ALGEBRA SUPERIOR CAPÍTULO 1 D i Desigualdades ld d M.I. ISIDRO I. LÁZARO CASTILLO Aplicación Un estudiante debe mantener un promedio fi l en cinco final i exámenes á entre t 80 y 90% para tener una nota final de B y mantener una beca universitaria universitaria. Si en los primeros cuatro exámenes obtuvo 96, 70, 81 y 95 ¿Qué calificación deberá obtener en el éxamen final para obtener una nota de B? Para que sirven ? Una de las principales utilidades de las d i desigualdades ld d es su aplicación li ió a los problemas de decisión: se trata de programar una situación con el objetivo dedecidirse por una alternativa que sea óptima. p En g general,, el p proceso de optimizar consiste en lograr un resultado máximo o mínimo según convenga al problema planteado. Introducción a la teoría de Conjuntos La primera formulación de la teoría de conjuntos aparece con los trabajos de George Cantor Cantor. La teoría de conjuntos trajo claridad y precisión en la exposición p de muchas teorías y áreas de la matemática, como la teoría de las probabilidades, la topología, etc. Conjuntos 1. 2. Es una colección bien definida de objetos de un mismo i ti tipo. A llos conjuntos j t se lles d denota t con letras mayúsculas A, B, … E i t 2 fformas para escribir Existen ibi llos conjuntos: j t Forma tabular F t b l od de extensión. t ió Constructiva o por compresión Para escribir un conjunto usando la forma t b l se lilistan tabular, t ttodos d sus elementos l t separados por comas y encerrados entre llaves {{….}. } Forma Tabular Se escribe el conjunto listado todos sus elementos. l t Ejemplo.- El conjunto de los primeros cinco números ú naturales t l se puede d escribir ibi como: A={1,2,3,4,5} Forma constructiva Para escribir un conjunto por compresión o método ét d constructivo t ti se elige li un elemento l t arbitrario x y se señala que cumple la propiedad P, P de la forma siguiente siguiente. A x p Esto se lee.lee “A A es el conjunto de todos los elementos x tales que cumplen la propiedad P. P” Ejemplos Ejemplo.- El conjunto de los primeros cinco números enteros se puede escribir como como.A={ es uno de los primeros cinco enteros positivos}={x N x 6 } Ejemplo - Escribir el siguiente conjunto en su forma de Ejemplo. compresión o abstracción. A={ -2,2 } Solución.- Obsérvese que se puede asociar esto a una raíz cuadrada. A={ x x 4 } 2 Cardinalidad Hay conjuntos que tienen un número finito de elementos; estos se llaman conjuntos finitos en caso contrario se le llama conjunto infinito. El número de elementos de un conjunto finita es lo que se llama la cardinalidad de dicho conjunto. La cardinalidad de un conjunto finito A se denota por Card(A). Otros conjuntos Conjunto vacío.- El conjunto vacío es aquel que carece de elementos y se denota por { }}. Conjunto unitario. unitario - Un conjunto A es un conjunto unitario si tiene solo un elemento. Conjunto universal.- En cualquier aplicación de la teoría de conjuntos, los elementos de todos los conjuntos pertenecen usualmente a un gran conjunto fijo llamado conjunto universal y se denota por U. Subconjuntos Subconjuntos.- Si cada elemento A es también elemento de un conjunto B, B entonces se dice que A es un subconjunto de B. Se dice también que A está contenido en B o que B contiene a A. La relación de subconjunto viene dado por.- AB ó B A Ejemplo.- Sean los conjuntos y establecer algunas relaciones de subconjuntos entre ellos ellos. A={1,2,3} B={2 B {2,3,1} 3 1} C={1,2,3,4,5,6} D={ es entero positivo} Solución.- Escribiendo D en forma tabular D={1,2,3,4,…} Así A=B A B A C B C C D Números naturales, naturales enteros enteros, racionales, irracionales y reales - El conjunto de los números reales esta formado por varios conjuntos de números números, en particular particular, los números reales se representan por símbolos como.2,0,-5, , , , , , 0.125,, , , , 0.6666…. Un número racional es aquel que se puede expresar como la razón de dos enteros de la forma a/b, donde a y b son enteros y b 0 0. 1 4 0 3 , , , 2 2 1 5 - Un número irracional es aquel que no se puede expresar como la razón de dos enteros. Diagramas de Venn Una representación gráfica de los conjuntos y de d llas relaciones l i entre t ellos ll viene i d dada d por los llamados diagramas de Venn. Intersección de Conjuntos La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto j t fformado d por todos t d los l elementos l t comunes a los dos conjuntos. La intersección de A y B se denota por A B, B y en notación de conjuntos se escribe como A B {x x A x B} Unión de Conjuntos La unión de dos conjuntos A y B consta de t d los todos l elementos l t que pertenecen t aAoa B, esta se denota como A B . A B x x A x B Donde.D d significa i ifi o La recta numérica orden en los reales La recta de los números reales los divide en tres clases: Reales negativos negativos.- Situados a la izquierda del origen origen. Cero.- situado en el origen Reales positivos.- situados a la derecha del origen. Orden en los reales Sean a y b dos números reales. Si la diferencia a-b es positiva, positiva entonces decimos que a > b (a mayor de b). De manera similar si a-b es p positivo,, también podemos decir que b es menor que a y lo denotamos como b < a. Por lo tanto a > b y b < a son proporciones equivalentes. Sobre la recta de los números reales, si a > b, el punto t con coordenada d d a está tá a lla d derecha h d dell punto con coordenada b. Si la diferencia de dos números reales es positiva iti o cero, es d decir, i sii a > b ó a = b b, entonces decimos que a es mayor que o igual a b y escribimos a b . De manera similar similar, ab si , también podemos decir que b a . Definición de Desigualdad Una desigualdad es una proposición de acuerdo d con lla cuall una cantidad tid d reall es mayor o menor que otra. P Proposiciones i i d de lla fforma a < b o b > a son denominadas desigualdades estrictas. Proposiciones de la forma ab o bb a son desigualdades no estrictas. Clasificación de desigualdades Desigualdad absoluta o incondicional: Esta es verdadera para todo número real real. Y Desigualdades condicionales ó de inecuación: Está es verdadera sólo p para los números de un subconjunto propio del conjunto de reemplazo. x 2 x 1 x2 0 Desigualdades absolutas 3x 7 x7 5 D i Desigualdades ld d condicionales di i l Propiedades de las desigualdades 1.- Axioma de tricotomía.- si a y b R entonces una y sólo una de las siguientes relaciones es válida [3] [3]. 2.- Axioma de transitividad.- Si a, b y c R tal que a > b y b < c,, entonces a > c. 3.- Axioma de adición.- Si a, b y c R tales que a > b, entonces: 4.- Axioma de multiplicación.- Si a, b y c R tales que a > b, entonces: i) si c > 0 entonces ac > bc ii) si c < 0 entonces ac < bc Solución de desigualdades El procedimiento para resolver desigualdades consiste en transformar la desigualdad un paso a la vez hasta que el conjunto solución sea obvio. 1.- Se puede sumar el mismo número a ambos miembros de una desigualdad. 2.- Se pueden multiplicar ambos miembros de una desigualdad por un número positivo sin alterar la desigualdad, pero si se multiplica por un negativo entonces se debe de cambiar el sentido de la desigualdad, tal y como se mencionó en el axioma 3 inciso ii). Representación de la solución Desigualdades Lineales Ejemplo.- Encontrar y dibujar la grafica del conjunto solución de la siguiente desigualdad. desigualdad 3x 8 7 S Sumando d 8 a ambos b miembros i b d de lla d desigualdad i ld d 3x 8 8 7 8 3x 15 Multiplicando por 1 3 3 x 15 3 3 x5 Representando la solución en notación de conjuntos.j x R x 5 En forma gráfica Ejemplo.