170 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA Si buscamos conversiones de una variable aleatoria exponencial con parámetro Á,, el método de la transformada inversa produce xi = in (u¡), i = 1, 2 , ... (6-34) En forma similar, utilizando el mismo método, las conversiones de una variable aleatoria de Weihull con parámetros y, $ y S se obtienen como: xi = y+ «-ln ui)t/L, i = 1. 2.... (6-35) Para la generación de conversiones de la variable gamma suele emplearse una técnica conocida como método de aceptación-rechazo. Si deseamos producir conversiones partiendo de una variable gamma con parámetros r > 1 y 2. > 0, el procedimiento sugerido por Cheng (1977) es como sigue: Paso 1. Seaa=(2r- 1)"12,b=2r- 1n4+ 1/a. Paso 2 . Generar u,, u-, conversiones de números aleatorios uniformes [0. 1 Paso 3 . Sea y= rItt1/(1 - u1»". Paso 4a. Si y > b - ln(u ¡ rechazar v y regresar al paso 2. Paso 4h. Si v :5 b - ln(u ¡u ,), asignar .v fPara más detalles de éstas y otras técnicas de generación de variables aleatorias, consulte el capítulo 19. 6-7 RESUMEN Este capítulo ha presentado cuatro funciones de densidad ampliamente usadas para variables aleatorias continuas. Las distribuciones uniforme, exponencial, gamma y de Weibull se presentaron junto con sus suposiciones fundamentales y ejemplos de su aplicación . La tabla 6-1 presenta un resumen de estas distribuciones. 6-8 EJERCICIOS 6-1 Se elige un punto al azar en el segmento de línea [0 . 4]. ,-,Cuál es la probabilidad de que el punto se encuentre entre y 1'? ¿Y entre 21 y 3 ?, [35, 44',]. ¿ Cuál es la probabilidad de que, en cualquier día dado , este precio sea menor que 40'? ¿Y entre 40 y 42? 6-3 La variable aleatoria X se distribuye uniforme6-2 El precio de apertura de cierta acción bursátil se mente en el intervalo [0, 21. Obtenga la distridistribuye de manera uniforme en el intervalo bución de la variable aleatoria Y= 5 + 2X. Tabla 6 -1 Resumen de distribuciones continuas Densidad Parámetros Función de densidad : f(x) Media Función generatriz Varianza de momentos Uniforme a,/3 >a f(x)=a`x<_-13 a (a+2 eq3-er(1 (f+a)2/12 t(/3-a) = 0, en otro caso. Exponencial A>0 f(x) _,le AX, x > 0 1 /.t 1 /A2 (1 - ti A)-' r /.l r 1,,2 (1 - t / A)-r = 0, en otro caso. Gamma r>0 íA >0 f(x) = r%r) (.ix)^-'e-^x, x > 0 (r) = 0, en otro caso. 2 de Weibull -00 <y < 00 8>0 /3 > 0 f(x) = x fi y) /;- 1 eXP -x - Y ,xZy ( = 0, en otro caso. Y+S. 1-(1+1) 52 r 1'2 +1)- f +1 172 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA 6-4 Un corredor de bienes raíces cobra una tarifa fija de $50 más 6 por ciento de comisión sobre las ganancias por la venta de un inmueble . Si la ganancia se distribuye de modo uniforme entre $0 v 52000. obtenga la distribución de probabilidad de la remuneración total del corredor. 6-11 6-5 Compruebe que la función generatriz de monmentos para la densidad uniforme está dada como indica la ecuación 6-4. Úsela para generar la media v la varianza. Suponga que el periodo que una máquina operará es una variable aleatoria distribuida exponencialnmente con función de densidad de probabilidad f(t) = Oe Ot , t >_ 0. Suponga que debe contratarse una operadora para esta máquina por un periodo predeterminado y fijo, digamos Y. Se le pagan d dólares por periodo durante este intervalo. La utilidad neta por la operación de esta máquina, aparte de los costos de mano de obra, es r dólares por periodo. Obtenga el valor (le Y que maximiza la utilidad total obtenida. 6-13 Se estima que el tiempo transcurrido hasta la falla de un cinescopio de televisión se distribuye exponencialmente con una media de tres años . Una compañía ofrece garantía por el primer año de uso. ¿Qué porcentaje de pólizas tendrá que pagar por este tipo de fallas? 6-14 ¿Hay una densidad exponencial que cumpla la siguiente condición? 