La expansión del Universo en un mundo Newtoniano

Rodolfo P. Martı́nez y Romero
Facultad de Ciencias
La expansión del Universo
en un mundo Newtoniano
I Introducción
En 1664 uno de los cursos más interesantes de filosofı́a natural en la Universidad
de Cambridge era estudiar y discutir el comportamiento de cuerpos pesados como
son los planetas. Los estudiantes se reunı́an para discutir qué es lo que hace que
estos objetos se muevan como lo hacen y cuáles leyes los rigen. Es importante, sin
embargo, aclarar que hasta el siglo XVI el comportamiento de los objetos celestiales
(es decir “del cielo” y por lo tanto en contacto con lo divino), no tenı́an nada que
ver con el comportamiento de los objetos terrenales, puesto que el comportamiento
de aquellos era regido por leyes divinas. Visto desde nuestra perspectiva contemporánea, este curso debió haber sido un tanto herético o por lo menos fuera de la
lı́nea del pensamiento convencional de la época. Como quiera que sea, es claro que
vientos nuevos ya soplaban sobre la Inglaterra del siglo XVII, lo que permitió la
expansión del pensamiento cientı́fico.
Desgraciadamente, la peste que asoló a Europa en el año siguiente obligó a
la Universidad a cerrar sus cursos en espera de mejores tiempos. Un muchacho
“scholar of the college” que asistı́a a esos cursos llamado Isaac Newton se vió
entonces obligado a regresar a su casa, en Woolsthorpe. Ahı́, en la comodidad de su
hogar (presumimos), Newton continuó pensando sobre las causas del movimiento de
los planetas. Hay que entender, sin embargo, que para él esto equivalı́a a conocer
el pensamiento de Dios, puesto que para la época era Dios y sólo él quien regı́a el
movimiento de los planetas. Un punto de vista un tanto diferente al pensamiento
religioso actual, en donde se acepta que Dios creó las leyes de la fı́sica como parte
de la naturaleza y que son éstas quienes gobiernan a la materia.
En una biografı́a sobre Newton aparecida 87 años después y escrita por su
amigo Stuckeley, el autor señala que la inspiración clave sobre el movimiento de los
2
La expansión del universo
planetas le vino a Newton un dı́a cuando que se encontraba contemplativo en un
jardı́n de manzanos viendo caer una manzana. La anécdota de que la manzana le
cayó precisamente en la cabeza seguramente es una exageración.
El primer paso de Newton, parece ser, fue el de suponer la revolucionaria idea de
que la luna sufre el mismo tipo de atracción sobre la tierra que la manzana, aunque
aquella sea un objeto celestial. Si sufre la luna una atracción gravitacional por parte
de la tierra (y viceversa) como cualquier otro objeto material, entonces deberı́a ser
posible conocer la aceleración centrı́peta que tiene la luna debido a la fuerza de
atracción existente entre la tierra y ella. En efecto, ya en la época se conocı́a el
perı́odo de revolución de la luna y también (por geometrı́a) la distancia entre la
tierra y ella. Con estos datos es posible conocer la aceleración centrı́peta que tiene
la luna al girar alrededor de la tierra, que debe ser aluna = vl2 /rl ≈ 0.00273 m/seg2 .
Por supuesto, vl es la velocidad que tiene la luna al girar alrededor de la tierra y
rl la distancia entre los centros de ambos cuerpos celestes.
El segundo paso fue aún más arriesgado. En la época ya se empezaba a pensar
que la gravedad entre dos objetos actúa siguiendo una ley que va con el inverso del
cuadrado de la distancia que los separa. En el caso de la tierra y la luna, más o
menos se puede entender cuál puede ser la distancia. Uno puede suponer que la
distancia entra la tierra y la luna es la que separa la superficie de la tierra con la
superficie de la luna, que no deberı́a ser tan diferente de la distancia que separa a
los centros de ambos cuerpos, porque la distancia entre ellos es grande comparada
con su tamaño. ¿Pero entre la manzana y la tierra? Para cuerpos tan grandes como
la tierra (y al mismo tiempo tan pequeños como una manzana), no es claro cómo se
debe medir la distancia entre ellos. La intuición de Newton fue la de suponer que la
distancia entre la tierra y la luna que verdaderamente cuenta, es la distancia entre
los centros. Pero para probarlo Newton tuvo que inventar el cálculo diferencial.
Después de todo era un genio. Los resultados en donde prueba que la fuerza de
gravedad actúa como si la masa de la tierra y de la luna estuvieran concentradas en
su centro, solamente aparecieron hasta el año de 1687, es decir hasta que cumplió
los 45 años, cuando salieron a la luz los Principia Mathematica.
Lo que hizo Newton fue comparar la aceleración de la manzana en la superficie
de la tierra amanzana ≈ 9.81 m/seg2 con la de la luna. Entonces, si la distancia
entre la tierra y la manzana es, (despreciando la altura que tiene ésta sobre el
suelo), el radio de la tierra rt ≈ 6300 km , y si la fuerza entre la tierra y la luna es
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los centros, como ocurre
con la fuerza de gravedad entre la manzana y la tierra, se debe cumplir que
Cosmologı́a Newtoniana
2
Rluna
amanzana
∼ 2
aluna
rtierra
3
(1)
Con los datos disponibles en la época, Newton encontró que la cantidad de la
izquierda de la ecuación de arriba es aproximadamente 3600, lo que (claro), confirmó
sus sospechas de que la fuerza de gravedad entre distintos objetos es inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.
Pero no solamente Newton fue capaz de encontrar los resultados descritos arriba,
sino que fue mucho más lejos, al poder deducir también las 3 leyes de Kepler que
hasta entonces eran puramente observacionales. Uno de sus grandes logros de hecho.
Newton propuso su famosa ley de gravitación y propuso que todo cuerpo material
cumple con ella. A todos nos la enseñan en a escuela elemental.
II Cosmologı́a Newtoniana
La publicacion de los Principia Mathematica permitió a Newton explicar el
movimiento en órbitas elı́pticas de los planetas en nuestro sistema solar, la ley de
áreas barridas en su movimiento por los planetas y la ley de los perı́odos también
formulada por Kepler. Ası́, sabemos entonces que la constante de proporcionalidad
entre el cuadrado del perı́odo y el cubo de la distancia media entre el sol y el planeta
2π
es simplemente ( GM
)2 , en donde G es la constante universal de gravitación y
⊙
M⊙ la masa del sol. Estos formidables triunfos inspiraron a Edmund Halley (1656–
1742), a usar la teorı́a de la gravitación de Newton para predecir exitosamente la
llegada de un cometa, (ahora llamado cometa Halley, por supuesto), avistado en
1456, 1531, 1607 y 1682, en el año de 1758.
Newton también estudió el cosmos e intuyó que la distribución de cuerpos celestes (en su época no se hablaba de nebulosas ni de galaxias) es homogénea, es decir,
distribuida uniformemente en todo el cosmos e isotrópica, o sea, tiene las mismas
propiedades en cualquier dirección. Esta suposición fue formulada por él, a pesar
de la muy evidente anisotropı́a que representa la vı́a láctea. Por supuesto que las
propiedades de isotropı́a y de homogeneidad se realizan a escalas más bien grandes
y no toman en cuenta posibles desviaciones locales, como por ejemplo la vı́a láctea
ya mencionada. Esta suposición de Newton ha sido elevada a rango de principio y
se le conoce con el nombre de principio cosmológico, el cual va o menos como sigue:
En el espacio tridimensional el universo es homogéneo e isotrópico. Siempre ha
sido asi y siempre será ası́.
4
La expansión del universo
Claro que en realidad no sabemos si es cierta esta afirmación, pero por el momento lo tomaremos como uno de los principios más básicos de la cosmologia, inclusive de la más moderna. Sin embargo, las mediciones apuntan a que a escalas muy
grandes, el universo es bastante homogéneo e isotrópico. Por ejemplo, si contamos
el número promedio N de galaxias en una esfera de al menos 100 millones de años
luz y δN es la fluctuación promedio (raı́z cuadrada promedio), las observaciones
dan como resultado δN/N ∼ 0.5. Nada mal para el principio cosmológico.
Pero hasta los genios se equivocan (y los tontos aciertan). Newton se dio cuenta
que, puesto que todos los cuerpos se atraen mutuamente, entonces el universo deberı́a
colapsarse espontáneamente. Claramente, hasta en los tiempos de Newton esto no
era observado, ası́ que él concluyó que la razón de que no se colapsara el universo es
que la atracción entre cuerpos estelares dentro de, digamos una esfera, se tenı́a que
compensar por... ¡la atracción por parte de los cuerpos que se encuentran fuera de
ella!
Ahora sabemos que esta última afirmación no es cierta. Para verlo daremos
un sencillo argumento que debe convencernos. Tomemos una esfera S con materia
adentro y tracemos además una capa exterior arbitraria S’ de grosor h como se ve
en la figura 1. Supongamos que la densidad de materia es uniforme. En la figura
la densidad de materia queda representada por pequeños puntos que representan a
la materia. Queremos ver cómo influye la capa de materia S’ en un punto material
P que se encuentre dentro de la esfera. Supongamos que iniciamos con P justo en
el centro. Por simetrı́a, las fuerzas gravitacionales de capa exterior se anulan en ese
punto. Si lo movemos fuera del centro, como se ve en al figura, vamos a ver que las
fuerzas siguen anulándose usando un sencillo argumento. Tracemos un cono (el que
nos guste) desde el punto P ; la materia en la capa que se ve desde en el fondo del
cono, denotada por m en la figura 1, disminuye con el cuadrado de la distancia a
medida que nos alejamos del centro de la esfera, pero su influencia crece justamente
al revés, es decir, crece con el cuadrado de la distancia compensándose ambos efectos.
Si trazamos un segundo cono justo en la dirección opuesta, vemos que la cantidad
de materia de la capa exterior S’ del fondo del cono, denotada por M, ahora crece
con el cuadrado de la distancia a medida que nos alejamos del centro, en lugar de
decrecer, pero su influencia decrece también con el cuadrado de la distancia porque
el punto material se aleja de ella. De nuevo vemos que ambos efectos se compensan.
Los conos fueron escogidos de manera arbitraria, de tal manera que, generalizando
este argumento a cualquier par de conos, concluimos que la capa exterior de materia
no afecta al interior de la esfera.
Cosmologı́a Newtoniana
5
Fig.1 LA INFLUENCIA DE UNA CAPA EXTERIOR DE MATERIA SOBRE UNA ESFERA.
La capa exterior de materia
S’ no influye sobre la esfera.
Este resultado lo podemos ver como una especie
de teorema de Gauss gravitacional
Bueno, lo curioso del caso es que Newton conocı́a el resultado anterior, pero
al parecer no fue consciente de su error. Sabemos que era ası́ porque él usó un
argumento similar precisamente para mostrarle a sus contemporáneos que las fuerzas
gravitacionales son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia. Si
las fuerzas gravitacionales no fueran exactamente inversamente proporcionales al
cuadrado de la distancia, entonces no ocurrirı́a la cancelación exacta que discutimos
aquı́.