- Resolver la siguiente desigualdad d bl doble.5 2 x 6 4 Sumando -6 a cada miembro de la misma 5 6 2 x 6 6 4 6 11 2 x 2 Multiplicando por 12 11 x 1 2 Desigualdades que incluyen la variable en el denominador Ejemplo.- Encuentre el conjunto solución de l d la desigualdad. i ld d 5 2 x En este caso debemos multiplicar ambos miembros de la desigualdad por x, para ello debemos considerar dos casos, ya que el sentido de la desigualdad dependerá de que x sea positiva o negativa, por lo que al ser la incógnita deberá resolverse primero pensando en que x sea positiva y posteriormente en otro caso, obtener la solución cuando x es negativa Caso 1.- Si x es positiva, es decir, 5 2 x Multiplicando por x 5 2x Multiplicando por 12 5 x 2 o x 5 2 x 0. De esta forma una posible solución a esta desigualdad se encuentre realizando la intersección siguiente: Solución del Caso 1 = {{Condición del caso 1}} {Solución parcial del caso 1} Aplicando esto en notación de conjuntos. x 0 x 5 0 x 2 5 2 Caso 2.- Si x es negativa, es decir, x 0 . Multiplicando a ambos miembros de la desigualdad por x e invirtiendo el sentido de la misma. 5 2 x 5 2x Multiplicando por 1 2 5 x 2 o x 5 2 El conjunto solución de la desigualdad para el caso 2 es es. x 0 x 5 2 El conjunto solución de la desigualdad dada es la unión de los conjuntos solución de los casos 1 y 2, el cual es: 5 5 0 x x 0 x 2 2 Valor absoluto El valor absoluto de un número x se define como x x x Propiedades i) x x x ii) x x x y y x iii) x y x y x x x y x y y0 i ) iv) y y v) x y x y desigualdad del si x es si x es negativo g triangulo positivo Desigualdades que involucran valor absoluto Las desigualdades que incluyen la notación d valor de l absoluto b l t ttambién bié pueden d escribirse ibi en forma equivalente sin utilizar tal notación. Desigualades del tipo 1.1 A partir de la definición de valor absoluto. ax b c si c 0 Tiene el mismo conjunto de solución que ax b c para ax b 0 ó ax b c para ax b 0 Desigualdades del tipo 1 se convierte en dos desigualdades separadas separadas, por lo que el conjunto solución de la desigualdad original es.{Solución de la desigualdad original}={Sol. de la primera} {Solución de la segunda} Desigualdad del tipo 2.- A partir de la d fi i ió d definición de valor l absoluto b l t ax b c (c 0) Es equivalente ax b c donde ax b 0 Y ax b c donde ax b 0 Si se multiplica la ec. ec (1) por -1, 1 tenemos: ax b c Es equivalente a c ax b c para (c 0) (1) (2) Desigualdades del tipo 2 se convierte en una d bl P doble. Para obtener bt lla solución l ió ttotal t ld debe b recordarse que la solución debe satisfacer ambas desigualdades (originalmente era una desigualdad doble), por lo que la solución será: {Sol. de la desigualdad doble}={Sol. de la primera}} {{Sol. de la segunda} p g } Ejemplo.- Encuentre el conjunto solución de l d la desigualdad. i ld d 2x 7 9 Obsérvese que corresponde a la desigualdad de tipo 2. La desigualdad dada es equivalente a.9 2 x 7 9 9 7 2 x 9 7 2 2 x 16 1 x 8 Ejemplo.- Encuentre el conjunto solución de la d i desigualdad. ld d 3x 4 2 obsérvese que corresponde a una desigualdad del tipo 1. De la primera De la segunda 3x 2 4 3x 6 x 6 3 x2 3x 2 4 3x 2 2 x 3 Por lo que el conjunto solución es x x 2 2 x x 2 x x 3 3 o x x 2 Desigualdades polinomiales Desigualdades cuadráticas Una desigualdad equivalente a una de la forma, ax bx c 0 , ax bx c 0, ax bx c 0 ó ax bx c 0 se llaman desigualdades cuadráticas. 2 2 2 2 Ejemplo.- Encontrar la solución de la siguiente i i t d desigualdad. i ld d x 2 2 x 15 El primer paso consiste en agrupar todos los términos de la desigualdad en un solo miembro de la misma,, ya y sea pasar p todos los términos en el lado izquierdo o en el derecho, de tal manera que la expresión algebraica se compara con cero. x 2 2 x 15 0 A continuación se procede a factorizar la expresión x 3 x 5 0 Puede observarse que la desigualdad se satisface si el producto de ambos factores es mayor de cero, es decir si es positivo. Para que esto ocurra pueden darse dos combinaciones diferentes: Caso 1.Si x-3 > 0 y x +5 > 0 Caso 2.Si x-3 < 0 y x +5 < 0 x > 3 y x > -5 x x 3 x x 5 x x 3 x < 3 y x < -5 x x 3 x x 5 x x 5 Finalmente el conjunto solución de la desigualdad original es la unión de las soluciones obtenidas en cada caso caso. x x 5 x x 3 x x 3 o x 5 Método alternativo para desigualdades polinomiales Ejemplo.- Considere la siguiente d i desigualdad. ld d x2 2x 8 0 Esto se puede factorizar como x 2 x 4 0 Esta desigualdad se verá satisfecha si los factores x 2 y x 4 son ambos positivos o ambos b negativos. ti Primero se localizan los factores de cada factor.- Posteriormente llenamos la tabla, Por lo tanto la solución es , 2 4, x x 2 x x 4 x x 2 o x 4 Desigualdad de orden superior Ejemplo.- Resolver la siguiente desigualdad. x 2 x 2 3x 4 0 Solución.- Factorizando el factor cuadrático x 2 x 1 x 4 0 Eligiendo valores de prueba y probando cada intervalo. intervalo Por lo tanto la solución es.- x x 4 x 1 x 2 x x 4 o 1 x 2 Solución al problema inicial Un estudiante debe mantener un promedio fi l en cinco final i exámenes á entre t 80 y 90% para tener una nota final de B y mantener una beca universitaria universitaria. Si en los primeros cuatro exámenes obtuvo 96, 70, 81 y 95 ¿Qué calificación deberá obtener en el éxamen final para obtener una nota de B? Sacando el promedio de calificaciones 96 70 81 95 x 5 Aplicando las condiciones del problema 80 96 70 81 95 x 90 5 Resolviendo la desigualdad doble 400 342 x 450 400 342 x 450 342 58 x 108 Por lo tanto el estudiante debe sacar al menos 58 para mantener la beca ALGEBRA SUPERIOR CAPÍTULO 2 Nú Números C Complejos l j M.I. ISIDRO I. LÁZARO CASTILLO Porque estudiar Ingeniería? http://solutionists.ieee.org/ http://www.metacafe.com/watch/6397638/ieee_solutionists_drive_innovation/ Aplicaciones de los números complejos Que es un número complejo x2 1 0 x2 1 i2 1 Diagrama de Árbol Formas de representación Forma Rectangular Z a parte real bi b parte imaginaria Forma Polar Forma de Euler Z a bi r cos irsen Z re j e j Cos iSen Aplicaciones A li i en los l Sistemas Si t Eléctricos de Potencia Modelo de una línea de transmisión Z L R iX L ZL X L X L L Generadores Eléctricos http://www.edumediasciences com/es/a576-onda-sinusoidalsciences.com/es/a576 onda sinusoidal fasor Modelo de generadores V r cos isen V r V Vp Fasor: animación http://www edumedia sciences com/es/a576 onda sinusoidal fasor http://www.edumedia-sciences.com/es/a576-onda-sinusoidal-fasor Ingeniería en Computación: Diseño de Software para análisis redes Aplicaciones p en Electrónica de potencia Control de motores Aplicaciones en Ingeniería Electrónica: Diseño de Filtros El diagrama de Bode usa una representación en polar del voltaje de salida (módulo y ángulo) Actividad # 1 1. 2. 3. Responder las siguientes preguntas: Porque quiero estudiar Ingeniería (Eléctrica, Electrónica o en Computación)..? Que entiendo por un número complejo? Que relación tienen los números complejos con la l IIngeniería i í ……..? ? Realizar en una cuartilla (Entrega 27 de septiembre de 2011) Definición de Números Complejos Un número de la forma a+bi, con a y b como constantes t t reales l e i 1 , es llamado ll d número ú complejo Z a parte real bi parte imaginaria Si a es cero el número se reduce a un número imaginario puro puro. Z bi Si b=0 b 0 se reduce d a un número ú reall Z a Igualdad de dos números complejos Se dice que dos números complejos a+bi y c+di di son iguales i l síí y sólo ól si.i a=c y b=d Operaciones entre números complejos Suma.