4. Importancia de la descripción de la forma de las nubes de puntos centradas en G Teorema de Huygens La inercia de una nube de puntos N(I) con respecto a un punto m del espacio puede ser descompuesta en la suma de la inercia de la nube de puntos N(I) con respecto al Centro de Gravedad G L más la inercia del Centro de Gravedad, munido de la masa total de la nube de puntos, con respecto al punto m. (demostración in E. CRIVISQUI "Análisis factorial de Correspondencias - un instrumento de investigación en ciencias sociales", ULB-UCA, Asunción, Paraguay, 1993) Pr ograma PREST do CRIVISQ A - 1999 - Eduar UI Programa Eduardo PRESTA RIVISQUI Tr. N°52 5. El punto G de una nube de puntos-perfiles es un punto característico del espacio Por el teorema de Huygens: I mΝ ( I ) = I GΝL( I ) + M tot d (2GL ,m ) Siendo : mi > 0 ∀i ⇒ M tot > O y d (2i ,i' ) ≥ 0 ∀i ,i' si GL ≡ m ⇒ d (2GL ,m ) = 0 si GL ≠ m ⇒ d (2GL ,m ) > 0 y si GL ≠ m ⇒ I mΝ ( I ) > I GΝL( I ) en cambio, si GL ≡ m ⇒ I mΝ ( I ) = I GΝL( I ) puesto que, si... d 2 (GL ,m ) = 0 ⇒ M tot d (2GL ,m ) = 0 La inercia, con respecto al Centro de Gravedad, del sistema de masas de los puntos-perfiles constituye un valor mínimo. Interés de esta conclusión... Pr ograma PREST do CRIVISQ A - 1999 - Eduar UI Programa Eduardo PRESTA RIVISQUI Tr. N°53 6. Reducción de una nube de puntos-perfiles al Centro de Gravedad Puesto que : I GΝ' L( I ) = I GΝL( I ) + M tot d (2GL ,G'L ) La inercia de N(I) con respecto a G’L puede formularse : I GΝ' L( I ) = I //ΝG( LI ) + I //ΝG( LI ) + I //ΝG( IL ) + M tot d (2GL ,G'L ) ∆ Ε⊥∆ Β⊥Ε⊥∆ La recta que pasa por el Centro de Gravedad es la recta que minimiza la suma de los cuadrados de los desvíos de los puntos de la nube medidos ortogonalmente a la dirección de la recta. Todas estas propiedades pueden ser generalizadas al caso de espacios de más de tres dimensiones. La descomposición de la inercia necesita que el nuevo referencial sea : ✔ ortogonal ✔ centrado en el Centro de Gravedad de la nube de puntos Pr ograma PREST do CRIVISQ A - 1999 - Eduar UI Programa Eduardo PRESTA RIVISQUI Tr. N°54 I. DEFINICIÓN DE UN NUEVO REFERENCIAL DE REPRESENTACIÓN DE UNA TABLA DE CONTINGENCIA 1. ¿Cómo hacer para construir un sistema de ejes ortogonales...? ✔ ¿Cuál es el interés de construir un nuevo referencial...? Sea una Tabla T La nube de puntos-columna N(J) = Q{J1, J2, J3, J4, J5} Referencial tres modalidadesen línea : {L1 , L2, L3} En ese espacio, creamos un nuevo referencial centrado y ortogonal (por construcción). Pr ograma PREST do CRIVISQ A - 1999 - Eduar UI Programa Eduardo PRESTA RIVISQUI Tr. N°55 2. Referencial ortogonal y centrado en GJ Los puntos-perfiles J"1, J"2, J"3, J"4 y J"5 son determinados por la proyección ortogonal de los puntos J1, J2, J3, J4 y J5 sobre el eje I. ✔ ¿Cuál es la inercia de la nube de puntos-perfiles a lo largo del eje I...? ✔ ¿Cuál es la inercia residual de la nube de puntosperfiles ...? Para representar las distancias de todos los puntos con respecto a GJ , podemos representar —en todos los subespacios de dos dimensiones— las proyecciones de la nube de puntos sobre los ejes del nuevo referencial. Pr ograma PREST do CRIVISQ A - 1999 - Eduar UI Programa Eduardo PRESTA RIVISQUI Tr. N°56 Primer subespacio de una dimensión Segundo subespacio de dos dimensiones La ortogonalidad de los ejes permite presentar la inercia de la nube con respecto a G en una sucesión de gráficos de los subespacios de una o dos dimensiones. Pr ograma PREST do CRIVISQ A - 1999 - Eduar UI Programa Eduardo PRESTA RIVISQUI Tr. N°57 El nuevo tipo de referencial presenta tres ventajas importantes : ✔ Permite el análisis completo de la forma de la nube de puntos-perfiles; ✔ Permite la representación de la forma de la nube de puntosperfiles cualquiera sean las dimensiones de las nubes de puntos. ✔ Permite producir la representación objetiva de esas nubes de puntos, es decir «estables», independientes de la opción («punto de vista») del analista. Es posible asociar a esas representaciones gráficas los coeficientes de control que constituyen la componente digital complementaria de ese modo analógico de comunicar el sentido de la información aportada por la Tabla de Contingencia. Pr ograma PREST do CRIVISQ A - 1999 - Eduar UI Programa Eduardo PRESTA RIVISQUI Tr. N°58 3. ¿Cómo construir una «buena» representación de la información de la Tabla T...? ¿Cómo elegir el «mejor» sistema de ejes que sirva de referencial de representación de la Tabla T...? Direcciones principales de las nubes de puntos-perfiles Plano α en un gráfico de dos dimensiones Pr ograma PREST do CRIVISQ A - 1999 - Eduar UI Programa Eduardo PRESTA RIVISQUI Tr. N°59 4. ¿Cómo elegir entre esos dos sistemas de ejes igualmente posibles...? ➩ ¿Cuál sistema de ejes aporta la «mejor» representación de la dispersión de la nube de puntos en torno a G...? ✔ Criterio de selección... El mejor referencial es aquel para el cual las proyecciones de los puntos-perfiles sobre un eje son las más grandes, de manera tal que los desvíos de la nube de puntos-perfiles — medidos ortogonalmente con respecto al eje— sean los más pequeños. Para obtener, por proyección ortogonal, la mejor imagen posible de una nube de puntos-perfiles es necesario : - proyectar los puntos de la nube sobre una recta que maximice la inercia proyectada de la nube a lo largo de ella. o bien, - proyectar la nube a lo largo de una recta con respecto a la cual la inercia residual ortogonal de la nube de puntosperfiles es mínima. ✔ «Direcciones principales de deformación» La recta que responde a esa exigencia es llamada «dirección principal de deformación» de la nube de puntos-perfiles. Pr ograma PREST do CRIVISQ A - 1999 - Eduar UI Programa Eduardo PRESTA RIVISQUI Tr. N°60