La cosmologı́a de Newton está basada entonces en la existencia de un universo
estático. El error de Newton es sin embargo comprensible, puesto que la idea de
un universo en expansión fue durante mucho tiempo muy revolucionaria. Esto lo
sabemos porque hasta hace relativamente poco, después de haber sido propuesta la
teorı́a del ”Big bang”, se llegó inclusive a proponer que en alguna parte del universo
se deberı́a estar creando materia para compensar la atracción mutua entre galaxias
y poder mantener la idea de un universo estático.
Newton también introdujo la idea de que el número de cuerpos celestes y de
estrellas deberı́a ser finito, de otra manera cada cuerpo en el universo recibirı́a un
fuerza de atracción gravitacional infinita. Para los que saben del asunto, esto sugiere
ya una primera exposición de la famosa paradoja de Olbers, (Wilhem Olbers, 1758–
1840), aunque con argumentos gravitacionales en lugar de argumentos en términos de
luminosidad. Olbers argumentó, correctamente, que la luminosidad de una estrella
disminuye con el cuadrado de la distancia a ésta. Pero, el número de estrellas en
6
La expansión del universo
una capa esférica con centro en un observador, deberá crecer con el cuadrado del
radio de la capa, si es que el universo es homogéneo e isotrópico, de tal manera que
se compensa exactamente la pérdida de luminosidad que cada estrella tiene como
función de la lejanı́a con el observador; la cual disminuye, como ya hemos dicho, con
el cuadrado de la distancia. Si el número de estrellas es infinito, entonces tendremos
que la luminosidad de las estrellas en la noche deberı́a ser, si bien no infinita, sı́ igual
a la luminosidad de la capa de estrellas más cercana a la tierra; es decir, igual en
realidad a la luminosidad del sol. Algo que no ocurre según podremos comprobar
con facilidad hoy en la noche. Claro, la paradoja de Olbers no toma en cuenta que
las estrellas tienen una vida finita y que la velocidad de la luz no es infinita, de tal
manera que estrellas muy lejanas quizás no vivan los suficiente para poder verlas
desde la tierra.
dr
r
Fig.2 LA PARADOJA DE OLBERS.
El número de estrellas en la capa de ancho
dr
crece con el cuadrado de la distancia
r,
que aparece
en la figura, pero la luminosidad de cada estrella disminuye precisamente con el cuadrado de la distancia
mencionada, compensando la pérdida.
Otros elementos que deben ser tomados en cuenta es que existe en el universo
material absorbente de luz, como pueden ser las nubes de hidrógeno que se encuentran dispersas por el universo y que puede absorber al menos una parte de la
radiación. Otro punto es que, en realidad, el universo no ha existido siempre (bueno,
eso creemos), de tal manera que aquellas estrellas que se encuentren a distancias que
requieran a la luz más tiempo que la edad del universo para recorrerlas, pues no las
podremos ver... Los cientı́ficos piensan que la edad del universo se sitúa entre los
10,000 y 15,000 millones de años, ası́ que no podemos recibir la luz de estrellas que
se encuentren a más de 15,000 millones de años luz.
El descubrimiento de Hubble
7
III El descubrimiento de Hubble
Los siguientes doscientos año se desarrollaron bajo el marco teórico de las leyes
de la mecánica de Newton y de su teorı́a de la gravitación universal. Un logro
impresionante para un solo cientı́fico. A Newton también le debemos el desarrollo
del telescopio de reflexión (de luz, claro). William Herschel (1738-1822) construyó
el primer telescopio de tipo newtoniano casi cien años después y lo usó junto con su
hijo para obervar la Vı́a Láctea y realizar un mapa de las estrellas más relevantes
de ésta. En 1785 concluyeron correctamente que la Vı́a Láctea es un disco de
estrellas, pero pusieron erróneamente al sol en el centro. Un error que hoy en dı́a
se antoja tremendamente ingenuo. Herschel, junto con su hijo, hizo también otros
descubrimientos notables. Descubrió al planeta Urano, estudió unas 700 estrellas
binarias, lo que le permitió concluir la validez de la teorı́a de la gravitación universal
de Newton.
Sin embargo, al empezar el siglo XX, dos avances cientı́ficos vinieron a modificar
sustancialmente la imagen que se tenı́a del cosmos. Estos dos avances son la teorı́a
general de la relatividad de Albert Einstein y el descubrimiento por parte Edwin P.
Hubble (1889-1953) de la expansión del universo.
El primer avance, la teorı́a de la relatividad general de Einstein, ha resultado
una de esas pocas teorı́as fı́sicas que ha soportado muy bien el avance cientı́fico sin
tener que cambiar un ápice. Es también una teorı́a que nació con pocas pruebas
experimentales y que Einstein formuló usando solamente algunos cuantos principios
básicos, como el principio de equivalencia, es decir que los efectos de la gravedad
no se pueden distinguir de los que se obervan en un sistema acelerado con la misma
magnitud de aceleración que la aceleración de la gravedad, aunque este principio sólo
vale localmente, es decir, para objetos pequeños. Otro de los principios básicos es
que en el lı́mite de gravedad débil y velocidades bajas se debe reproducir la gravedad
clásica de Newton.
El segundo avance de primer orden de importancia en la comprensión del cosmos
es el descubrimiento de la expansión del universo, y fue desarrollado con muy pocos
datos observacionales. En 1924, Hubble midió la distancia a 9 galaxias espirales que
eran realtivamente bien conocidas. Una de ellas, la más cercana, fue M31, la galaxia
de Andrómeda que está a unos 20 diámetros galácticos. En la época de Hubble
se creı́a que estaba a unos 8 diámetros. Hubble continuó midiendo la distancia de
otras 9 galaxias espirales hasta completar 18 mediciones. Con solamente los datos
de estas 18 galaxias, Hubble encontró que, en promedio, entre más lejana fuera una
galaxia, más rápido se aleja de nosotros, con una ley lineal. Si la distancia desde la
tierra a la galaxia es r, entonces la velocidad v con la que se aleja está dada por
8
La expansión del universo
v = Ho r,
(2)
donde Ho es una constante llamada constante de Hubble. Esta ley es ahora conocida
con el nombre de ley de Hubble. Hubble en realidad pensaba que la ley de crecimiento
de las velocidades con la distancia que habı́a encontrado no era probablemente lineal,
sino alguna función más compleja. Sin embargo, aunque se sabe que en la etapa
temprana el valor de Ho era diferente al valor actual, (es decir, Ho es función del
tiempo), no se han encontrado desviaciones significativas a la linealidad como función
de la distancia en las decenas de miles de galaxias y nebulosas y demás cuerpos
estelares de los que los astrónomos conocen con bastante precisión las posiciones y
velocidades, aunque no se descarta totalmente la posibilidad.
La manera en la que los astrónomos han podido establecer la ley de Hubble
es mediante el estudio del corrimiento al rojo de la luz que llega de las galaxias.
Este efecto, conocido como efecto Döppler es común a cualquier fuente de ondas en
movimiento y en el caso particular de las ondas sonoras lo podemos escuchar, (al
principio yo no podı́a), en las ambulancias cuando se acercan con la sirena prendida.
Podemos escuchar que si la ambulancia se acerca, la sirena da un tono más agudo,
y si se aleja da un tono más grave. En particular, es curioso escucharla cuando pasa
junto a nosotros, porque primero se acerca y luego se aleja, dándole al sonido ese
aspecto tan especial que se oye en las ambulancias.
Puesto que sabemos que la velocidad de cuerpos lejanos en el cosmos, como
por ejemplo una galaxia, crece con la distancia de una manera lineal, podemos
relacionar la expansión del universo con el efecto Döppler que mencionamos. En
efecto, supongamos que establecemos una medida arbitraria como nuestro factor
de escala. Pensemos en distancias grandes, del orden de distancia al cual ya tiene
sentido hablar de homogeneidad e isotropı́a del universo, por ejemplo la distancia
al cúmulo de galaxias de la cabellera de Berenice, distante unos 100 Megaparsecs,
(1 parsec ∼ 3 años luz). Llamemos S(t) a este factor de escala escogido de una
manera arbitraria y que depende del tiempo explı́citamente, puesto que el universo
está en expansión. Llamemos So (t) al valor de este factor en el presente. Ahora
bien, puesto que a medida que un objeto lejano se aleja cada vez más rápido de
nosotros siguiendo una ley lineal, entonces el crecimiento de la longitud de onda de
la luz emitida por un objeto luminoso lejano, llamémosla λ también se incrementará
de una manera lineal con el tiempo. Es decir, la longitud de onda λ crece de la
misma manera que cualquier otro factor de escala que hayamos escogido y tendrá
El descubrimiento de Hubble
9
entonces una dependencia en el tiempo como ocurre con el factor de escala S(t).
de tal manera que podremos poner para todo tiempo t 6= to .
λo
λ(t)
=
So
S(t)
(3)
Ahora bien, la función S(t) nos es desconocida, pero sabemos que la expansión
parece seguir una ley simplemente lineal. Ası́ que, si desarrollamos a S(t) en serie
de Taylor alrededor de los valores actuales tendremos que
S(t) = So + Ṡ(to )(t − to ) + · · · = So − Ṡ(to )(to − t) + · · ·
(4)
Para fijar ideas supongamos que t < to o lo que es lo mismo que S(t) < S(to ),
puesto que el universo está en expansión actualmente. Sin embargo, en esta expansión solamente necesitamos quedarnos hasta el primer término lineal, ya que
estamos estudiando una ley lineal, la ley de Hubble. Los experimentales suelen
medir los corrimientos en la longitud de onda de la luz emitida por los objetos
estelares usando el porcentaje de corrimiento z que es igual a
z≡
λo − λ(t)
λo
So
=
−1=
−1
λ(t)
λ(t)
S(t)
(5)
Ahora sustituyamos el desarrollo de Taylor que tenemos en la ecuación (4)
quedándonos solamente con el primer término. Para esto tenemos que
"
#−1
S˙o
S˙o
So
= 1−
(to − t)
(to − t)
≈1+
S(t)
So
So
(6)
El frente de luz proveniente de las estrellas que se encuentran a una distancia r
tarda un tiempo (to − t) = r/c. Este último resultado nos permite poner entonces
para z
z≈
S˙o
S˙o r
(to − t) =
.
So
So c
(7)
Acabamos entonces por encontrar una expresión que relaciona la expansión del universo con el corrimiento, de hecho al rojo, de la luz proveniente de estrellas que se
encuentran a una distancia r de nosotros.
Para continuar, lo que tenemos que hacer es comparar este último resultado
con las ecuaciones para el efecto Döppler que se encuentran en los libros de fı́sica.
Mejor aún, como una pequeña ilustración, daremos una derivación (clásica) del
10
La expansión del universo
efecto Döppler. Supongamos que tenemos una fuente que se aleja de un observador.
En la figura 3 ilustramos esta situación. Llamemos ahora T al perı́odo, es decir T
es tiempo en que la luz realiza una oscilación completa. Si la longitud de onda es,
digamos λ, entonces tendremos que λν = c, en donde ν = 1/T es la frecuencia
del rayo de luz y c su velocidad.