- Si Entonces Z1 a bi y Z 2 c di Z1 Z 2 a bi c di a c i b d Resta.-Para restar dos números complejos, seguimos la regla Z1 Z 2 a bi c di a c i b d Ejemplos.- Efectuar las siguientes operaciones i entre t números ú complejos. l j a) 3 5i 2 3i b) 6 4i 3 6i Solución.a) 3 5i 2 3i 3 2 i 5 3 1 8i b) 6 4i 3 6i 6 3 i 4 6 3 2i Multiplicación.-Para efectuar el producto de d números dos ú complejos l j podemos d seguir i llas reglas de la multiplicación de dos binomios. Z1 Z 2 a bi c di ac adi bci bdi 2 como i 2 1 Z1 Z 2 ac bd i ad bc Complejo Conjugado Si Z a bi es un número complejo, entonces su conjugado, j d d denotado t d por Z a bi a bi , * Z también se utiliza el símbolo . __ Por ejemplo.ejemplo Sea Z 2 , 3encontrar i _________ Z* Z * 2 3i 2 3i Multiplicación de un número complejo por su conjugado Si Z a bi , entonces Z Z a bi a bi a abi abi b i * Z Z * a2 b2 2 2 2 División de números complejos.- Si Z a bi y Z c di Entonces ZZ ac dibi 2 1 1 2 multiplicando y dividiendo por el complejo conjugado de Z1 a bi c di ac adi bci bdi 2 ac bd i bc ad 2 2 Z 2 c di c di c d c2 d 2 Propiedad periódica de i Ejemplos.Realizar las siguientes operaciones i entre t números ú complejos l j y exprese el resultado en la forma a+bi. 1) (3 7i ) (5 3i ) ( 2 9i ) 2) (5 2i ) 2 3) (2 3i ) 3 2i 4 3i Solución 1.- (3 7i ) (5 3i ) (2 9i ) (3 5 2) i (7 3 9) 10 i 2 (5 2i ) 2 (25 (2)(5)(2i ) 4i 2 25 20i 4 21 20i 2. 2 3i 3 2i 6 4i 9i 6i 2 6 6 13i 13i 4 3i 4 3i 3.3 4 3i 4 3i multiplicando y dividiendo por el complejo conjugado de 4 3i . 2 13i 4 3i 52i 39i 39 52i 39 52i 2 2 4 3 i 4 3 i 4 3 16 9 25 25 Representación Gráfica de los Números Complejos Los números complejos se representan gráficamente áfi t como puntos t en ell plano l d un de sistema rectangular de coordenadas. Forma trigonométrica de un número complejo r a 2 b2 b tan 1 a En donde: - La distancia r se le llama valor absoluto o módulo de a+bi - El ángulo se llama amplitud o argumento Para pasar un número de su forma polar a rectangular. t l a r cos b rsen por lo tanto Z a bi r cos irsen Z r cos isen A esta expresión se le llama forma trigonométrica de un número ú complejo l j Z rcis Z r Ejemplo.- Exprese cada número complejo en su forma polar a) b) c) a) 2 2i 3 2i 8 3 8i Solución.- Aplicando las fórmulas para convertir un número de rectangular a polar. 2 2i 3 utilizando Z rcis y D d a 2 y b2 Donde tenemos: tan 3 r 2 2 3 2 b a 2 4 12 4 2 3 1 tan tan 3 60 2 1 El ángulo también se puede escribir como positivo si se suman 360 , esto es 60 360 300 b) 2i Obsérvese que este caso la conversión es muy simple puesto que se trata de un número puramente imaginario, por lo que su módulo es directamente el valor de b y su ángulo es si b es positivo y en caso que b sea negativo. r 02 22 2 2 tan 1 90 0 Z 2 c is 9 0 c) 8 3 8i r 8 3 2 8 2 8 2 3 8 30 180 210 8 3 tan 1 2 1 8 2 4 16 Ejemplo.- Convertir el siguiente número complejo l j d de su fforma polar l a rectangular. t l Z 5 cos150 isen150 Solución. 150 r 5 En este caso y Como se requiere convertir el número en su forma z=a+bi, entonces aplicamos la fórmula: a r cos b rsen así tenemos: a 5 cos150 b 5sen150 por lo que Z 4.33 2.5i Multiplicación y División de números Complejos en forma Polar Teorema.- El valor absoluto del producto de d números dos ú complejos l j es iiguall all producto d t de sus valores absolutos. La amplitud del producto de dos números complejos es igual a la suma de sus amplitudes. Es decir, decir el producto de n números complejos está dado por.Z1 Z 2 Z n r1 r2 rn Cos 1 2 n iSen 1 2 n Teorema.El valor absoluto del cociente de dos números complejos es el cociente de sus valores l absolutos. b l t L La amplitud lit d d dell cociente i t es la amplitud del dividendo menos la amplitud del divisor divisor. Z1 r1 Cos 1 2 iSen 1 2 Z 2 r1 Ejemplos.- Realice las siguientes operaciones. a) b) 4 Cos 225 iSen225 35 iSen135 35 2 Cos90 iSen90 3 Cos135 4i 5 5i 21 C os 33 iSen iS 33 Solución.a) 4Cis 225 4Cis 225 4Cis 225 2 Cis 0 3 2Cis90 3Cis135 2 3Cis 90 135 6Cis 225 expresando el resultado en forma rectangular 2 2 Cis 0 3 3 b) 4i 5 5i 20i 20i 2 20 20i 21Cis33 21Cis33 21Cis33 para efectuar la división realizamos una conversión del numerador a su forma polar usando las relaciones r 20 20 2 2 28.284 20 135 20 tan 1 aplicando estos resultados 28.284Cis135 1.346 102 Cis 21Cis33 o bien en forma rectangular 0.279 0 279 1.316i 1 316i Forma de Euler o Exponencial de un Número Complejo Sea Z re j conocida como forma de Euler o Exponencial de un número complejo complejo, donde: r es el módulo es la amplitud e Cos iSen es la identidad de Euler j Interrelación entre las tres representaciones de un Número Complejo Producto y Cociente en notación de Euler Consideremos ahora dos números complejos representados en la forma de Euler y veamos la forma en que pueden multiplicarse y dividirse. Sea Z1 r1e j y Z 2 r2e j Realizando el producto 1 2 j1 j2 j (12 ) Z1 Z2 re r e rr e 1 2 12 Esto significa g q que p para multiplicar p dos números complejos p j en forma exponencial es igual que en polar, es decir, hay que multiplicar los módulos y sumar los ángulos. Consideremos ahora la división de Z1 r1e j1 r1 j 1 2 e j 2 Z 2 r2 e r2 Z1 Z2 Por lo que concluimos que para dividir dos números complejos representados en forma d Euler de E l basta b t di dividir idi módulos ód l y restar t ángulos (igual que en polar). Potencia de un número Complejo en Forma de Euler Consideremos ahora el caso de elevar un número ú complejo l j a una potencia t i n, para ello ll consideremos el número complejo z. Z re j calculemos Zn Z r e n n j n r n e jn Potencia de Números Complejos en forma Polar Si Teorema de Moivre Z r Cos iSen Entonces Z n r n Cos(n ) iSen(n ) r n n Ejemplo.- Encuentre las potencias indicadas en ell siguiente i i t problema. bl E Exprese cada d resultado en forma rectangular. 2 Cos35 iSen35 8 Cos10 iSen10 3 Aplicando A li d ell tteorema d de Moivre M i t t all numerador tanto d como al denominador 2 Cos35 iSen35 2 Cos 3 35 iSen 3 35 8Cis105 1 Cos 8 10 iSen 8 10 1Cis80 Cos10 iSen10 8 3 3 8 efectuando la división 8Cis 105 80 8Cis 25 realizando la conversión a rectangular 7.25 i3.38 Raíz de un Número Complejo Teorema Un número complejo no nulo tiene n n-ésimas raíces dadas por la fórmula: n k 360 k 360 iSen Z r Cos n n n donde k= 0, 1 , 3, .., n-1 Ejemplo.- Encontrar las 5 raíces del siguiente número Complejo. Complejo 5 16 16i 3 Solución.