fabricantes de semiconductores proveen en las hojas de datos, curvas de gav en función de Γg . Fijado un valor de Γg, por conveniencia o recomendación del fabricante, es posible determinar Γs y luego Γc = Γs* . Si el valor de Γc no cae dentro del círculo de inestabilidad del plano de carga, es una solución correcta. Este es el caso normal que se presenta cuando el amplificador debe cumplir con especificaciones sobre el ruido máximo que puede aportar al sistema al que debe integrarse, normalmente existe, como dato, un conjunto de valores para la impedancia de generador o coeficientes Γg que deben respetarse para lograr los resultados deseados. b) Adaptación conjugada de entrada: Γg = Γe* , en éste caso: 2 2 (1 − Γ c ).(1 − Γ g ) 2 gT = s 21 . gT ( Γ g = 2 1 − Γ e . Γ g . 1 − s 22 . Γ c Γ e∗ ) 2 = g p ( Γ c ) = s 21 . 2 2 2 (1 − Γ c ).(1 − Γ e ) 2 = s 21 . 2 1 − Γ e . Γ e ∗ . 1 − s 22 . Γ c 2 2 (1 − Γ c ) 2 (1 − Γ e ). 1 − s 22 . Γ c 2 como Γe= Γe(Γc), resulta que gp = gT(Γc) = gp(Γc) , que se define como la ganancia de potencia del amplificador, función del coeficiente de reflexión de la carga (o impedancia) . Igual que en el caso anterior, una ganancia de potencia especificada gp determina en el plano de carga un círculo de centro Ccar y radio Rcar dados por: C car = donde 2 ∗ g .( s 22 − ∆ ∗s .s11 ) 1 + g .( s 22 g= gp s21 2 2 2 − ∆s ) Rcar = 1 − 2.K . s12 .s 21 . g + s12 .s 21 . g 2 2 2 1 − g .( s 22 − ∆ s ) Como antes, el valor a seleccionar de Γc debe estar dentro de la zona permitida en el mismo plano. Fijado un valor de Γc , es posible determinar Γe y luego Γg = Γe* . Si el valor de Γg no cae dentro del círculo de inestabilidad del plano de generador, es una solución correcta. c) Es posible determinar valores de Γg y Γc que estén dentro de las zonas permitidas de los planos de generador y carga respectivamente y permitan obtener valores de ganancia admisibles aunque no exista adaptación en ninguna puerta. Un método de diseño, ayudado por programas CAD, que generalmente da buenos resultados es el siguiente: c1) Analizar el dispositivo dentro del rango de frecuencia de trabajo. Observando |s21|2, variando las impedancias de normalización R01 y R02 se puede determinar rápidamente la combinación que aproxime |s21|2 al valor de ganancia de transducción buscado. Obtenidos R01 y R02 quedan determinados Γg y Γc (reales) que deben estar dentro de la zona permitida. c2) Diseñar las redes entrada/salida para transformar Z1 y Z2 a R01 y R02 c3) Controlar la estabilidad del circuito completo (esto es muy importante) y confirmar la ganancia obtenida. d) En algunos casos, es posible transformar un dispositivo potencial inestable en incondicional estable cargando resistivamente la entrada y/o salida con el objeto de disminuir su ganancia. Generalmente, los mejores resultados se obtienen incorporando una resistencia de valor adecuado en paralelo o serie con la salida del dispositivo.