Ahora bien, si la fuente se aleja del observador a una velocidad v, entonces
tendremos que el frente de onda deberá llegar un poco depués que en el caso en el
que la fuente no se moviera, al menos pensando clásicamente. Ası́ que entonces, la
longitud de onda que mide el observador, llamémosla λ′ , ya no es la longitud de
onda original λ sino que se le debe agregar distancia que recorre la fuente en el
tiempo T. O sea
λ′ =
c
+ (distancia extra recorrida por la fuente en el tiempo T ),
ν
(8)
Pero la distancia que recorre la fuente en el tiempo T es v/ν ası́ que entonces
tenemos
λ′ =
c
v
v
+ =λ+
ν
ν
ν
(9)
v
v T∆t
Observador
Lámpara
Fig.3 EFECTO DÖPPLER.
La lámpara se mueve con velocidad
v
alejándose o acercándose del observador. Como consecuencia la
longitud de onda de la luz emitida por la fuente en movimiento se alarga o se acorta, respectivamente.
El porcentaje de corrimiento z = (λ′ − λ)/λ′ que mide el observador se puede
poner como
(λ′ − λ)
v
=
(10)
λ
c
Estrictamente hablando, la derivación anterior es clásica y no toma en cuenta el
comportamiento relativista asociado a la luz, de tal manera que no podemos usar
z=
La expansión del universo Newtoniano
11
los argumentos aquı́ empleados para su deducción. Sin embargo, el desarrollo y el
resultado, además de ser correcto clásicamente, coincide con los cálculos relativistas
cuando éstos se aproximan al lı́mite no relativista. Como nos vamos a restringir
en este pequeño escrito al caso no relativista, nos daremos por bien servidos con
nuestros resultados.
Si regresemos a la ley de Hubble, v = Ho r (Ec. (2)), vemos que el porcentaje
de corrimiento se puede poner a primer orden simplemente como
z = Ho
r
c
(11)
Comparando con el resultado que relaciona el corrimiento z debido a la expansión
del universo, Ec. (7), con el resultado que viene de esta última ecuación vemos que
Ho =
S˙o
So
(12)
Por la naturaleza misma del método que empleamos en la deducción de este
resultado, parece claro que la ley de Hubble no es nada más una ley lineal. De hecho,
en el desarrollo de Taylor, Ec. (4) podemos retener el término siguiente al lineal
y quizás retener también el segundo orden en el efecto Döppler relativista (aunque
este cálculo no lo presentamos aquı́). Sin embargo, en general no existen todavı́a
mediciones astronómicas suficientemente confiables para necesitar un término de
segundo orden o incluso de orden superior y podemos perfectamente conformarnos
con el término lineal.
IV La expansión del universo Newtoniano
Sabemos entonces que un conglomerado de galaxias recibe una atracción gravitacional que trata de juntarlas a todas en un mismo punto. Pero también sabemos
que las galaxias se mueven de tal manera que ellas resienten dos efectos competitivos
entre sı́. Por un lado la fuerza gravitacional y por el otro la energı́a cinética asociada
a su movimiento. En cosmologı́a, un punto importante es saber si ambos factores
van a detener la expansión del universo o no.
Para analizar este punto consideremos una esfera de radio r que englobe un
gran número de galaxias, digamos más de cien, con centro en nuestro sol, por ejemplo. Tomemos ahora una galaxia de masa mG justo en la frontera de la esfera,
como se ve en la figura. Tomemos la densidad promedio de masa dentro de la
esfera ρ, de tal manera que la masa total dentro de ella es M = 4πGρr 3 /3.
12
La expansión del universo
Donde G = 6.672 X 10−11 m3 /Kg s2 = 6.672 X 10−8 cm3 /g s2 es la constante de
gravitación universal. La energı́a potencial debe ser entonces
U =−
GM mG
4π
= − Gmg ρr 2
r
3
(13)
.m
G
r
Fig.4 Una galaxia de masa
mG
a una distancia
r
del sol, siente la atracción gravitacional de todas
las galaxias que se encuentran dentro de una esfera de radio
r
.
Por otro lado, la energı́a cinética de la galaxia (masa mG ) está dada por
T =
1 2
p
2mG
(14)
en donde el momento se puede poner como p = mG v = mG rHo , al usar la ley de
Hubble. Esto nos permite escribir la ecuación anterior como
1
mG Ho2 r 2
2
Podemos entonces calcular la energı́a total de la galaxia que debe ser
(15)
T =
1
4π
E = T + U = mG Ho2 r 2 −
GmG ρr 2 = mG r 2
2
3
1 2 4π
H −
Gρ
2 o
3
(16)
La condición para que la expansión del universo se detenga es cuando la energı́a total es E ≤ 0 . Poniendo justamente en cero la energı́a total, obtenemos la
condición
3Ho2
ρc =
8πG
(17)
La expansión del universo Newtoniano
13
Si el valor de la densidad del universo es mayor que ρc , entonces la expansión
del universo se detendrá, alcanzará un lı́mite máximo y luego se contraerá. Este
universo se llama cerrado. Si es menor, entonces la expansión del universo nunca
se detendrá, es el caso de un universo abierto. Si es justamente el caso limı́trofe en
donde ρ = ρc , entonces el universo detendrá su exansión justamente en un radio
infinito. Este universo se llama plano.
A estas alturas puede parecer extraño el nombre de universo plano. El nombre
viene de la teorı́a de la relatividad general de Albert Einstein. En la relatividad
general los rayos de luz no siguen lı́neas rectas en general, sino que siguen trayectoria curvadas por la presencia de campos gravitacionales, es decir, por la presencia
de materia. Este fenómeno fue demostrado desde el 29 de mayo de 1919 con observaciones de un eclipse realizadas por la Royal Astronomical Society en Sobral en el
norte de Brasil y por una segunda expedición para el mismo eclipse en la Isla del
Prı́ncipe en el golfo de Guinea en el África occidental. La curvatura viene entonces
a ser una propiedad intrı́nseca del espacio, o mejor dicho del espacio-tiempo, ya que
en la relatividad tiempo y espacio son tratados en pie de igualdad. En ausencia de
gravedad, la curvatura del espacio-tiempo es cero y esto significa que los rayos de
luz siguen trayectorias rectas, y también significa que dos rectas paralelas nunca se
tocan. Es decir, que la geometrı́a del espacio-tiempo cumple con los postulados de
la geometrı́a Euclideana. Este espacio se llama de Minkowski
Es interesante notar que, si en lugar de usar la teorı́a Newtoniana empleamos
la teorı́a de la relatividad general de Einstein, entonces de nuevo podemos encontrar
una densidad crı́tica constante para todo el universo. Más interesante aún es que el
resultado relativista es precisamente el mismo que encontramos en nuestro análisis
newtoniano, (Ec. (17)). Una curiosidad que podemos mencionar también es que,
puesto que la gravedad Newtoniana no es compatible con las expresiones relativistas,
podemos intentar utilizar la expresión relativista para la energı́a cinética y desarrollarla en serie. Si uno se queda con el primer orden, encuentra exactamente lo que
pusimos aquı́. Cuando hacemos un desarrollo en serie a segundo orden, tendremos
que añadir un término de corrección al potencial gravitacional (Ec.(13)). Cuando
hacemos eso, entonces encontramos un término repulsivo extra, que se suma a la ley
de fuerza del inverso con el cuadrado de la distancia, muy pequeño, pero que crece
linealmente con la distancia y eventualmente, a distancias grandes, es un término
importante.
Aunque no lo demostramos, resulta que al usar las ecuaciones de Einstein se
puede probar que, en espacios homogéneos e isotrópicos, la curvatura espacial es
cero cuando la densidad es precisamente la densidad crı́tica ρ = ρc . Cuando la
14
La expansión del universo
densidad del universo es diferente de la densidad crı́tica, entonces el espacio tiene
una curvatura intrı́nseca. Es interesante notar que las observaciones del telescopio
espacial Hubble muestran que la densidad de materia de nuestro universo es, dentro
del error observacional, igual a la densidad crı́tica y que, por lo tanto, nuestro
universo es muy probalemente un universo espacialmente plano. Sin embargo es de
llamar la atención que, cuando se busca la materia que debe existir hasta completar
la densidad crtica, solamente se ha podido encontrar un 5%. Regresaremos a este
problema más adelante.
Posición real
Tierra
Rayos de luz
Posición
aparente
Sol
Estrella
Fig.5 DESVIACIÓN DE LA LUZ POR EFECTO GRAVITATORIO
La teorı́a de relatividad general predice que los rayos de luz son desviados por la presencia de masas
gravitacionales. En la figura, la posición aparente de una estrella se modifica cuando los rayos de luz
emtidas por ésta son desviados al pasar cerca del sol. Este fenómeno fue demostrado desde el 29 de mayo
de 1919 con observaciones de un eclipse realizadas por la Royal Astronomical Society en Sobral en el
norte de Brasil y por una segunda expedición para el mismo eclipse en la Isla del Prı́ncipe en el golfo de
Guinea en el África occidental.
La idea de que la geometrı́a del espacio pudiese ser no Euclideana, no es originaria de Einstein, como algunos piensan. Ya Carl Friedrich Gauss (1777-1855) habı́a
pensado en la posibilidad de que la suma de los ángulos internos de un triángulo no
fuese 180o y que hubiese alguna desviación de la geometrı́a Euclideana. Gauss intentó medir los ángulos de un triángulo formado por tres montañas distantes. Claro
que no encontró nada especial, la precisión de los instrumentos de la época no podı́an
encontrar ninguna desviación con respecto a la geometrı́a Euclideana. En honor a
la verdad, si Gauss hubiese tenido instrumentos ultra precisos, sı́ hubiera podido
detectar una pequeña desviación a la geometrı́a Euclideana; pero esta desviación es
15
La expansión del universo Newtoniano
debida a la presencia de la masa de la tierra y no es una caracterı́stica del universo
a gran escala. Ahora sabemos que, a gran escala, el universo es espacialmente plano
muy probablemente. En la siguiente sección continuaremos con esta discusión y
presentaremos algunas ideas relacionadas con la teorı́a de la relatividad general.
1
0.5
0
-0.5
-1
1
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
Fig.6 En una superficie curva los ángulos internos de un triángulo no suman 180
o
.
Einstein construyó
la teorı́a de la Relatividad General basándose precisamente en la idea de que los efectos de la gravedad
tienen un origen geométrico y no, como hasta entonces se hacı́a, un origen en fuerzas con un fondo de
geometrı́a plana Euclideana.
Regresemos ahora a analizar la evolución de S(t) en un universo en expansión
de acuerdo a las leyes de Newton. Como el universo se encuentra en expansión, en el
pasado debió haber sido más chico. De hecho, si continuamos con este razonamiento
debemos concluir que, puesto que no es posible contraer más allá de un punto al
universo, entonces éste debió haber tenido un principio y por lo tanto debe tener
una edad finita. Por lo menos si la velocidad de expansión siempre ha sido finita.
Por supuesto, con lo poco expuesto aquı́ cabe la posibilidad de que la velocidad de
expansión del universo sea cada vez más pequeña a medida que nos alejamos en el
pasado e infinitamente pequeña a medida que nos acercamos al origen del universo,
de tal manera que la edad del universo sea infinita. Pero Stephen Hawking mostró
en la década de los sesenta del siglo pasado, que con cumplir con condiciones muy
generales, entre ellas que se cumplan las ecuaciones de la relatividad de Einstein, que
el universo sı́ tuvo, en efecto, un principio. Es decir, la velocidad de expansión del
16
La expansión del universo
universo siempre fue una cantidad finitay distinta de cero. De hecho, ya hablaremos
más adelante de que las últimas observaciones muestran algo muy raro: que no
solamente no es infinitesimalmente pequeña la velocidad de expansión del universo,
˙
S(t),
¡sino que además es una función creciente!