- Expresando el número en forma polar, tenemos: r 16 16 3 2 2 32 16 3 60 180 120 16 tan 1 Las 5 raíces de 5 Z 16 16i 3 son: 120 k 360 120 k 360 iSen Z 32 Cos 5 5 5 Donde k = 0, 1,2 ,3 4 por ser 5 raíces, cuando se asigne una valor de k se obtendrá una de l 5 raíces. las í Para k = 0 Para k = 0 120 120 Z 0 2 Cos iSen 2 Cos 24 iSen24 1.82 0.813i 5 5 Para k=1 120 360 120 360 iSen Z1 2 Cos 2 Cos96 iSen96 0.219 i1.989 5 5 Para k=2 120 2 360 120 2 360 Z 2 2 Cos iSen 2 Cos168 iSen168 1.956 0.415i 5 5 Para k=3 120 3 360 120 3 360 iSen Z 3 2 Cos 2 Cos 240 iSen240 1 732i 5 5 Para k=4 120 4 360 120 4 360 Z 4 2 Cos iSen 2 Cos312 iSen312 1.338 1.486i 5 5 Representación gráfica de las raíces 360 n REFERENCIAS [1] Algebra Elemental Gordon Fuller Ed. CECSA [2] Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica Walter Fleming Prentice Hall 1991 [3] Precálculo Michael Sullivan Cuarta edición 1997 [4] Algebra Max A. Sobel Segunda Edición Prentice Hall ALGEBRA SUPERIOR CAPÍTULO 3 P li Polinomios i M.I. ISIDRO IGNACIO LÁZARO CASTILLO Para que sirven ? En la Física... Sabemos que al suspender un peso de un resorte, este se alarga, ¿podríamos determinar la ley que rige este alargamiento, al menos para un determinado intervalo? Sería como tratar de expresar el alargamiento del resorte en función del tiempo. En la Química... En el laboratorio de Química, ¿podemos estudiar la temperatura de una masa de agua con respecto al tiempo en que es sometida al calor? Se trata de relacionar la temperatura en función del tiempo. En la Economía... Un investigador suele expresar: el consumo en función del ingreso, también la oferta en función del precio, o el costo total de una empresa en función de los cambios de producción, entre otros muchos ejemplos donde se analiza cómo se comporta una variable en respuesta a los cambios que se producen en otras variables. Aplicaciones en Ingeniería Las funciones polinomiales se pueden usar para describir d ibi lla ttrayectoria t i d de objetos bj t ttales l como de una montaña rusa o un cohete. Definición Un polinomio tiene la forma.f ( x ) an x n an 1 x n 1 a1 x a0 Donde los coeficientes a0, a1, …, an son números o constantes (estos números pueden ser reales, imaginarios g o nulos)) y los exponentes p de las variables como n, n-1, n-2, etc. Son enteros no negativos. Raíces Un valor de x que satisface a la ecuación es ll llamado d una raíz í o solución l ió d dell polinomio. li i El valor de n especifica el grado del polinomio. Teorema del residuo Si un número r se sustituye por x en el polinomio li i y f ( x); ell valor l asíí obtenido bt id f(r) f( ) es igual al valor del residuo al calcular el cociente f ( x) f ( x) d ( x) x r Ejemplo.- Determinar el residuo que se obtiene bti all dividir di idi ell polinomio li i f ( x) x 3x 5 entre x 2 . 3 2 podemos utilizar la división tradicional de polinomios para calcular el residuo. x 5 x 10 2 x 2 x3 3x 2 5 x3 2 x 2 5x2 5 x 2 10 x 10 x 5 10 x 20 15 Re siduo Utilizando el teorema del residuo, el valor del residuo id es ell valor l obtenido bt id all evaluar l lla función en f(r). xr x2 r 2 f (2) 2 3 2 5 8 12 5 15 3 2 Teorema del Factor a) b) Si f(x) es un polinomio; r un número, y f( ) 0 entonces f(r)=0, t ( ) es un factor (x-r) f t de d f(x). f( ) Si (x-r) es un factor del polinomio f(x), entonces t f( ) 0 f(r)=0. Ejemplo.- Determinar si (x+2) es un factor de f ( x) x 4 x 3x 2 . 3 2 Utilizando el teorema del factor, evaluamos el polinomio li i en x=-2. 2 f (2) (2)3 4(2) 2 3(2) 2 8 16 6 2 0 Como el residuo es 0,, x+2 es un factor de f(x). ( ) División Sintética Es una operación ampliamente usada en la determinación de las raíces de un polinomio, polinomio es dividir un polinomio f(x) por una expresión lineal de la forma x-r. Ejemplo .- Determinar si (x-2)es un factor de f ( x) x 3x 6 x 8 Utilizando el teorema del factor. 3 2 1 3 6 8 Por división sintética El cociente es con R=0 2 10 8 1 5 4 0 Re R siduo id 2 Ejemplo .- Demostrar que 2-3i es una raíz de x 4 10 x 3 50 x 2 130 x 169 0 Solución.- En este caso r=2-3i. 2 3i 1 10 50 130 169 2 3i 25 18i 104 39i 169 1 8 3i 25 18i 26 39i 0 Como R=0 entonces 2-3i es una raíz del polinomio, el estudiante puede comprobar que 2+3i (complejo conjugado de 2-3i) también es raíz del polinomio. Teoremas concernientes a raíces Teorema 1.- Cada polinomio f(x) de grado puede d ser expresado d como ell producto d t d de n factores lineales n 1 Es decir si f ( x ) a x a x a x a con . a Entonces f(x) lo podemos expresar como: n n n 1 1 0 0 0 f ( x) a0 x r1 ( x r2 ) ( x rn ) Los números r1, r2,... ,rn (raíces del polinomio) pueden ser distintos ó incluso imaginarios. Además ciertos factores puede repetirse. Teorema 2.- Toda Ecuación polinomial f( ) 0 de f(x)=0 d grado d n tiene ti exactamente t t n raíces. T Teorema 3 Si f(x) 3.f( ) es un polinomio li i con coeficientes reales y a+bi (a,b números reales) es un cero (raíz) de f(x), f(x) entonces abi es también un cero de f(x). Teorema 4.Si un polinomio es de grado non (impar), debe tener al menos una raíz real. Si un polinomio es de grado par puede no tener raíces reales. Ejemplo.- Resolver la ecuación f ( x) x sii -4 4 y 1 son raíces í d dell polinomio. li i 4 2 x3 9 x 2 2 x 8 Solución.- Usando el teorema del factor, si r = 1 es una raíz de f(x), f(x) entonces (x-1) (x 1) es un factor de f(x). f(x) Aplicando división sintética. 1 1 2 9 2 8 1 3 6 8 1 3 6 8 0 Donde q( x) x 3x 6 x 8 (cociente), así f(x) puede d expresarse como.3 2 f ( x ) ( x 1) x 3 3 x 2 6 x 8 La otra raíz dada es -4; se deduce que (x+4) es un factor de f(x). Dado que f ( x) ( x 1) x 3x 6 x 8 0 , (x 4) será á ffactor t del d l polinomio li i q( x) x 3x 6 x 8 . 3 3 2 2 Aplicando la división sintética a la ecuación reducida. d id 4 1 3 6 8 4 4 8 1 1 2 0 Así q2 ( x ) x 2 x 2 Escribiendo f(x) en forma factorizada.f ( x) ( x 1)( x 4)( x 2 x 2) Los otros 2 factores pueden obtenerse aplicando factorización a la ecuación cuadrática cuadrática. x 2 x 2 ( x 2)( x 1) Finalmente: f ( x ) ( x 1)( x 4)( x 2)( x 1) Por lo que las raíces del polinomio son: x = 1, x = -4, x = 2, x = -1 Métodos para determinar las raíces de un polinomio Teorema de la raíz racional f (x) anxn an1xn1 ax 1 a0 a0( 0 Sea ) un polinomio de nésimo grado con coeficientes enteros. Si es una raíz racional de , donde está en la mínima expresión; entonces p es un factor de a0 y q es un factor de an . Ejemplo.- Encontrar las raíces racionales de: f ( x) 4 x 3 16 x 2 11x 10 0 Factores de p 1, 2, 5, 10 Factores de q 1, 2, 4 Por lo que las posibles raíces racionales son p 1 1, 1 2, 2 5, 5 10, 10 q 2 5 2 1 4 5 4 Ordenando las posibles raíces racionales p 1 1 5 5 , , 1, , 2, , 5, 10 q 4 2 4 2 Iniciando la búsqueda del lado negativo 1 4 4 16 11 10 17 61 6 16 61 99 4 17 4 16 1 1 2 4 16 11 10 2 9 10 4 18 20 0 Como se ha determinado una raíz en x 12 , se puede d usar ell polinomio li i reducido d id para determinar las otras dos raíces. q ( x) 4 x 2 18 x 20 De aquí tenemos: 1 f ( x) ( x )(4 x 2 18 x 20) 2 1 f ( x) x 2 x 4 2 x 5 2 Raíces 1 x 1 2 x2 2 5 x3 2 Regla de Descartes 1. 1. Teorema.- Regla de los signos de D Descartes. t El número de raíces de una ecuación polinomial f ( x ) 0 es igual al número de variaciones de signo en f ( x) o es menor de ese número y difiere de él por un entero par positivo. El número de raíces negativas de f ( x) = 0 es igual al número de variaciones de signo en f(-x) o es menor que este número y difiere de él en un entero par positivo. Ejemplo.- Determinar el número de posibles raíces í positivas iti y negativas ti d dell siguiente i i t polinomio f ( x) x 3x 2 x 1 . 3 2 Solución.Solución Para determinar el número de posibles raíces positivas contamos el número de variaciones de p signo en f(x). f ( x) x 3 3 x 2 2x 1 1 2 Por lo tanto al existir dos variaciones de signo i concluimos l i que: 2 Núm. de raíces positivas posibles ninguna Para determinar el número de posibles raíces racionales negativas evaluamos el polinomio en –x, esto es f(-x), ( ), lo cual p produce: f ( x) ( x)3 3( x) 2 2( x) 1 f ( x) x3 3 x 2 2 x 1 Contabilizando el número de posibles raíces negativas: ti f ( x) x3 3x 2 2 x 1 1 Por lo tanto: Núm. de raíces negativas 1 ninguna Cotas superior e inferior de un polinomio Teorema.- Sea f(x) un polinomio con coeficientes reales. Regla a.a Dividir f(x) entre (x-r), (x r) donde r > 0 para obtener f ( x ) ( x r ) q ( x ) R . Si los coeficientes de los términos de q(x) y el residuo R son todos positivos, entonces no existe raíz de f(x) mayor que r; es decir, decir r es una cota superior de las raíces de f(x). f(x) Regla b.- Dividir f(x) entre (x-r), donde r < 0 para obtener f ( x ) ( x r ) q ( x ) R . Si los coeficientes de los términos de q(x) y el residuo id R alternan lt en signo, i entonces t no existe i t raíz í de d f(x) f( ) menor que r; es decir, r es una cota inferior de las raíces de f(x). Método de Newton-Raphson Sea p(x)=0 una ecuación polinomial con coeficientes reales Supóngase que por método gráfico se reales. descubre que tiene una solución real r que se supone esta cerca de x1. Entonces como se muestra en la figura, una mejor aproximación a r es x2, el punto en el que la recta tangente a la curva en x1 cruza con el eje x. x xk 1 xk p ( xk ) p '(( xk ) Donde xk es el valor inicial p(xk) es el polinomio evaluado en xk p’(x ’( k) es la l derivada d i d d dell polinomio li i evaluado l d en xk Ejemplo.- Considérese la ecuación polinomial. li i l p ( x) x3 3 x 5 0 Para encontrar P t una de d llas raíces, í conviene i primero i d determinar t i el valor inicial, para ello podemos basarnos en encontrar un intervalo en donde la función cambia de signo, por ejemplo consideremos la evolución de p(x) en x=0 y en x=3. x=3 Por lo que existe una raíz entre 0 y 3, tomando como valor inicial x0=3 y aplicando el algoritmo newton-Raphson, para resolver el problema usamos 4 cifras significativas y un error de para considerar que un valor es raíz. La derivada de p(x) es.- p '( x) 3 x 2 3 Así tomando el valor inicial, encontramos una mejor j aproximación i ió a lla raíz. í x1 x0 x2 x1 p ( x0 ) 13 3 2.458 p´( x0 ) 24 p ( x1 ) p (2.458) 2.476 2.458 2.458 2.294 p´(( x1 ) p´(2 (2.458) 458) 15 15.125 125 x3 x2 p ( x2 ) p (2.294) 0.190 2.294 2.294 2.292 p´(( x2 ) p´(2 (2.294) 294) 12 12.787 787 x4 x3 x5 x4 p ( x3 ) p (2.292) 0.164 2.292 2.292 2.279 p´(( x3 ) p´(2.292) ( ) 12.759 p ( x4 ) p (2.279) 0.00023 2.279 2.279 2.27901 p´( x4 ) p´(2.279) 12.581 Una vez que se ha determinado una raíz dado que el polinomio es de orden 3 podemos aplicar el teorema del residuo con este valor y usar el polinomio reducido para determinar las otras dos raíces 2.279 1 0 3 5 2.279 5.193 4.999 1 2.279 2.193 0.001 Así el polinomio reducido es.q( x) x 2 2.279 x 2.913 x (1.1395 0.945i ) x (1.1395 0.945i ) Finalmente las raíces del polinomio son.x1 2.279 x2 1.139 0.945i x3 1.139 0.945i REFERENCIAS [1] Algebra Superior L i Leithold Louis L ith ld Ed. Noriega [2] Algebra Elemental Gordon Fuller Ed. CECSA [3] Algebra con Aplicaciones Técnicas C. E. Goodson S. L. Miertschin Ed. Limusa [4] Precálculo R. Larson R. Hostetler Ed Reverté Ed. R té [5] Álgebra J Kaufmann J. K. Schwitters Ed. CENAGE LEARNING ALGEBRA SUPERIOR CAPÍTULO 4 F Fracciones i Parciales P i l Para que sirven? Las fracciones parciales son útiles para analizar li ell comportamiento t i t de d una función f ió racional. Por ejemplo, se pueden analizar las temperaturas de gases de emisión de un motor diesel empleando fracciones parciales. Termodinámica.- La magnitud del rango, R, d de l las t temperaturas t d de l los gases de d combustión (en grados Fahrenheit) en un motor diesel experimental se aproxima mediante el modelo. R 2000 4 33xx , 0 x 1 11 7 x 7 4 x Donde x es la carga g relativa en lb-ft. Funciones Racionales Racionales, Definición y Clasificación Una función racional se define como aquella que se puede d expresar como lla razón ó d de d dos polinomios de la forma P(x)/Q(x), donde P(x) es un polinomio de grado m y Q(x) de grado n. Si el grado del polinomio del numerador es menor all grado d d l polinomio del li i d l del denominador, la fracción es llamada fracción propia De otra manera, propia. manera la fracción es llamada fracción impropia. Es decir. P( x) a m x m a m1 x n 1 a1 x a 0 Q( x) bn x n bn 1 x n 1 b1 x b0 Es fracción impropia si m n, y es propia si ocurre que m<n. Ejemplo.fraccion _ propia 3 2 2 x 5x 3x 10 13x 14 2 x 1 x2 2x 4 x2 2x 4 Siempre que se tenga una fracción propia deberá realizarse la división de polinomios y t b j con lla ffracción trabajar ió propia i resultante lt t para proponer su expansión en fracciones parciales. parciales Teorema sobre la descomposición de una función racional en fracciones simples Teorema de expansión en fracciones parciales i l I.- Por cada factor lineal ax b del denominador h b á una ffracción habrá ió parcial. i l A ax b donde .- A es una constante (ax b) k II.- Por cada factor lineal repetido del d denominador i d h habrá b á k fracciones f i parciales. i l A1 A2 Ak ax b (ax b) 2 (ax b) k donde: A1, A2, ....,Ak son constantes. III.- Si a x b x c es un factor del denominador, que no es producto d t de d dos d factores f t li lineales, l entonces correspondiendo a este factor cuadrático habrá una fracción parcial. parcial Ax B ax 2 bx c 2 Donde : A y B son constantes. IV.- Si a x b x c es un factor del denominador, que no es producto de dos factores lineales, lineales entonces correspondiendo al factor repetido del factor del denominador habrá K fracciones parciales. 2 A1 x B1 A2 x B2 AK x B k 2 2 2 (ax 2 bx c) k ax bx c (ax bx c) Donde: A1,B1, A2,B2,...,Ak,Bk. son constantes no nulas con Ak y Bk no simultáneamente nulos. Métodos para calcular las constantes Para calcular las constantes existen varios métodos ét d entre t ellos ll podemos d citar: it * Sustitución * Igualación de Coeficientes Método de sustitución Caso I: Factores Lineales no repetidos Para ejemplificar este caso tomemos las siguiente fracción propia x 2 23 x 18 x 2 23 x 18 P( x) 2 Q( x) ( x 1)( x 2)(2 x 1) ( x x 2)(2 x 1) De acuerdo con el apartado p I del Teorema. P( x) x 2 23 x 18 A B C 2 Q( x) x x 2 2 x 1 x 1 x 2 2 x 1 Multiplicando por Q(x) a ambos miembros de la ec. x 2 23x 18 A( x 2)(2 x 1) B( x 1)(2 x 1) C ( x 1)( x 2) Para resolver el cálculo de las constantes, emplearemos el método de sustitución, el cual consiste en sustituir en la ec. los valores de x que q permitan calcular una constante a la vez. Evaluando en x=1 para calcular A. (1) 2 23(1) 18 A(1 2)(2(1) 1) B(1 1)(2(1) 1) C (1 1)(1 2) 1 23 18 A(3)(1) 3 A 6 A 2 3 Evaluando para B en x=-2. ( 1) 2 23( 2) 18 A( 2 2)( 2( 2) 1) B ( 2 1)( 2( 2) 1) C ( 2 1)( 2 2) 4 46 18 B ( 3)( 5) 60 B 4 15 Para calcular C evaluamos en x= 2 1 1 23 18 2 2 1 23 C5 18 4 2 2 2 1 46 72 5C 4 4 C C 5 25 5 1 2 1 1 1 1 1 1 A 2 2 1 B 1 2 1 C 1 2 2 2 2 2 2 2 Por lo tanto x 2 23x 18 2 4 5 x 1 x 2 2 x 1 x 1 x 2 2 x 1 Solución por igualación de coeficientes. Podemos calcular las constantes A,B y C en la Ec. usando el hecho de que los coeficientes de potencias iguales de x en los dos miembros de la ecuación son iguales. x 2 23x 18 A( x 2)( 2 x 1) B ( x 1)( 2 x 1) C ( x 1)( x 2) A( 2 x 2 x 4 x 2) B (2 x 2 x 2 x 1) C ( x 2 2 x x 2) x 2 ( 2 A 2 B C ) x ( 3 A 3 B C ) ( 2 A B C ) por igualación de coeficientes, obtenemos: 1 2 A 2B C 23 3 A 3B C 18 2 A B 2C Resolviendo este sistema de ecuaciones C5 B 4 A2 Caso II Factores Lineales Repetidos 4 x 2 13x ( x 3)( x 2) 2 Ejercicio.- Resolver en fracciones parciales. i l proponiendo la expansión en fracciones parciales. i l 4 x 2 13x A B C ( x 3)( x 2) 2 x 3 x 2 x 2 2 Eliminado el denominador, tenemos: 4 x 2 13x A( x 2) 2 B( x 3)( x 2) C ( x 3) Encontramos primeramente A y C evaluando en x=-3 y x=2 Para A evaluamos en x=-3 4( 3) 2 13( 3) A( 3 2) 2 B ( 0) C ( 0) 36 39 25 A A 75 3 25 mientras que para C usamos x=2, así 4 2 13(2) A(0) B (0) C (2 3 2 16 26 5C 10 C 2 5 Para calcular B se formar una ecuación asignado i d a x cualquier l i valor l arbitrario bit i que no sea raíz de Q(x). El valor l más á sencillo ill de d asignar i es x=0. 