Para continuar con nuestro estudio de la expansión del universo, notemos que
el radio r de la esfera que aparece en la figura 3, crece en la misma proporción que
S(t) al expandirse el universo, por lo que el radio también depende del tiempo y
escribiremos a esta dependencia en el tiempo como r(t). Entonces si to representa
el tiempo actual medido a partir de que se creó el universo y t es un tiempo
diferente cualquiera, debemos tener r(t)/r(to) = S(t)/S(to ). Para simplificar la
notación pondremos de aquı́ en adelante S(to ) = So y r(to ) = ro . Si la masa del
universo es constante, entonces debemos tener
ρ(t)
=
ρo
So
S(t)
3
(18)
Entonces, como r(t) = (ro /So )S(t) y recordando que la masa M dentro de la
esfera es M = 4πGρr 3 /3, tenemos entonces por la segunda ley de Newton
r̈(t) =
GM
4π
ro
S̈(t) = − 2 = − Gρ(t)r(t)
So
r
3
(19)
De esta última ecuación podemos despejar a S̈(t). Usando la Ec. (18) y eliminando
r(t), tenemos
S̈(t) = −
4π
α
1
So 4π
Gρ(t)r(t) = − Gρo So3 2
≡− 2
ro 3
3
S (t)
S (t)
(20)
en donde definimos
α≡
4π
Gρo So3
3
(21)
Vamos ahora a integrar esta simple ecuación. Como (1/2)dṠ 2 /dS = ṠdṠ/dS =
Ṡ(dṠ/dt)(dt/dS) = S̈, entonces
1 dṠ 2
α
=− 2
2 dS
S
(22)
Es decir dṠ 2 = −(2α/S 2 )dS, lo que nos permite integrar, con t < to
Z
t
to
2
dṠ = −2α
Z
So
S
dS
S2
(23)
La expansión del universo Newtoniano
17
Que al integrar da entonces
Ṡo2 − Ṡ 2 = 2α So−1 − S −1
(24)
Este último resultado nos va a permitir analizar la evolución del universo en funcion
de la densidad de materia. Sin embargo todavı́a necesitamos hacer algunos ajustes
a nuestro resultado y escribirlo de una manera un poco más apropiada a nuestro
propósito. Para ello recordemos que hemos definido en la Ec. (17) a la densidad
crı́tica, aquélla que divide a un universo cerrado de uno abierto y que define precisamente al caso de un universo plano como ρc = (3/8π)(Ho2/G) . Es muy frecuente
usar la cantidad Ωo en lugar de la densidad crı́tica definida como
Ωo =
ρo
ρo 8πG
=
ρc
3Ho2
(25)
Este parámetro solamente depende de cantidades evaluadas en el presente y es precisamente 1 si el universo es plano.
Como ya hemos dicho, las recientes observaciones realizadas por el telescopio
espacial Hubble apuntan a que su valor en el universo actual es compatible con el
de un universo plano. Vamos a usar este parámetro para calcular el valor de α.
Entonces, de Ec. (24) y (21) tenemos que
α=
(4/3)πGρoSo3
=
(4/3)πGSo3
3Ho2 Ωo
8πG
=
1 3 2
S H Ωo
2 o o
(26)
Aún vamos a necesitar algunas manipulaciones más para llegar a donde queremos. Recordemos que Ho = Ṡo /So , entonces de Ec. (24)
Ṡ 2 = Ṡo2 − 2α So−1 − S −1 = Ho2 So2 − So3 Ho2 Ωo So−1 − S −1
Ωo So
2 2
= So Ho 1 − Ωo +
S
(27)
Notemos que Ṡ 2 > 0, por lo que la cantidad que está entre paréntesis en la ecuación
de arriba es siempre positiva:
1 − Ωo +
Ωo So
≥0
S
(28)
Aunque ya sabemos por las observaciones del telescopio espacial Hubble que
Ωo = 1, nos será de gran utilidad para la comprensión de nuestras ecuaciones que
discutamos qué es lo que ocurre cuando Ωo > 1 o cuando Ωo < 1.
18
La expansión del universo
a) Supongamos que Ωo < 1. Como estamos en un universo en expansión,
entonces S(t) debe ser una función creciente del tiempo, es decir, S(t) se hace
más grande que S(to ) cuando t > to . Aunque Ωo So /S(t) decrece a medida que
pasa el tiempo, la desigualdad (28) se cumple porque Ωo es menor que 1, entonces
1 − Ωo es siempre positivo y por lo tanto 1 − Ωo + Ωo So /S también . Esto significa
que Ṡ nunca pasa por cero. En otras palabras, el universo siempre crece y se
expande “por toda la eternidad”.
b) Tomemos ahora el caso en que Ωo = 1. Este es, precisamente, el caso de un
universo plano y la Ec. (28) resulta ser muy sencilla
1 − Ωo +
Ωo So
Ωo So
=
≥0
S(t)
S(t)
(29)
De nuevo, como vivimos en un universo en expansión, S(t) ≥ 0. La Ec. (27) es
también muy sencilla y la podemos integrar. Tenemos
2
Ṡ =
So2 Ho2
So
S
So3 Ho2
=
S(t)
(30)
Como todas las cantidades involucradas en la ecuación de arriba son positivas, pode˙ = So3/2 Ho S −1/2
mos, impunemente, sacar la raı́z cuadrada para escribir que S(t)
o lo que es lo mismo, al poner las cosas de manera integral
Z
S
S
1/2
dS =
So
So3/2 Ho
Z
t
dt
(31)
to
La integración es muy simple y da que
o lo que es lo mismo
3 3/2
S
− So3/2 = So3/2 Ho (t − to )
2
S(t) =
So3/2
2
+ So3/2 Ho (t − to )
3
2/3
(32)
(33)
De nuevo vemos que como en el caso anterior, S(t) es una función creciente del
tiempo que se va a infinito cuando el tiempo también va a infinito, aunque en
este caso, justamente, se tiene un caso fronterizo entre un universo que siempre se
expande y otro, en el cual la expansión llega a un lı́mite para decrecer de nuevo, que
es el caso que vamos a discutir a continuación.
c) Tomemos ahora el caso en que Ωo > 1. Como 1 − Ωo es en este caso
negativa, entonces tenemos que en la ecuación (28) hay dos tendencias que compiten
19
La expansión del universo Newtoniano
entre sı́. Por un lado 1 − Ωo es negativo, pero por otro 1 − Ωo + Ωo So /S ≥ 0.
Entonces, en un universo en expansión, S(t) es cada vez más grande a medida
que pasa el tiempo hasta que se cumple la igualdad en la ecuación (28), lo que da
un valor máximo tmax permitido para la edad del unverso y un tamaño máximo,
llamémosle Smax (t) :
1 − Ωo +
Ωo So
=0
Smax (tmax )
(34)
De aquı́ podemos entonces despejar el valor de Smax . Usando también la Ec. (25)
para eliminar Ωo en la ecuación de arriba, finalmente obtenemos que
Smax (tmax ) =
Ωo So
8πGρo So
=
Ωo − 1
8πGρo − 3Ho2
(35)
El tiempo de vida del universo es entonces 2tmax .
o
So
? o + 1
S
o < 1
1 ? o
o > 1
So
o = 1
Smax
Fig.7 COMPORTAMIENTO DE LA FRACCIÓN
S
1 − Ωo + Ωo So /S.
S(t) de acuerdo a tres escenarios posibles.
Cuando Ωo < 1 el universo se expande por siempre, y S(t) crece indefinidamente. La cantidad
1 − Ωo + Ωo So /S se acerca, en este caso, asintóticamente a 1 − Ωo . Cuando Ωo = 1, entonces
S(t) crece indefinidamente, pero 1 − Ωo + Ωo So /S se acerca asintóticamente a cero. Cuando
Ωo > 1, entonces el universo es cerrado y existe un radio máximo Smax de expansión del universo.
En la gráfica de arriba se reproduce el comportamiento de
20
La expansión del universo
Sin embargo, las observaciones hechas por los astrónomos no solamente contradicen esta tercera opción, sino que pareciera que el universo no se adapta a
ninguna de las tres opciones descritas arriba. Primero el universo es plano y por lo
tanto Ωo = 1, pero la cantidad de materia que se observa en el universo es muy
pequeña, a lo más del ∼ 5%, de la que se necesita para obtener un universo plano.
Pero la situación es aún mas complicada, las observaciones recientes no solamente
muestran al universo en expansión, sino que la expansión se encuentra acelerada, lo
cual sı́ está completamente en contradicción con lo que se espera de un universo con
gravedad atractiva, pareciera que en algún momento, a grandes distancias, aparece
un fuerza repulsiva que repele a la materia entre sı́.
V La constante de Hubble y la edad del universo
Pero dejemos por ahora las consideraciones anteriores y concentrémonos en la
expansión del universo. ¿Pueden nuestras sencillas ecuaciones describir esta expansión? Bueno, aunque en realidad la respuesta es más bien que no, sı́ resulta
sorprendente que un buen número de preguntas pueden ser resueltas con nuestras
sencillas ecuaciones. Una de las razones por la cual ocurre ası́ es que las ecuaciones
de la relatividad general se reducen a la Ec. (24) para el caso de un universo homogéneo, isotrópico, y plano. Esencialmente, lo que las ecuaciones de la relatividad
general o ecuaciones de Einstein, como son llamadas también, predicen que
Ṡ 2
8πGρ
=
2
S
3
(36)
para un universo espacialmente plano.
En el caso de que haya una curvatura, entonces su existencia debe ser tomada en
cuenta, algo que la cosmologı́a Newtoniana no puede explicar. Gauss descubrió un
invariante para superficies curvas en dos dimensiones, la llamada curvatura gaussiana, que es una cantidad similar a la cantidad que aparece en las ecuaciones de
Einstein, sólo que en el caso de las ecuaciones de Einstein la curvatura está definida
para espacios de cuatro dimensiones y se llama curvatura de Riemann. Aunque
es posible dar una definicion independiente del sistema de coordenadas, es mucho
más fácil pensar en un sistema de coordenadas ortogonal. Para una curvatura dada
con centro en C, medimos el radio desde un centro en la dirección X y en la
dirección Y, dejando que subtienda un pequeño arco de longitud s en un punto
dado (xo , yo ), como se ve en la figura (8). Por ejemplo para una esfera Rx y Ry
La constante de Hubble y la edad del universo
21
serı́an iguales Rx = Ry y luego hacemos que s → 0. La curvatura k se define
entonces como
k=
1
Rx Ry
(37)
Notemos que con esta definición, la curvatura de un cilindro de radio r, por ejemplo,
tiene curvatura cero, porque si medimos el radio en la dirección perpendicular a su
eje obtenemos para su recı́proco 1/r, pero si medimos el radio en cambio en la
dirección paralela a su eje obtenemos para su recı́proco ∞ . El producto de las dos
cantidades da cero.
Rx(xo)
C
Ry(yo)
s
(xo ; yo)
s
Fig.8 CURVATURA GAUSSIANA DE UNA ESFERA
La curvatura gaussiana es el único invariante que se puede definir para una superficie de 2 dimensiones.