0 4(0) 2 13(0) A( 2) 2 B(3)( 2) C (3) 0 4 A 6 B 3C sustituyendo el valor de A y C. 6 B 4(3) 3( 2) 6 B 12 6 B 6 1 6 Por lo tanto 4 x 2 13x 3 1 2 2 ( x 3)( x 2) x 3 x 2 ( x 2) 2 Caso III: Factores Cuadráticos Distintos Ejemplo.- Resolver la fracción P( x ) x 3 25x 2 21x 45 Q( x ) ( x 3)( x 2)(2 x 2 x 3) Lo primero que podemos verificar es que el factor cuadrático que aparece en Q(x) tiene raíces imaginarias, pues el radical b 4ac 0 . 2 P( x ) x 3 25x 2 21x 45 A B Cx D Q( x ) ( x 3)( x 2)(2 x 2 x 3) x 3 x 2 2 x 2 x 3 x 3 25x 2 21x 45 A( x 2)(2 x 2 x 3) B( x 3)(2 x 2 x 3) ( Cx D)( x 3)( x 2) Para determinar A, B, C y D vamos a combinar el método de sustitución con el método de igualación de coeficientes. Para encontrar A y B evaluamos en x=3 y x=-2. Para x=3 (3) 3 25(3) 2 21(3) 45 A(3 2)(2(3) 2 3 3) B (0) C (0) 27 225 63 45 5 A(18) 180 90 A 180 A 2 90 Para x=-2 2 25(2)2 21(2) 45 A(0) B(2 3)(2(2)2 2(2) 3) C (0) 3 8 100 42 45 5 B (8 2 3) 195 65 B 195 B 3 65 Para obtener D evaluamos en x=0 45 A(0 2)(2(0) 3 0 3) B(0 3)(2(0) 2 0 3) 45 6 A 9 B 6 D Como A=-2 y B=3 45 6( 2) 9(3) 6 D 6 D 12 27 45 39 45 6 1 D 6 6 Por igualación de coeficientes obtenemos el valor de C. x 3 25x 2 21x 45 A(2x 3 x 2 3x 4x 2 2x 6) B(2x 3 x 2 3x 6x 2 3x 9) (Cx2 3cx Dx 3D)(x 2) A(2x 3 3x 2 x 6) B(2x 3 7 x 2 6x 9) Cx3 3Cx2 Dx2 3Dx 2Cx2 6Cx 2Dx 6D x 3 (2 A 2B C) x 2 (3A 7B C D) x( A 6B 3D 6C 2D) 6D 6 A 9B igualando los coeficientes de x3 1 2 A 2B C C 1 2 A 2B C 1 2( 2) 2(3) C 1 4 6 1 Por lo tanto 2 x 3 25x 2 21x 45 3 1 x ( x 3)( x 2)(2 x 2 2 3) x 3 x 2 2 x 2 x 3 Caso IV: Factores Cuadráticos Repetidos. Ejemplo.- Considere la siguiente fracción propia. i x3 4 x 2 5 x 3 ( x 1)( x 2 x 1) 2 Expresando en fracciones parciales más simples x 3 4 x 2 5x 3 A Bx C Dx E ( x 1)( x 2 x 1) 2 x 1 ( x 2 x 1) x 2 x 1 2 de aquí tenemos x 3 4 x 2 5x 3 A( x 2 x 1) 2 ( Bx C )( x 1)( x 2 x 1) ( Dx E )( x 1) En este caso, es posible calcular el valor de A por la presencia del factor lineal distinto, distinto para ello empleamos el método de sustitución. Valuando en x=-1 ( 1) 3 4( 1) 5( 1) 3 A(( 1) 2 ( 1) 1) 2 0 0 1 4 5 3 A A((1 1 1) 2 A1 Por igualación de coeficientes obtenemos los valores l d de B B, C C, D y E E. x 3 4x 2 5x 3 A( x 4 2x 3 3x 3 2x 1) (Bx2 Bx Cx C)(x 2 x 1) (Dx2 Dx Ex E) x 3 4x 2 5x 3 A( x 4 2x 3 3x 2 2x 1) Bx B 4 Bx B 3 Bx B 2 Bx B 3 Bx B 2 Bx B Cx3 Cx2 Cx C Dx2 Dx Ex E x 4 ( A B) x 3 (2 A B B C) x 2 (3A B B C C D) x(2 A B C C D E) ( A C E) Igualando coeficientes A B 0 2 A 2B C 1 3 A 2 B 2C D 4 AC E 3 2 A B 2C D E 5 Como A=1 D lla primera De i ecuación ió ttenemos: B=-A=1 de la segunda C=1-2A-2B C 1 2(1) 2( 1) C=1-2(1)-2(-1) C=1 de la cuarta E=3-A-C E=3-1-1 E 1 E=1 de la tercera D=4 D=4-3A-2B-2C 3A 2B 2C D=4-3(1)-2(-1)-2(1) D=4-3+2-2 D=1 La última ecuación nos sirve para verificar resultados. 2A+B+2C+D+E=5 2(1) 1+2(1)+1+1=5 2(1)-1+2(1)+1+1=5 5=5 Por lo tanto x 3 4 x 2 5x 3 1 x 1 x 1 2 2 2 2 ( x 1)( x x 1) x 1 x x 1 ( x x 1) 2 REFERENCIAS [1] Algebra Elemental Gordon Fuller Ed. CECSA [2] Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica Walter Fleming Prentice Hall 1991 [3] Precálculo Michael Sullivan Cuarta edición 1997 [4] Algebra Max A. Sobel Segunda Edición Prentice Hall [5] Señales y sistemas Alan V. Oppenheim pp Alan S. Willsky Ed. Prentice Hall 1983 [6] Precálculo R. Larson R. Hostetler Ed. Reverté [7] Álgebra J. Kaufmann K. Schwitters Ed. CENAGE LEARNING ALGEBRA SUPERIOR CAPÍTULO 5 Sistemas de Ecuaciones Lineales, Matrices y Determinantes M.I. M I ISIDRO IGNACIO LÁZARO CASTILLO Para que sirven ? Los sistemas de ecuaciones se pueden emplear para modelar y resolver problemas de la vida real. real Los sistemas de ecuaciones se pueden emplear para determinar las combinaciones de jugadas para distintos deportes como el fútbol americano. Aplicación en Deportes En el super tazón I, disputado el 15 de Enero de 1967 los empacadores de green bay derrotaron a 1967, los jefes de Kansas City por un marcador de 35 a 10. El total de puntos anotados fueron producto de 13 jugadas de puntuaciones distintas, una combinación de anotaciones, puntos extra y goles de campo. Se consiguieron el mismo número de anotaciones y puntos extra. Hubo seis veces más anotaciones que goles de campo. Cuantos puntos de cada forma se anotaron en el juego? Aplicaciones en Física Un sistema de poleas esta cargado con pesas de 128 kg y 32kg. 32kg Las tensiones t1 y t2 en la soga y la aceleración a del peso de 32kg se determinan por medio del sistema e ecuaciones: t1 2t2 0 t1 2a 128 t2 a 32 En la Ingeniería Ejemplo.- La ley de Kirchhoff establece que en cualquier l i red d de d un circuito, i it la l suma algebraica de las elevaciones y caídas de voltaje debe ser igual a cero. cero 1.05I 1 05I1 + 0.25I 0 25I2 = 4.5 45 0.25I1+0.7I2 = 5.2 (1) (2) Definición de una Ecuación Lineal Una ecuación lineal es una igualdad entre dos expresiones; Esas expresiones se llaman miembros de la ecuación, si el grado o exponente de la variable es uno se llama ecuación lineal. x3 4 Ecuación x2 2x 1 0 lineal Ecuación no lineal Donde x es la variable independiente o incógnita de la ecuación Una ecuación con n variables es lineal si es equivalente a una de la forma: a1 x1 a2 x2 an xn b donde.donde a1,a2, ...,an son constantes x1,x2,....,xn son variables b término independiente Los números que al sustituir a las variables hacen iguales a los dos miembros de la ecuación se dice que satisfacen o son solución de la ecuación. Definición de Sistemas de Ecuaciones Lineales Un sistema de ecuaciones es una colección d d de dos o más á ecuaciones i lilineales, l cada d una de las cuales contiene una o más variables. Una solución de un sistema de ecuaciones consta de valores para las variables variables, para los cuales cada ecuación del sistema se satisface. satisface Interpretación Gráfica para Sistemas de dos Variables Ejemplo 1.- Caso 1: Las rectas se cortan o i t intersectan t en un solo l punto. t 1)x-y = 1 2)2x-y = 4 Ejemplo.- Caso 2 Las rectas no se cortan, rectas t paralelas. l l Consideremos una modificación al sistema de ecs. Anterior. A t i x-y = 1 x-y = 3 (1) (2) Ejemplo.- Caso 3 las rectas son idénticas. Consideremos ahora el siguiente sistema de ecuaciones. ecuaciones x-y = 1 2x-2y = 2 (1) (2) Note que se trata de rectas son idénticas porque m1= m2 y además b1=b2. Clasificación de la Solución. Solución S l ió de d Sistemas Si t de d Ecuaciones E i por Métodos Algebraicos -Eliminación por Sumas y restas.- En este método se elige la variable más fácil de eliminar y mediante una suma o resta de amabas ecuaciones, se resuelve para la incógnita que queda.. -Eliminación por sustitución.- En este se despeja una variable de una ecuación y se sustituye en la otra otra, finalmente se resuelve está última. Ejemplo.- La ley de Kirchhoff establece que en cualquier red de un circuito, circuito la suma algebraica de las elevaciones y caídas de voltaje debe ser igual a cero. El siguiente sistema de ecuaciones resulta de la aplicación de dicha ley al circuito eléctrico de la figura. 1.05I1 + 0.25I2 = 4.5 (1) 0.25I1+0.7I2 = 5.2 (2) Resolviendo por sumas y restas, multiplicamos l ecuación la ió (1) por 0 0.25 25 y lla (2) por 1 1.05, 05 así: í - 0.2625I1+0.0625I2 = 1.125 0.2625I1+0.735I2 = 5.46 - 6725I2 = -4.335 I2 4.335 4 335 6.44 0.6725 Amp (1)’ (2)’ Para eliminar I2 multiplicamos la ec. (1) por 0.7 y la (2) por 0.25, 0 25 así tenemos: - 0.735I 0 735I1+0 0.175I 175I2 = 3.15 3 15 0.0625I1+0175I2 = 1.3 0.6725I1 = 1.85 por lo tanto I1 1.85 2.75 0.6725 Amp (1)’ (1) (2)’ Al resolver un sistema de ecuaciones por métodos algebraicos podemos tener los siguientes casos: 1.