Aunque no es necesario, se puede definir calculando el radio que subtiende un pequeño arco en dos
direcciones ortogonales y entre sı́ tomar el lı́mite cuando
s→0
.
La relatividad general predice entonces que, si incluimos la curvatura en las
ecuaciones entonces la ecuación anterior queda, para un universo homogéneo e
isotrópico como
Ṡ 2 + kc2
8πGρ
=
2
S
3
(38)
Existe además una segunda ecuación que relaciona a la presión con el factor S(t)
y con la curvatura, sin embargo nosotros no emplearemos esta segunda ecuación.
Ambas ecuaciones se conocen con el nombre de Ecuaciones de Friedman, por el ruso
Alexandr Friedman (1888-1925) quién las dedujo siete años antes del descubrimiento
22
La expansión del universo
de Hubble de la expansión del universo. Es bastante interesante notar que las
ecuaciones de Newton son ya muy parecidas a las ecuaciones de Friedman, a pesar
de ser mucho más viejas.
Pero regresemos entonces a la ecuación newtoniana de balance de la energı́a,
ecuación (16). Si tomamos la energı́a de una galaxia tipica de masa mG y a una
distancia r(t) de la tierra, sabemos por la ley de la conservación de la energı́a que
1 2
4
2
2
E = mG r (t) H (t) − r (t) πGρ(t) = constante
2
3
(39)
Retrocedamos ahora en el tiempo y tomemos el escenario cuando r(t) → 0. Como
la materia se conserva, entonces ρ(t) debe aumentar como 1/r 3 (t), o lo que es lo
mismo, el término ρ(t)r 2 (t) que aparece en el lado derecho de la ecuación anterior,
debe crecer como 1/r(t) cuando el tiempo se acerca a cero. Pero la energı́a debe
conservarse. La única manera de evitar que la energı́a se vaya a infinito es entonces
que el término (1/2)r 2 (t)H 2 (t) compense el crecimiento de ρ(t)r 2 (t). Es decir,
debemos tener que
4
1 2
H (t) −→
πGρ(t)
t→0
2
3
(40)
O sea que hemos encontrado una expresión para la constante de Hubble.
Si la constante de Hubble fuese realmente constante, el inverso de ella serı́a la
edad del universo. No es ası́, entre otras cosas, porque, sobre todo al principio del
universo, la constante de Hubble tenı́a un valor diferente al actual. Sin embargo,
creen los cientı́ficos que el comportamiento de la constante de Hubble no ha tenido
una variación importante pasado los primeros tiempos de vida del universo y su
comportamiento se parece cualitativamente, a la gráfica 9 .
Ho(t)
t
Fig.9 La constante de Hubble en función del tiempo
La constante de Hubble y la edad del universo
23
Aún ası́ es interesante el recı́proco de la constante de Hubble, por lo que le daremos
un nombre: tiempo de expansión y lo pondremos como texp .
texp ≡
1
=
Ho (t)
s
3
8πρ(t)G
(41)
Para conocer la edad del universo en función de la densidad de materia, que
es una cantidad que se puede medir, imaginemos que retrocedemos en el tiempo.
Lo que ocurre es que la densidad de materia aumenta a medida que nos vamos
al pasado. Es más, la temperatura promedio de las partı́culas que forman parte
del universo tiene que aumentar también. Las interacciones entre las diferentes
partı́culas que componen la materia del universo son cada vez más frecuentes. La
energı́a térmica promedio por partı́cula es también cada vez más alta a medida
que retrocedemos en el tiempo. Esta energı́a, eventualmente, alcanza el valor de
disociación de los diferentes elementos que componen una molécula. Es decir, la
energı́a térmica promedio es del orden de la energı́a quı́mica de asociación de los
diferentes elementos de la molécula. Si retrocedemos aún mas en el tiempo, la
energı́a será más grande, del orden de la energı́a necesaria para arrancar a todos los
electrones de un átomo. Las moléculas ya no existen, porque en el momento que
se forma una, los choques con las demás partı́culas la destruye. Continuando con
este proceso, encontramos que los átomos a su vez también se destruyen quedando
solamente protones, neutrones, electrones, sus antipartı́culas y radiación, es decir,
fotones principalmente.
A medida que retrocedemos más en el tiempo, inclusive los protones y neutrones
dejan de existir y aparece un sopa de cuarks. No sabemos qué pasa si seguimos más
atrás en el tiempo, pero sabemos que eventualmente toda nuestra fı́sica deja de
tener sentido a la escala de Planck. Esta escala es una cantidad básica y se forma
con las unidades h̄, c, y G. ¿Porqué? Porque si tuviéramos una teorı́a que
pudiese unificar a la gravedad, a la teorı́a cuántica y a la relatividad, usarı́a a esas
constantes como constantes básicas. Lo que hacemos es juntar las tres constantes
y, por análisis dimensional, formar una cantidad que tenga unidades de tiempo,
para formar el tiempo de Planck. El orden de magnitud encontrado es el orden de
magnitud en el cual la teorı́a, que aún no conocemos, empieza a trabajar. Podemos
hacer lo mismo para obtener una energı́a de Planck o una distancia de Planck. Para
el tiempo de Planck tp encontramos que
tp =
r
h̄G
= 5.31 X10−44 seg.
c5
(42)
24
La expansión del universo
No es una cantidad muy grande, pero antes de ese tiempo no tenemos mucha idea
de qué es lo que pasó en el universo. Una posibilidad es que precisamente en esa
época se formaron las leyes de la fı́sica y el valor de las constantes fundamentales
como son la velocidad de la luz c, o la constante de Planck h̄, formando de una
manera definitiva al universo.
Como quiera que sea, para tiempos suficientemente remotos pero superiores
al tiempo de Planck, la densidad de materia y radiación era tan grande, que los
fotones chocaban y se dispersaban continuamente con la materia a su alrededor. La
materia formaba entonces en estas condiciones una barrera de la que ni siquiera
los fotones podı́an escapar. Es la llamada era de la radiación. Solamente, después
de que la densidad promedio en el universo disminuyó lo suficiente, el universo
se hizo transaparente al paso de la radiación y la energı́a térmica promedio por
partı́cula disminuyó a un nivel menor al de las uniones quı́micas, entonces tenemos
la formación de materia. Es la llamada era de la materia.
Pasemos a analizar con un poco más de detalle cada era. Durante la era de la
radiación, la energı́a promedio por fotón era lo suficientemente grande como para
acabar con cualquier intento de formar núcleos de átomos más pesados que el del
Hidrógeno. En el momento en que se formase un núcleo pesado, inmediatamente
los fotones lo destruı́an sin compasión. Solamente un poco de núcleos de Helio sı́ se
pudieron formar, de tal manera que, esencialmente, solamente se formaron estos dos
elementos durante el inicio del universo. El resto de los elementos se formó en las
llamadas supernovas por procesos nucleares ocurridos en una época muy posterior.
Las observaciones del telescopio espacial Hubble muestran con claridad que las
diferentes partes del universo se encuentran en equilibrio térmico aunque ya no estén
en contacto entre sı́. Es precisamente este hecho, de que la materia que compone
el universo esté en equilibrio térmico, el que sugiere fuertemente que algún dı́a
estuvieron en contacto entre sı́. De ser ası́, entonces podemos tratar al universo en
la era de la radiación como un gas de fotones, que son las partı́culas que aparecen
mayoritariamente en el universo. Las demás partı́culas son rápidamente destruı́das
por la radiación.
Debemos sin embargo señalar que esto no es del todo cierto. Existe además
otra partı́cula que debió haber jugado un papel muy importante: el neutrino, el cual
existe en tres formas diferentes o “sabores”, como se les conoce en la imaginativa
jerga de los especialistas. Estos tres sabores son el neutrino del electrón “ νe ”, el
neutrino del muón “ νµ ” y el neutrino del tau “ ντ ”. El muón y el tau son unas
partı́culas muy parecidas al electrón aunque mucho más pesadas. A los tres tipos
La constante de Hubble y la edad del universo
25
de neutrinos y al electrón, muón y tau se les llama leptones, que viene del griego y
quiere decir ligero.
El neutrino tiene una masa muy pequeña (hasta hace unos veinte años se pensaba que era cero) y puede cambiar durante su vuelo a cualquiera de las tres formas
en las que puede existir, fenómeno que se ha llamado oscilación. El punto es que
el neutrino interacciona muy débilmente con la materia, aunque en tiempos muy
remotos, se piensa, interaccionaba fuertemente con la materia, actuando como una
especie de fricción entre las diferentes partes del universo, pero al mismo tiempo
perdiendo muy rápidamente su capacidad de interaccionar a medida que el universo
se fue enfriando. Ası́ las cosas, supondremos que estamos ya en un época en la cual
los neutrinos no juegan un papel tan importante.
En la tabla que sigue (tabla (1)), anotamos los valores de las masas de estas
tres partı́culas, conocidas como leptones, y el valor de su carga en términos de la
carga del electrón.
Partı́cula
Electrón e
Muón µ
masa (Mev)
0.511
105.7
1784
carga
-e
-e
-e
neutrino
νe
νµ
ντ
< 0.27
< 30
masa (Mev)
< 10
−5
Tau τ
Tabla1 MASAS DE LOS TRES LEPTONES Y SUS NEUTRINOS
Existen tres tipos de partı́culas o sabores similares al electrón, sin estructura interna. Se llaman leptones
y tienen asociado a cada sabor una partı́cula sin carga llamada neutrino. Ası́, para el electrón existe el
νe , para el muón el neutrino νµ , y para el tau el neutrino del tau ντ .
Como quiera que sea, los neutrinos son partı́culas casi sin masa que se comportan de una manera parecida a los fotones para el punto de vista que estamos
analizando. Esto quiere decir que podemos considerar a la radiación en estas tempranas etapas como descrita por un gas de fotones en equilibrio térmico a muy alta
temperatura. Sabemos cómo trabajar en estos caso gracias a los trabajos de Josef
Stefan (1835-1893) y de Ludwig Boltzmann (1844-1906), quienes descubrieron la
famosa (entre los fı́sicos) fórmula de radiación llamada ley de Stefan-Boltzmann.
Esta ley nos dice que la energı́a u por unidad de volumen sigue una ley a la cuarta
potencia de la temperatura
neutrino electrónico
u=
8π 5
3
(kT )4 = 7.56464X10−5 [To (K)]4 erg/cm
3
15(hc)
(43)
26
La expansión del universo
La ley de Stefan-Boltzmann se puede deducir de la ecuación de cuerpo negro descubierta por Planck en 1900 y es, en realidad, una consecuencia directa de ella.
Como la densidad de energı́a u y de materia ρ se relacionan directamente
mediante u/c2 = ρ, podemos concluir que ρ(t) ∼ T 4 . Pero la temperatura disminuye como 1/R(t) puesto que el universo se comporta como un gas en expansión.