- Una solución única 1 única. 2.- Ninguna solución.- Ocurre cuando obtenemos una proposición falsa, tal y como: 0 =7, 0= a donde a 0. 3.- Soluciones infinitas: Ocurre cuando llegamos a una proposición verdadera sin incógnitas, 0 = 0. Definición de una Matriz. Una matriz A es un arreglo o disposición rectangular t l d de números. ú a11 a12 a1 j a1m renglones a a a a 21 22 2 j 2 m A a a a a i2 ij im i1 a a a a n1 n2 nj nm n m colmunas Definiciones y Tipos de Matrices. Una matriz se denomina cuadrada si su número de renglones es igual a su número de columnas columnas, es decir si m=n. Se dice que una matriz es de orden n. En una matriz cuadrada se dice q que las componentes a11,a22,...,ann están en la diagonal principal de A. a11 a12 a a22 A 21 an1 an 2 a1n a2 n ann n n Una matriz a menudo se llama vector venglón mdimensional (o simplemente vector renglón o matriz renglón). C 7 1071 2 D 2 2i 3 4 13 Una matriz se llama vector columna m-dimensional (o simplemente vector columna o matriz columna). 0 X 0 21 7 Y 5 0 31 La matriz denotada como , cuyos componentes son todos cero, cero se llama matriz nula o matriz cero. cero 0 0 B 0 0 2 2 0 0 0 C 0 0 0 2 3 Representación Matricial de los Sistemas de Ecuaciones Como se mostró anteriormente los procedimientos algebraicos pueden ser tediosos y complicados, complicados en especial cuando se aplican a sistemas lineales más grandes. A continuación se muestra otro método más eficientes, que fácilmente se aplica a sistemas mayores. Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales. lineales x 4 y 14 3x 2 y 0 si optamos por no escribir los símbolos utilizados para las variables. renglón renglón y x 1 1 4 2 3 2 14 0 cons tan tes Los corchetes se utilizan para denotar una matriz. U matriz Una t i es un arreglo l rectangular t l d de números, ú cuya estructura general es.renglón 1 columna a11 renglón 2 a21 renglón i a i1 renglón n a n1 1 a1m a2 m aim columna m a12 a1 j a22 a2 j aij aim i an 2 anj anm ai 2 n m Cada número aij de la matriz tiene dos índices: índices de renglón i e índice de columna j. La matriz tiene n renglones y m columnas. Ejemplo.- Escribir la matriz aumentada de cada sistema de ecuaciones ecuaciones. 3 x 4 y 6 2 x 3 y 5 2 x y z 0 x z 1 x 2y 8 a) b) escribiendo la matriz aumentada. 3 4 6 a) 2 3 5 b) 2 1 1 0 1 0 0 1 1 2 0 8 Operaciones Elementales Las operaciones elementales realizadas en la matriz aumentada son operaciones elementales por renglón. De estas existen tres básicas. 1.- Intercambio de dos renglones cualesquiera. 2.- Reemplazo de un renglón por un múltiplo distinto de ese renglón. 3.- Reemplazo de un renglón por la suma de ese renglón y un múltiplo constante de algún otro renglón. Ejemplo.- Resolver el sistema de ecuaciones. 4 x 3 y 11 x 3 y 1 escribiendo el sistema utilizando notación matricial 4 311 1 3 1 intercambiando renglones 4 1 3 1 4 311 Realizando operaciones 4 12 4 1 4 R1 R 2 4 311 ~ 1 3 1 1 4 311 15 ~ ~ 1 3 1 1 4 3 11 15 1 3 1 0 1 1 así (1) ( 2) x 3 y 1 y 1 sustituyendo (2) en (1) x 3(1) 1 x 1 3 x2 Eliminación Gaussina Este método se utiliza para resolver sistemas d ecuaciones de i d de orden d superior i mediante di t una transformación algebraica del sistema de la forma: a11 x b12 y c13 z d1 a21 x b22 y c23 z d 2 a31 x b32 y c33 z d 3 x1 k1 y k2 z p1 y k 3 z p2 z p3 Ejemplo.- Resolver el sistema de ecuaciones siguiente. x y z 8 2 x 3 y z 2 3x 2 y 9 z 9 Paso 1.- La matriz aumentada es.1 1 1 8 2 3 1 2 3 2 9 9 Paso 2.- En este caso el elemento (1,1) ya es uno. P Paso 3 Hacemos 3.H cero llos elementos l t (2 (2,1) 1) y (3 (3,1), 1) utilizando el primer renglón mediante las operaciones: p R2=-2r1+r2 y R3=-3r1+r3 2 1 1 1 8 2 3 1 2 R1 R 2 3 2 9 9 1 2 2 2 2 16 0 5 3 18 3 2 9 9 1 3 1 1 1 8 3 1 1 1 8 0 5 3 18 0 5 3 18 R1 R3 3 2 9 9 0 1 12 15 Paso 4.- Hacemos 1 el elemento (2,2) 1 1 1 8 0 5 3 18 3 2 9 9 realizamos un intercambio del renglón 2 por 3. 1 1 1 8 0 1 12 15 0 5 3 18 Ahora hacemos cero los elementos situados debajo del elemento (2 (2,2), 2) es decir decir, el (2 (2,3) 3) usando para ello el renglón 2 mediante la operación R3=-5r2+r3 1 1 1 8 1 1 1 8 0 1 12 15 0 1 12 15 0 5 3 18 0 0 57 57 Paso 5.- Hacer igual a 1 el elemento (3,3), multiplicando por el tercer renglón renglón. 1 1 1 8 1 1 1 8 0 1 12 15 0 1 12 15 1 0 0 57 57 0 0 1 1 57 Por último el sistema de ecs. que representa la matriz escalonada es es.x y z 8 (a) y 12 z 15 z 1 de donde (b) (c ) z 1 y 15 12 z 15 12 3 de (b) x 8 y z 8 31 4 de (a) así, el conjunto solución es.- x 4 y 3 z 1 Método de Gauss-Jordan Es posible extender el método de eliminación de modo que las ecuaciones reduzcan a una forma en que la matriz del coeficientes del sistema sea diagonal y ya no se requiera la sustitución regresiva. Los pivotes se eligen como en el método de eliminación gaussiana; pero a diferencia de este, en la eliminación gauss-jordan gauss jordan deben eliminarse los elementos arriba y abajo del pivote. Ejemplo.- Resolver el siguiente sistema utilizando el método de Gauss Gauss-Jordan. Jordan 2 x1 4 x2 6 x3 18 4 x1 5 x2 6 x3 24 3 x1 x2 2 x3 4 formando la matriz aumentada 2 4 5 18 4 5 6 24 3 1 2 4 (1) (2) (3) Paso 1.- hacer uno el elemento pivote (1,1). 1 2 2 4 6 18 1 2 3 9 4 5 6 24 4 5 6 24 3 1 2 4 3 1 2 4 paso 2.- Hacer cero todos los que están d b j d debajo dell elemento l t pivote. i t paso 3.- Hacer uno el elemento (2,2) y posteriormente usando este elemento pivote cero los que están arriba y debajo de este. 3 9 3 9 1 2 1 2 1 0 3 6 12 5 0 1 2 4 3 0 5 11 23 0 5 11 23 3 9 1 2 1 2 3 9 0 5 10 20 1 2 0 1 2 4 5 0 0 1 3 R 2 R3 0 5 11 23 así la solución es.- x1 4 x2 2 x3 3 Operaciones entre Matrices Igualdad entre Matrices. S dice Se di que d dos matrices ti y son iiguales l sii son d dell mismo tamaño (esto es mismo orden) y sus componentes p correspondientes p son iguales. g Suma Sean A y B dos matrices del mismo orden, la suma de las dos matrices es la matriz . A B ( aijj ) (bijj ) ( aijj bijj ) a11 b11 a12 b12 a b a22 b22 A B 21 21 an1 bm1 an 2 bn 2 a1n b1n a2 n b2 n anm bnm Teorema.- Sean A, B, y C matrices del mismo orden. Sea O la matriz nula , entonces.a) A+0=A (Identidad aditiva) b) A+B A+B=B+A B+A (Conmutatividad de la adición) c) A+(B+C)=(A+B)+C (Asociatividad de la adición) Resta La resta entre matrices se puede definir usando la negativa de una matriz, matriz esta se define como una matriz de la orden A aij , representada por medio de –A, que se define de la forma: A aij En otras palabras, la negativa de una matriz se forma reemplazando cada elemento de A por su inverso aditivo. Por eso, como: aij ( aij ) 0 Multiplicación de una Matriz por un escalar El producto de una matriz por un escalar, e una matriz en la que cada elemento está multiplicado por el escalar, es decir, para una matriz A y un escalar K, tenemos ka11 ka12 ka ka22 21 kA kan1 kan 2 ka1m ka2 m kanm n m Multiplicación de Matrices Si A es una matriz de orden y B es una matriz de orden . Entonces el producto de A por B, B denotado como , (que se lee “A posmultiplicada por B” o “B premultiplicada por A”), es la matriz para la cual el elemento del renglón i y la columna j es la suma de los productos formados al multiplicar a cada elemento del renglón i de A por el correspondiente elemento de la columna j de B. Para ejemplificar este procedimiento consideremos id l matrices las ti A y B, B calculando l l d el producto A*B. b11 b12 b13 a11b11 a12b21 a11b12 a12b22 a11 a12 a b a b a b b b a21b12 a22b22 a 22 21 21 22 2 2 21 22 23 23 21 11 a11b13 a12b23 a21b13 a22b23 Ejemplo.