Ası́ que entonces
ρ(t) ∼
1
R4 (t)
(44.a)
para la era de la radiación, en tanto que para la era de la materia, suponiendo que
se conserva la materia en el universo, (4π/3)ρ(t)R3(t) = constante, y por lo tanto
debemos tener que
ρ(t) ∼
1
R3 (t)
(44.b)
o lo que es lo mismo
1
ρ(t) ∼ n ;
R (t)
n=
(
3 Para la era de la materia
(44.c)
4 Para la era de la radiación
Por la ecuación (40) sabemos que H(t) ∼ ρ(t)1/2 . O sea que entonces tenemos
simplemente
1
H(t) ∼
R(t)
n/2
(45)
Esta última ecuación nos va a permitir encontra una fórmula para calcular la edad del
universo en términos de la densidad, que es una cantidad que podemos en principio
medir.
Tomemos una galaxia tı́pica. Por la ley de Hubble v(t) = H(t)R(t), donde
v(t) es su velocidad y R(t) es la distancia a la que se encuentra desde la tierra.
Por la ecuación (45) sabemos además que v(t) = H(t)R(t) ∼ [R(t)]1−n/2 , ası́ que
pondremos que v(t) ≡ K[R(t)]1−n/2, en donde K es una constante. Por lo que
dR
dR(t)
= Kdt
= KR(t)1−n/2 ⇒
dt
R(t)1−n/2
(46)
y es muy sencillo integrar esta ecuación. Integrando desde t1 a t2 , tenemos que
i
2h
n/2
n/2
(t1 − t2 )K =
R(t1 )
− R(t2 )
n
(47)
La constante de Hubble y la edad del universo
27
Pero la constante K es muy fácil de evaluar, porque notemos que
K = v(t)/R(t)1−n/2 = v(t1 )R(t1 )n/2−1 = v(t2 )R(t2 )n/2−1
(48.a)
2 R(t1 ) R(t2 )
2
1
1
t1 − t2 =
=
−
−
n v(t1 )
v(t2 )
n H(t1 ) H(t2 )
(48.b)
o sea
Finalmente, como sabemos por la ecuación (40) que H(t) = [(8/3)πρ(t)G]1/2,
obtenemos una expresión para la edad del universo en función de la densidad promedio de materia (o energı́a)
2
t1 − t2 =
n
r
#
"
1
1
3
p
−p
8πG
ρ(t1 )
ρ(t2 )
(48.c)
Podemos poner nuestras ecuaciones en función del tiempo de expansión del
universo texp . Además, como la densidad al principio del universo crece de una
manera arbitraria a medida que nos acercamos al origen del tiempo, es decir, ρ(t2 ) ∼
∞ cuando t2 ∼ 0, lo que nos permite despreciar los términos asociados a t2 . La
expresión para la edad del universo es entonces muy simple
2
t=
n
s

 (1/2)texp
3
=
8πGρ(t)  (2/3)t
exp
Era de la radiación
(49)
Era de la materia
Como una ilustración, intentaremos calcular el tamaño del universo cuando se
hizo transparente a la radiación. Los cientı́ficos consideran que esto ocurrió aproximadamente en la misma época en que termina la era de la radiación y empieza la era
de la materia, cuando los electrones empiezan a ser atrapados por los protones que
se encuentran a su alrededor para formar átomos. Cuando ası́ ocurre, los fotones
pueden ser absorbidos por los orbitales de los átomos y reemitidos posteriormente.
Aunque no tenı́a por que ser ası́, puesto que después de todo, existe materia que no
es transparente y viceversa, existen gases opacos, hay un consenso sobre este punto.
Hay que señalar que la mayor parte de la materia formada en la época que estamos
considerando eran gases de Hidrógeno y de Helio, que se mantienen transparentes
bajo condiciones muy amplias de presión y temperatura.
La energı́a de ionización del hidrógeno, es decir la energı́a necesaria para arrancar un electrón del núcleo de hidrógeno es de unos cuantos electrón-voltios. El
valor estimado que tomaremos es e ∼ 0.26 eV. que corresponde a niveles altos de
28
La expansión del universo
ionización, es decir, cuando el núcleo de hidrógeno empieza a atrapar a los electrones y formar átomos completos. Esta energı́a corresponde a una tempeartura de
3000o K La manera de realizar el cálculo de la temperatura proviene de la termodinámica. Sabemos que por cada grado de libertad tenemos asociado una energı́a
térmica dado por E = (1/2)kT donde k es la constante de Boltzmann y vale
k = 0.00008617 eV./oK (Recordemos que 1 eV. = 1.6X 10−19 Joules). Como el
fotón tiene dos polarizaciones independientes, esto significa que tiene dos grados de
libertad. En principio tiene tres, puesto que sabemos que el fotón es una partı́cula de
espı́n 1, pero uno de los grados de libertad debe ser observado cuando la partı́cula
está en reposo, algo que no es posible, por lo que solamente se manifiestan dos.
Entonces T = E/k = 1.6/0.00008617 = 3000(o K), como ya habı́amos dicho.
Para continuar, pondremos a la ecuación (43) en unidades de densidad de masa
en lugar de unidades de densidad de energı́a. La conversión da
3
ρ = 1.22X10−32 (T o K)4 Kg/m = 1.22X10−35 (T o K)4 g/cm
3
(50.a)
lo que da
1
t=
2
s
3
3
8π(6.67X10−8 cm3 / gm s2 )(9.9X10−22gm/cm )
≈ 700, 000 años
(50.b)
VI Tres problemas sin resolver
La descripción realizada hasta ahora, sin embargo, no puede resolver algunos
problemas que aún no tienen explicación y que son bastante graves. El primero que
vamos a discutir es el llamado problema del horizonte. Fijémonos en la ecuación
(48.c). En ella vemos que si tomamos una galaxia arbitraria a una distancia R(t)
de la tierra, tenemos que t ∼ ρ−(1/2) , pero como ρ ∼ 1/Rn , entonces t ∼ Rn/2 .
Es decir
R ∼ t2/n =
(√
t
2/3
Era de la radiación
(51)
t
Era de la materia
Este resultado, sin embargo, presenta un problema serio. Ninguna señal puede
viajar más rápido que la luz, por lo que si t representa la edad del universo,
no puede existir nada más allá que ct, en donde c es la velocidad de la luz.
No al menos, que haya estado en contacto con nuestro universo. Como ninguna
Tres problemas sin resolver
29
señal originada en nuestro universo puede haber llegado más lejos que el lı́mite
mencionado, a la distancia ct se le llama horizonte de eventos. Pues bien, el
horizonte siempre decrece linealmente, como ct, cuando retrocedemos en el tiempo;
pero si tomamos una galaxia tı́pica cualquiera a una distancia R(t), como sabemos
que R(t) ∼ t1/2 , tenemos que concluir que su distancia a la tierra decrece menos
rápido que el horizonte. Esto significa que si retrocedemos lo suficiente en el pasado,
acabaremos por tener que toda galaxia tı́pica cualquiera estará más allá del horizonte
en un momento dado. Pero todas las observaciones que se han podido hacer respecto
a este punto son formales: el universo está en equilibrio térmico, es decir, todas sus
partes tuvieron que estar en contacto entre sı́. Este problema se ha llamado el
problema del horizonte.
Una solución al problema del horizonte se planteó hace alrededor de 20 años
con la teorı́a de la inflación. propuesta por Alan Guth en el año de 1981. El
origen de su propuesta viene de más lejos, cuando Steven Weinberg y Abdus Salam
propusieron en 1973 un modelo de unificación para las llamadas interacciones débiles
y electromagnéticas. Este esquema pronto se pudo extender a las interacciones
fuertes, siguiendo un esquema matemático muy similar. Este modelo se conoce con
el nombre de modelo estándar y permitió unficar a tres de de las cuatro interacciones
en un solo modelo. La cuarta, la interacción gravitacional no pudo ser incorporada
en su esquema. Pero resumamos con rapidez cuál es la situación en esta parte de la
fı́sica.
En el universo solamente existen cuatro interacciones básicas para todo tipo de
interacción entre la materia. Estas cuatro interacciones son:
i) La interacción gravitacional, responsable del peso de los cuerpos y de la
estructura a gran escala del universo. Es la responsable, en gran medida, de que las
galaxias tengan la forma que tienen y de que los planetas giren alrededor de nuestro
sol.
ii) La interacción electromagnética, responsable no sólo de los fenómenos eléctricos, pero también de buena parte de los fenómenos quı́micos, puesto que interviene
en las interacciones entre los electrones que forman los átomos y por lo tanto esta
interacción está también en la base de los fenómenos biológicos.
iii) La interacción fuerte, responsable de la estructura de los núcleos de los
átomos. La interacción fuerte es la reponsable de que, a pesar de que los protones
que conforman el núcleo el átomo se rechazan con enorme fuerza, existe otra fuerza
aún más fuerte, del orden de 100 veces más intensa, que mantiene a los protones
unidos en el núcleo. Afortunadamente esta fuerza es de corto alcance, del orden de
solamente algunos fermi (1 Fermi = 10−15 m = 10−5 Angstroms ). Debido a esto,
30
La expansión del universo
los átomos muy grandes, como los elementos transuránicos, no pueden mantener a
sus protones pegados. Ésa es la razón por la cual estos átomos son inestables.
iv) La interacción débil. La interacción débil toma su nombre de la enorme debilidad o pequeñı́sima “amplitud” de interacción, como se le conoce a la intensidad
de interacción. A pesar de ello, es la reponsable de fenómenos bastante conocidos
como la radioactividad. También es la responsable de que los neutrinos, de los cuales
hablamos muy poco en este artı́culo, interaccionen con los electrones. Aún ası́, se
piensa que la interacción débil fue mucho más fuerte en el principio del universo y
mantuvo una interacción muy inportante entre los neutrinos y el resto de la materia. De esta manera, los neutrinos también estuvieron en equilibrio térmico con el
universo y actuaron como el resto de la radiación, en particular la producida por los
fotones. Actualmente debe haber también una radiación de fondo de neutrinos, pero
debido a lo débil de su interacción con el resto de la materia que tiene actualmente,
nadie ha podido medir esta radiación de neutrinos.
Hacia principios de los años setenta del siglo pasado, ya se conocı́a muy bien
el comportamiento de las cuatro interacciones básicas, al menos a las energı́as
disponibles en la época. Se sabı́a que la interacción gravitacional es descrita por
la teorı́a de Einstein, excepto para los fenómenos cuánticos. Para las otras tres interacciones, ya se habı́a hecho un fenomenal descubrimiento. Las tres interacciones
son descritas por teorı́as con la misma estructura matemática, las llamadas teorı́as
de campo de norma. Estas teorı́as se basan en la existencia de una simetrı́a que
les permite describir el tipo de interacción. Es decir, conocer la simetrı́a significa
conocer toda la teorı́a. Todas las mediciones realizadas desde finales de los años
treinta en adelante, no han hecho sino confirmar este punto, (con las equivocaciones
de rigor).
En particular, en los años cincuenta del siglo pasado, ya se tenı́a una muy buena
idea de qué tipo de teorı́as deberı́an describir a las interacciones débiles y fuertes.
Las interacciones electromagnéticas, descritas por las ecuaciones de Maxwell desde
el siglo XIX, siguen también la misma pauta. Pero habı́a (¿hay?) un pelo en la sopa.