- Sean las siguientes matrices 2 3 y B 3 0 4 A 4 1 1 5 2 2 1 Encontrar A B 2 3 2(3) (3)(2) 2(0) (3)(2) 2(4) (3)(1) 3 0 4 A B 4 1 4(3) (1)(2) 4(0) (1)(2) (4)(4) (1)(1) 2 2 1 1 5 1(0) (5)(2) (1)(4) (5)(1) 1(3) (5)(2) 6 6 6 8 3 12 6 5 A B 12 2 2 16 1 14 2 15 3 10 10 4 5 7 10 9 Matrices Especiales. Matriz diagonal a11 0 0 a 22 A 0 0 0 ann Matriz Identidad 1 0 0 0 1 0 I 0 0 1 Transpuesta de una Matriz Si se intercambian los renglones y columnas d una matriz de t i A de d orden d , la l matriz ti resultante es denominada transpuesta de la matriz A y se denota como At. a11 a12 a a22 A 21 an1 an 2 a1m a2 m anm n m a11 a t A 12 a1m a21 a22 a2 m an1 an 2 anm m n Representación Matricial de un Sistema de Ecuaciones en la forma Ax B Un sistema de ecuaciones lineales de la forma : a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 an1 x1 an 2 x2 a1n xn bn puede escribirse usando un producto matricial como: a11 a12 a 21 a22 an1 an 2 a1n x1 b1 b a2 n x2 2 ann n n xn n1 bn n1 En forma compacta Ax B donde ~ ~ A – Es la matriz de coeficientes de orden x - Matriz columna de incógnitas de orden ~ M t i columna l de d términos té i iindependientes d di t d de B - Matriz ~ orden En forma compacta Matriz Inversa Sea A una matriz cuadrada de orden n e I la matriz t i identidad id tid d correspondiente. di t Si existe i t una matriz cuadrada A-1, también de orden n, tal que A A I y A A I , entonces A-11 se llama la inversa multiplicativa de A o inversa de A. 1 1 Entonces para resolver un sistema de ecuaciones escrito de la forma a11 a12 a 21 a22 an1 an 2 a1n x1 b1 b a2 n x2 2 ann n n xn n1 bn n1 En forma compacta A x B ~ ~ A1 A x A1 B ~ ~ I x A1 B ~ ~ x A1 B ~ ~ Obtención de la matriz inversa por operaciones elementales Para encontrar la inversa de la matriz se agrega una matriz t i id identidad tid d d de di dimensión ió adecuada al lado de la matriz original. a11 a12 a a22 ( A I 21 an1 an 2 a1n 1 0 0 a2 n 0 1 0 ann 0 0 1 Apliquemos este procedimiento a la siguiente i i t matriz ti 5 2 A 3 1 Para calcular A-1 tenemos: 1 3 5 2 1 0 15 6 3 0 3 5 3 1 0 1 R1 R 2 15 5 0 5 0 5 2 1 0 R 2 R1 5 2 1 6 10 2 0 11 3 5 0 2 11 11 11 1 5 0 5 1 0 2 2 5 10 1 11 11 1 0 11 6 10 0 1 3 11 11 11 por lo tanto 1 A1 11 3 11 2 11 5 11 2 11 5 11 Solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales por medio de la Matriz inversa Ejemplo.- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. i x 4 y 5 z 4 x 3y z 6 2 x 3 y 2 z 6 representando el sistema en forma matricial. 1 4 5 x 4 1 3 1 y 6 2 3 2 z 6 calculando A-1 1 4 5 1 0 0 0 1 4 5 1 0 0 7 4 1 1 0 A1 R1 R 2 1 3 1 0 1 0 1 1 3 2 3 2 0 0 1 1 3 R R 1 0 0 1 2 2 2 1 4 1 4 51 0 0 1 0 7 41 1 0 0 1 7 5 1 0 4 1 0 2 R 2 R3 2 2 0 1 5 5 4 7 8 5 1 1 7 2 5 0 1 7 0 0 0 7 1 5 1 4 5 1 9 0 7 4 1 36 9 35 0 0 35 36 0 1 1 7 0 7 1 4 5 1 0 0 0 R3 R 2 0 63 36 9 9 0 1 0 0 36 9 5 7 5 7 28 35 7 0 0 R 2 R1 7 28 35 7 4 0 0 14 7 0 0 0 63 0 28 9 0 0 0 36 9 5 7 0 36 9 7 9 7 0 35 0 1 0 0 35 0 0 36 9 56 9 2 9 5 28 9 4 63 0 315 63 56 28 1 2 1 0 1 0 0 9 9 9 0 0 1260 315 175 245 7 0 56 9 5 0 28 1 9 28 7 252 224 112 R3 R1 252 0 1260 2 1 0 1 0 0 9 9 0 1260 0 315 175 245 1 63 49 133 252 252 0 0 2 1 22 0 1 0 0 9 9 28 1 0 0 1260 315 175 245 1260 63 49 1 0 0 252 252 56 0 1 0 0 252 0 0 1 315 175 1260 1260 63 133 252 1 0 0 252 28 0 1 0 0 252 1 245 0 0 1 63 5 1260 1 252 5 49 252 56 252 35 252 133 252 28 252 49 252 Así entonces la solución del sistema dada por 63 49 133 9 7 19 1 1 0 8 4 A1 0 56 28 36 252 63 35 49 9 5 7 x 9 7 19 4 y 1 0 8 4 6 36 z 9 5 7 6 x 36 42 114 36 1 y 1 48 24 1 72 2 36 36 z 36 30 42 36 1 Determinantes y Regla de Cramer La regla de Cramer es un método algebraico que permite la solución de sistemas de ecuaciones lineales de dos o tres incógnitas es por medio de determinantes. Defiendo la siguiente ordenación de cuatro números como un determinante de segundo orden. a b ad bc c d determinante de los coeficientes De manera similar los términos restantes los podemos obtener de: Por lo tanto para obtener la solución del sistema de ecuaciones hacemos: ax byy m cx dy n m b n d x x a b c d a m c n y y a b c d De manera similar podemos demostrar que para un sistema de 3 ecuaciones de la forma: a1 x b1 y c1 z d1 a2 x b2 y c2 z d 2 a3 x b3 y c3 z d 3 Cuya solución esta dada por.x Nx y Ny z Nz Donde: Nx - determinar del numerador para el valor de x Ny - determinar del numerador para el valor de y Nz - determinante del numerador para el valor de z - determinar de los coeficientes x a1 y b1 z c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 Para encontrar los determinantes Nx, Ny y Nz , se sustituye la columna de los coeficientes de la incógnita (x,y (x y ó z) por la columna de los términos constantes. d1 b1 c1 a1 d1 c1 N x d2 b2 c2 N y a2 d2 d3 b3 c3 a3 d3 c2 a1 N z a2 b1 b2 d1 d2 c3 a3 b3 d3 Cálculo de determinantes de orden superior Para encontrar el valor del determinante, se d b repetir deben ti llas d dos primeras i columnas. l otro método para evaluar un determinante de t tercer orden d es ell siguiente i i t Desarrollo por renglón o columna para d t determinar i un d determinante t i t d de orden d n. Este método es general pues permite evaluar un determinante de orden n, n el método consiste en reducir el determinante a uno de orden (n-1), y el lugar de calcular un determinante de orden n se calculan l l n determinantes d t i t d orden de d ( 1) Esto (n-1). E t es para un determinante de orden 3 se requieren calcular 3 determinantes de orden 2. Este desarrollo puede ser por renglón o por columna. Para ejemplificar el método de desarrollo por columnas l consideremos id un d determinante t i t d de orden 3. a1 a2 a3 b1 b2 b3 T bl d Tabla de signos i c1 c2 c3 i) Tachar la primera columna y el primer renglón ló i) ii) Tachar la segunda columna y el primer renglón ló iii) Continuar con este procedimiento hasta ll llegara a lla últi última columna. l a1 b1 c1 a2 a3 b2 b3 b c2 a1 2 b3 c3 c2 c3 b1 a2 c2 a3 c3 c1 a2 b2 a3 b3 es decir a1 b2 b3 c2 a b1 2 c3 a3 c2 a c1 2 c3 a3 b2 b3 Método de Cofactores Teorema.- Suponga que A es la Matriz C d d d Cuadrada de orden d n. a11 a12 a a22 21 A an1 an 2 a1n a2 n ann y que Aij es el cofactor del elemento aij el cual se calcula como: Aij 1 M ij i j donde: Mij es ell menor ((ell cuall es un d determinante t i t d de orden d n-1 1 obtenido al tachar el renglón i y la columna j). Entonces si el Determinante A 0 , la inversa de A se puede calcular como: A11 A 1 1 12 A det A An1 A12 A1n A22 A2 n An 2 Ann t Para el caso de una matriz cuadrada de orden 2 a11 a12 A a a 21 22 Si Entonces A1 1 a22 a12 det A a 21 a11 a22 a12 1 A a11a22 a12 a21 a21 a11 1 Ejemplo.- Calcular el determinante de la siguiente i i t matriz t i compleja. l j 1 i i A 2 2i i 5 usando cofactores para calculara la inversa d A, de A tenemos.t i 1 5 A d A 2i 1 i det 1 donde: d t A 5(1 i ) ( i )( 2i ) det det A 5 5i 2i 2 5 2 5i 7 5i Así i 1 5 A 7 5i 2i 1 i 1 REFERENCIAS [1] Algebra Elemental Gordon Fuller Ed. CECSA [2] Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica Walter Fleming Prentice Hall 1991 [3] Precálculo Michael Sullivan Cuarta edición 1997 [4] Algebra Max A. Sobel Segunda Edición Prentice Hall [5] Señales y sistemas Alan V. Oppenheim pp Alan S. Willsky Ed. Prentice Hall 1983 [6] Precálculo R. Larson R. Hostetler Ed. Reverté [7] Álgebra J. Kaufmann K. Schwitters Ed. CENAGE LEARNING