Extrañamente, la teorı́a no es compatible con la existencia de masa para la materia
que interviene en ella, porque los términos de masa violan la tan importante simetrı́a
que es la base de todo el modelo. Es decir el mundo no deberı́a tener masa. Por
supuesto que tal situación es insostenible. Pasaron varios años, hasta que Abdus
Salam y Steven Weinberg propusieron en 1967 el mecanismo llamado de rompimiento
espontáneo de la simetrı́a, (Weinberg insiste en que él realizó el descubrimiento un
año antes que Salam).
La idea del rompimiento espontáneo viene de la fı́sica del estado sólido. Lo
Tres problemas sin resolver
31
que Weinberg y Salam propusieron, inspirados en las teorı́as de un fı́sico del estado
sólido llamado Peter Higgs, era que el vacı́o deberı́a estar “lleno,” o completamente
permeado, por un campo φ, llamado campo de Higgs, de la misma manera que un
campo gravitacional o uno eléctrico permea el espacio; pero con la “novedad” de que
este campo en particular es completamente uniforme. El modelo de Weinberg-Salam
no dice cuál es el origen de semejante campo tan extraño, ni porqué su presencia
es uniforme en todo el espacio. Por eso este modelo llamado modelo estándar, es
sólo un modelo y no una teorı́a. La siguiente hipótesis propuesta por Weinberg y
Salam, es que el campo de Higgs se acopla a la materia también de una manera
extraña, puesto que ningún otro campo conocido lo hace de la misma manera y que
es descrito por una gráfica que semeja un sombrero mexicano, (figura (10.a)).
V ()
Vacío veradero
Falso vacío
Fig. 10.a El falso vacı́o y el potencial de Higgs. El universo empieza como un universo muy caliente
y simétrico, justo hasta arriba, en el centro del sombrero, donde se encuentra una pequeña depresión
maracada como “Falso vacı́o”. Al enfriarse el universo, rápidamente éste abandona su estado simétrico
y pasa a un estado no simétrico en algún lugar del “ala” del sombrero, que en la figura aparece marcado
como “Vacı́o verdadero”.
Este potencial, a diferencia de lo que ocurre con los términos de masa, no
viola la simetrı́a del modelo. Lo que ocurre es que, como para cualquier sistema,
el universo tiende a colocarse en el estado de energı́a mı́nima. Cuando se tienen
términos de interacción como los del potencial de Higgs, entonces el primer mı́nimo
que encuentra el sistema está en la punta del sombrero, como se ve en la figura 10.b,
en donde se ha aplastado convenientemente la punta del sombrero para formar un
pequeño hueco. Este mı́nimo es, en realidad, sólo un mı́nimo relativo.
Al principio, el universo se acomoda en el mı́nimo relativo llamado “falso vacı́o”,
pero por tunelaje cuántico, un efecto que permite a los sistemas cuánticos saltar
barreras de potencial, el universo salta al mı́nimo absoluto (fig 10.b) llamado vacı́o
32
La expansión del universo
verdadero, que resulta ser un estado más estable, por ser verdaderamente el de
mı́nima energı́a. En este estado V (φ) es cero, pero a diferencia del estado de
falso vacı́o, el valor de φ no es cero. Es decir, la energı́a que cede el potencial se
convierte en un valor diferente de cero para el campo de Higgs. Como este valor del
campo es uniforme en todo el espacio, entonces no es fácil detectarlo. Sin embargo,
este valor diferente de cero tiene una gran importancia, porque después de algunas
manipulaciones en las ecuaciones ¡resulta ser que se convierte en términos de masa!
Es un poco extraño, porque sı́ son términos de masa, pero no violan la simetrı́a que
los términos de masa usuales sı́ violan, Como la evolución del universo del falso vacı́o
al verdadero se da de una manera espontánea, entonces a este mecanismo se la ha
llamado rompimiento espontáneo de la simetrı́a.
-2
-3
V ()
-4
Falso vacío
-5
-6
Vacío verdadero
-7
-8
-2
Fig.
-1
10.b Corte longitudinal del sombrero mexicano.
1
o
2
Aquı́ tenemos otra perspectiva de los puntos
llamados “vacı́o verdadero” y “falso vacı́o” del potencial de Higgs
Alan Guth entonces introdujo estas ideas en las ecuaciones de Einstein. En
particular, la Ec. (38) se debe modificar para geometrı́as planas a
Ṡ 2
8πG
=
[ρ+ < V (0, T ) >]
2
S
3
(52)
en donde < V (0, T ) > es el valor promedio del potencial de Higgs cuando φ = 0 .
La T que aparece es porque se piensa que el potencial tiene además una cierta
dependencia con la temperatura del universo. Un término como el que aparece en
la ecuación (52) no es en realidad nuevo. Ya Einstein habı́a propuesto un término
como 8πG
3 [ρ + Λ] , en donde Λ es la llamada constante cosmológica. Este término
Tres problemas sin resolver
33
lo acuñó Einstein para poder sostener la teorı́a de un universo estable, puesto que
˙ = 0. Einsi ponemos un valor de Λ tal que 8πG
[ρ + Λ] = 0, entonces S(t)
3
stein especuló que deberı́a existir un término con constante cosmológica Λ en sus
ecuaciones para poder tener un universo estático. Esta especulación fue después reconocida por él como uno de los más grandes errores de su vida. Es de justicia notar,
sin embargo, que las teorı́as de inflación modernas reivindican en una cierta medida
su hipótesis original de la existencia de un término tipo constante cosmológica en
sus ecuaciones.
Alan Guth especuló que a medida que el universo se expande, el término
8πG
3 [ρ+ < V (0, T ) >] va acabar por dominar a la densidad ρ, puesto que la densidad disminuye con la expansión. En estas condiciones, la ecuación (52) queda
como
8πG
Ṡ 2
=
[< V (0, T ) >]
2
S
3
(53)
˙
cuya solución es una exponencial. Recordemos que H = S(t)/S(t).
La exponencial
queda entonces como
S(t) = eHt ,
H=
r
8πG < V (0, T ) >
3
(54)
Debido a esta expansión exponencial de S(t), Guth llamó a su teorı́a la teorı́a de
la inflación cosmológica. Los cálculos numéricos sugieren que H ∼ (10−34 seg.)−1
De acuerdo a los cálculos de Guth, la inflación ocurrió muy pronto en el universo,
alrededor de 10−5 seg. Esto da entonces un factor de inflación verdaderamente de
locura, del orden de eHt ∼ 1029 . Ası́ sı́ podemos entender porqué el universo es
plano y porqué no existe, si creemos en la inflación, el problema del horizonte.
Esencialmente la razón es que el universo era originalmete muchisı́simo más chico
de lo que creı́mos. Después de algunos instantes de que se dió el Big bang, el
universo pasó por una etapa de inflación exponencial fantástica. De esta manera,
toda la materia estuvo originalmente en contacto y en equilibrio térmico entre sı́.
Las pequeñı́simas fluctuaciones del universo primitivo dieron origen a fluctuaciones
“infladas” después de la etapa expansiva. Estas fluctuaciones son suficientemente
grandes, de acuerdo a los cálculos realizados por los astrofı́sicos, para que puedan
ser consideradas como las semillas de las galaxias y de otros cuerpos celestes como
son las estrellas y planetas.
Pasado un tiempo de rapidı́sima inflación, el universo se enfrı́a lo suficiente como
para que el término potencial disminuya enormemente, pero el valor de φ, que es
34
La expansión del universo
cero cuando el sistema está en la época de falso vacı́o, pasa a un valor φ0 6= 0, que
minimiza el potencial en el segundo mı́nimo, el del verdadero vacı́o. Notemos que,
mientras en el vacı́o falso el potencial tiene una solucion φ = 0 que es simétrica, en
el vacı́o verdadero φ0 está en una dirección arbitaria, pero fija (por ej. en la figura
está en la dirección del eje X), lo que rompe la simetrı́a. Guth supone entonces que
V (φ0 , Tfrı́o ) < V (0, Tcaliente ), lo que lleva a que la inflación disminuya y el universo
salga de la etapa de crecimiento exponencial. El escenario que Guth vislumbró es
entonces que en los primeros instantes de la creación del universo, justo antes de la
inflación, el universo se encuentra en una etapa de falso vacı́o en donde se empieza
a formar una burbuja de vacı́o veradero, al mismo tiempo que se da la inflación. A
medida que el universo se infla, esta burbuja de veradero vacı́o crece, (aunque puede
haber más de una burbuja) y llena nuestro universo de vacı́o verdadero.
Existen muchas dudas sobre la validez de estas teorı́as. Por ejemplo, el modelo
funciona bien escogiendo con cuidado el valor de cada parámetro del potencial de
Higgs. Valores que, a final de cuentas, son muy improbables debido a las fuertes
fluctuaciones cuánticas que se dan antes, en la escala de Planck. Ha habido algunos
esfuerzos por mejorar la teorı́a de la inflación, como el modelo caótico de Andrei
Linde, pero no es todavı́a muy claro si alguno de los modelos de inflación hasta
ahora propuestos sea correcto.
Las teorı́as de inflación están basadas en la existencia del Higgs, que es una
partı́cula que se propuso para explicar la presencia de masa en el modelo estándar.
Este es sin embargo, uno de los puntos más débiles del modelo estándar. Hasta
ahora el Higgs, o mesón de Higgs, como se le conoce, no sólo no ha sido encontrado,
sino que su existencia en el modelo estándar fue introducida de una manera ad hoc,
por pura conveniencia. El mesón de Higgs es además una partı́cula muy rara. Se
acopla al resto de la materia de una manera que no se ve en otras partı́culas y eso
también necesita de una explicación más satisfactoria. ¿Qué pasará si el mesón de
Higgs no existiese? El modelo estándar funciona muy bien, pero necesita del Higgs
de una manera que parece esencial. Una de las propuestas es que, si el Higgs no
existe, entonces al menos debemos tener una interacción que funciona como tal, es
decir que existe alguna interacción aún no entendida que se acopla a la materia como
lo hace el Higgs, siguiendo un potencial de sombrero mexicano. Como quiera que
sea aún nos falta mucho por entender
El segundo y tercer problema están relacionados entre sı́ y los pienso abordar
solamente de una manera muy somera. Empecemos por el segundo problema que es
el problema de la materia faltante en el universo. En efecto, las observaciones del
Hubble son formales: el universo es plano. Sin embargo la materia que existe en el
Tres problemas sin resolver
35
universo apenas si puede, aún estirándola lo más posible, para justificar un 5% de la
materia que se necesita para tener un universo plano. ¿En dónde está la materia que
falta? Una propuesta es que no la vemos porque es oscura, no radı́a, pero de alguna
forma está ahı́, ejerciendo su influencia gravitacional sobre el resto del universo. De
ahı́ el nombre de materia oscura. La materia oscura se encuentra en principio en
muchas partes del universo, pero las observaciones realizadas últimamente, sugieren
que la materia oscura no está muy lejos sino que se encuentra incluso en nuestra
propia galaxia, aunque también podrı́a estar en otras partes. En las galaxias como
la nuestra, su efecto se traduce en que las partes exteriores de la galaxia ya no siguen
la ley de las velocidades predicha por la leyes newtonianas, v ∼ r −1/2 , deducidas
con el inverso del cuadrado de la distancia, sino que más bien se mueven como si la
parte exterior de la galaxia fuera un plato sólido.
Los candidatos para la materia oscura vienen en general de las teorı́as llamadas
supersimétricas. Estas teorı́as introducen una nueva simetrı́a, sumamente básica,
entre partı́culas de espı́n entero como el fotón, llamadas bosones y partı́culas de
espı́n no entero, llamadas fermiones como el electrón. Hasta antes de las teorı́as
supersimétricas, los fı́scos tenı́an que tratar de una manera muy diferente a los
bosones y los fermiones, algo que en sı́ es insatisfactorio. Esencialmente los fermiones
no pueden estar en un mismo estado de un sistema, pero los bosones sı́ que pueden.
Podemos ver la prohibición de que dos estados no puedan estar en un mismo sistema
como el equivalente microscópico de que dos cuerpos no pueden estar en un mismo
lugar en el espacio. Este principio se llama el Principio de exclusión de Pauli. Los
bosones en cambio no lo obedecen, lo que ha dado lugar a una enorma cantidad
de fenómenos cuánticos interesantes, como el que todos las partı́culas bosónicas de
un sistema se encuentren en el mismo estado, el famoso efecto de condensación de
Bose. Pero ¿porqué la naturaleza hace tal distinción?
El descubrimiento por parte de los fı́sicos de nuevas estructuras matemáticas,
mas generales que las álgebras de Lie que se emplearon como herramienta en el
modelo estándar, permitieron a los teóricos tratar a los fermiones y bosones en
igualdad. Estas nuevas estructuras (nuevas para los fı́sicos, los matemáticos ya las
conocı́an desde hacı́a cien años), se llaman superálgebras. Aunque el nombre es
horrible, están basadas en la existencia de números que anticonmutan, propuestos
por un matemático de fines del Siglo XIX de apellido Grassmann, quien trabajó en
un liceo dando clases, por lo que su trabajo fue poco conocido por mucho tiempo.
Una de las predicciones de estas teorı́as supersimétricas, es que existen para cada
partı́cula, un compañero “supersimétrico” de espı́n entero si la partı́cula es de espı́n
semi-entero y de espı́n semi-entero, si la partı́cula es de espı́n entero. Se dice que
36
La expansión del universo
la supersimetrı́a no se rompe si los compañeros supersimétricos tienen la misma
masa que la partı́cula original. Como los compañeros supersimétricos brillan por su
ausencia por el momento, entonces lo más probale es que las supersimetrı́a esté rota.
Algunos compañeros supersimétricos candidatos para la materia oscura frı́a, es
decir que no radı́a, son el gravitino, que es el compañero supersimétrico del gravitón,
el responsable de la existencia de la gravedad, el fotino, que es el compañero supersimétrico del fotón, el axión, que no es ningún detergente, sino un bosón asociado
al hecho de que hay más materia que antimateria pesada, como son los protones
y los neutrones. Los fı́sicos decimos que está asociado al rompimiento del número
bariónico, una cantidad que vale 1 para los neutrones y protones, pero que es 0
para el electrón y los neutrinos. Si el número bariónico se conservase a rajatabla,
habrı́a igual cantidad de materia que de antimateria. La pequeña violación a su
consevación, explica la casi ausencia de antimateria en nuestro universo. Gracias a
esta violación, las teorı́as supersimétricas predicen la existencia del axión, uno de
los fuertes candidatos a materia oscura frı́a.
Supongamos que XM O representa una de estas partı́culas exóticas predichas
por la supersimetrı́a, ( M O = materia oscura). Denotemos X̄M O a la antipartı́cula,
en quien creemos con todas nuestras fuerzas si la X existe. Es de esperar entonces
la siguiente reacción
XM O + X̄M O → 2γ
(55)
donde γ son fotones muy energéticos. Varios experimentos están propuestos para
ver si estos fotones realmente existen.
Asociada a la hipótesis de la masa faltante, está también la hipótesis de la
energı́a oscura. Uno de los mas sorprendentes descubrimentos realizados por el
telescopio espacial Hubble, es que el universo no solamente está en expansión, algo ya
sabido, sino que la expansión es acelerada. Esto sı́ que es un resultado sorprendente.
Es como si aventáramos una piedra hacia arriba y que, en lugar de desacelerarse
por efecto de la gravedad, existiese una fuerza repulsiva ¡que la empuja cada vez
más rápido hacia arriba! Una de las primeras hipótesis propuestas es que, además
de la existencia de la materia oscura, debe existir una energı́a que no hemos podido
detectar hasta ahora y que en consecuencia, recibe el nombre de energı́a oscura.
Esencialmente, se añade en la ecuación (52) un término responsable de la expansión
muy similar al potencial de Higgs. Algo ası́ como una inflación mucho menos violenta
que la original que empuja la expansión acelerada del universo.
Las mediciones realizadas hasta ahora, sugieren que el universo se compone de
Tres problemas sin resolver
37
∼ 5% de materia ordinaria, la que vemos todos los dı́as, un ∼ 25% de materia
oscura y un ∼ 70% de energı́a oscura. Sin embargo está situación es, con toda
franqueza, sumamente insatisfactoria. ¿Porqué nunca, a pesar de su abundancia,
hemos visto aunque sea un pedacito de materia oscura? ¿Porqué nunca hemos
visto sus efectos, nos la hemos encontrado en el cine o en el Metro o, inclusive en
un laboratorio? De hecho, lo que deberı́a ser raro es encontrarse con la materia
ordinaria, puesto que es muy escasa. En lo personal, aunque la idea de la materia
oscura es la predominante en el medio cientı́fico, al autor le parece no sólo poco
probable, sino muy poco imaginativa.
En los últimos años han surgido alternativas a la idea de materia y energı́a
oscura que, al menos, vale la pena mencionar. Estas ideas son aún poco aceptadas,
o quizás deba decir menos aceptadas, que la hipótesis de la materia oscura. Todas
ellas apuntan a que no es que haya más materia en el universo, ni que el universo se
encuentre en expansión acelerada, sino que las leyes de la fı́sica no son válidas a las
gigantescas distancias involucradas en este tipo de mediciones. Para el caso de la
materia oscura, existe una alternativa interesante proveniente de la teorı́a de cuerdas
y de la teorı́a M, que es una generalización de las cuerdas. En la teorı́a M coexisten
cuerdas abiertas y cerradas además de otros objetos llamados branas, (el nombre
proviene de membrana). Las cuerdas abiertas siempres están pegadas a alguna
brana, aunque no necesariamente la misma. Las vibraciones de las cuerdas abiertas
están asociadas a las partı́culas que predice la teorı́a, cada modo de vibración es
en general, algún tipo de partı́cula. Además las vibraciones de las cuerdas inducen
también vibraciones a las branas a las cuales están pegadas por sus extremos las
cuerdas. Las cuerdas cerradas están asociadas al gravitón, es por esta razón que las
teorı́as de cuerdas incorporan de una manera natural a la gravedad.
Cuerda abierta
Brana
Fig. 11 Una brana con una cuerda abierta y dos cuerdas cerradas. Las cuerdas cerradas están asociadas
a los gravitones, que son las partı́culas que portan la gravedad.
38
La expansión del universo
Otro de los atractivos de las teorı́as de cuerdas es que incorporan además, de una
manera bastante natural, a la supersimetrı́a. La razón es que las cuerdas y branas
tienden a estar plagadas de problemas de inestabilidad porque contienen estados
de partı́culas que se mueven a mayor velocidad que la luz, llamados taquiones.
Estas partı́culas son responsables de inestabilidades en la teorı́a, pero pueden ser
desechadas en el caso supersimétrico.
En general, este tipo de teorı́as están definidas en más dimensiones que 4. Para
hacer contacto con nuestro mundo, se han desarrollado diferentes estrategias. La
más común es la de compactificar las dimensiones sobrantes. Esto quiere decir que
hacemos a las dimensiones que nos sobran tan chiquitas que no las podemos ver,
pero no es necesariamente ası́ siempre. Por ejemplo, Georgi Dvali, un fı́sico de la
desaparecida Unión Soviética y que trabaja ahora en la Universidad de Nueva York,
propuso junto con sus colegas Gregory Gabadadze y Massimo Porrati también de
la Universidad de Nueva York, que las dimensiones extras no son compactas sino
que son planas y extendidas como las demás dimensiones, pero nosotros no tenemos
acceso a ellas. En general tampoco las demás partı́culas. Sin embargo, a distancias
cósmicas existe un pequeño efecto de fuga del gravitón a las dimensiones extras.
Los gravitones se comportan un poco como las ondas de sonido en una hoja de
metal grande. A distancias pequeñas el sonido viaja por la hoja metálica, pero si la
distancia que recorre la onda sonora es grande, entonces empieza a haber fugas de
sonido hacia afuera de la hoja. Es un poco lo que pasa en la teorı́a de Dvali. Lo que
este investigador encuentra es que con esta fuga de gravitones hacia las dimensiones
extras, no se necesita la hipóptesis de materia oscura ni de energı́a oscura, lo que es
muy esperanzador.
Es muy todavı́a muy pronto para saber si estas ideas son útiles para explicar el
problema de la masa faltante y de la expansión acelerada del universo, pero muestran
que existen alternativas a las hipótesis tradicionales.
Tres problemas sin resolver
39
Para saber (mucho) más.
1) Scientific American. Out of the Darkness, George Dvali. Febrero del 2004 de la
edición en Inglés.
2) Introduction to Cosmology, Matts Roos, Jhon Wiley & Sons, New York. Este
libro casi no contiene nada que no esté ahı́. Fácil de leer y apto para toda la familia.
3) Los tres primeros minutos del universo, Steven Weinberg, Alianza Editorial,
Alianza Universidad, Madrid, (1977). Un clásico para toda la familia, apto para
chicos y grandes, sin embargo ya es algo viejo, porque fue escrito antes de que se
propusieran las teorı́as de inflación.
Uno puede en general contentarse con lo artı́culos anteriores y ver otras referencias sobre el tema ahı́, sin embargo es conveniente señalar textos más avanzados
para aquellos interesados en profundizar mucho más, el problema es que implican
tener al menos la licenciatura en fı́sica. Por supuesto, la lista no es exhaustiva, es
sólo indicativa.
4) A first course in general relativity, Bernard F. Schutz. Cambridge University
Press, (1985). Excelente introducción, muy amena y pedagógica. Tiene un fenomenal capı́tulo sobre ondas gravitacionales.
5) Gravitation and Cosmology: Principles and applications of the General Theory
of Relativity, Steven Weinberg, Jhon Wiley & Sons, (1972). New York. Aunque
algo viejo (de los 70’s), es la biblia gravitacional para los que no hacen gravitación
sino teorı́a del campo. Cuando mi alma se encuentra desolada y sin entender lo que
gravitacionalmente le rodea, en sus páginas encuentro la luz y el conocimiento para
seguir adelante, (gravitacionalmente hablando). Un poco técnico, digamos que es
para adolescentes y adultos.
6) Introduction to superstring theory, Elias Kiritsis, Preprints CERN-TH/97-218
y hep-th/9709062, (1997). Excelente introducción a la teorı́a de cuerdas, aunque
varias partes son sólo para adolescentes de amplio criterio y adultos.
7) String theory, tomos I y II, Joseph Polchinski. Cambridge University Press,
(1998). Sólo para adultos, aunque la parte de la cuerda bosónica puede ser leı́da por
adolescentes de amplio criterio.