6-7 Muestre cómo puede utilizarse la función de densidad uniforme para generar variantes a partir de la siguiente distribución de probabilidad empírica: P(V) 1 0.3 2 0.2 3 0.4 4 0.1 Pi,stu: Aplique el método de la transformada inversa. 6-8 La variable aleatoria X está uniformemente distribuida sobre el intervalo 10 , 4]. ¿Cuál es la probabilidad de que las raíces de v' + 4Xv + X + 1 = 0 sean reales? P{X52)= P{X53} Debe ser así, encuentre el valor de I. 6-15 Se están considerando dos procesos de manufactura . El costo por unidad para el proceso 1 es C, en tanto que para el proceso 11 es 3C. Los productos fabricados en cada proceso tienen densidades de tiempo de falla exponenciales con razones medias de 25 t fallas por hora y 35-1 fallas por hora, respectivamente. Si un producto falla antes de 15 horas debe reemplazarse a un costo de Z dólares. ¿Qué proceso recomendaría usted? 6-16 Un transistor tiene una distribución de tiempo de falla exponencial con tiempo medio de falla 6-9 Compruebe que la función generatriz de momentos de la distribución exponencial es como se indica en la ecuación 6-14. Utilícela para generar la media y la varianza. 6-10 El motor y la caja de transmisión de un automóvil nuevo están garantizados por un año. Las vidas medias de estos componentes se estiman en tres años, y el tiempo de falla tiene una densidad exponencial. La ganancia por la venta de un auto nuevo es de $1000. Incluyendo Respecto de los datos en el problema 6-10, ¿qué porcentaje de automóviles tendrán fallas en el motor y la caja de transmisión durante los primeros seis meses de uso? 6-12 6-6 Suponga que X se distribuye uniformemente y que es simétrica respecto del cero y con varianza 1. Obtenga los valores apropiados para rzy/3. y los costos de refacciones y de mano de obra, la agencia debe pagar $250 para reparar cada falla. ¿Cuál es la utilidad esperada por la venta de cada automóvil? ALGUNAS DISTRIBUCIONES CONTINUAS IMPORTANTES 173 de 20,000 horas. El transistor ha durado 20,000 horas en una aplicación particular. Cuál es la probabilidad de que falle a las 30,000 horas? ^r .Í(v^) = r) (.r F( tt)r tc ^^ x ? u, íi >_ 0, r > 0. en otro caso. = 0. Determine la media de esta distribución gamma 6-17 Demuestre que 1'(-;) = ñ. 6-18 Demuestre las probabilidades de la función gamma dadas por las ecuaciones 6-18 y 6-19. 6-19 L1n transbordador conducirá a sus clientes de un lado a otro del río cuando hayan abordado lo automóviles. La experiencia muestra que los autos arriban al transbordador de manera independiente a una razón media de 7 por hora. Obtenga la probabilidad de que el tiempo entre viajes consecutivos sea de al menos 1 hora. 6-20 Una caja contiene 24 caramelos. El tiempo que transcurre entre la venta de cada caramelo se distribuye exponencialmente con media de 10 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja abierta a las 8:00 a.m. se termine al medio día? 6-21 Use la función generatriz de momentos de la distribución gamma (expresada en la ecuación 6-25) para encontrar la media y la varianza. 6-22 La vida de servicio de un sistema electrónico es y = XI + X, + X3 + X4, la suma de las vidas de servicio de los subsistemas componentes. Los subsistemas son independientes , teniendo cada uno densidades de falla exponenciales con media de tiempo entre fallas de 4 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema opere por lo menos 24 horas? 6-23 El tiempo de reabastec¡nilento de cierto producto cumple con la distribución gamma con media de 40 y varianza de 400. Determine la probabilidad de que un pedido se envíe dentro de los 20 días posteriores a su solicitud y dentro de los primeros 60 días. 6-24 Suponga que una variable aleatoria con distribu_X< ción gamma se define en el intervalo u < con función de densidad de tres /pureíntetros. 6-25 La distribución de probabilidad beta está definida por: 1 l^+ r) 2.>0, r>0, = 0, en otro caso. ti) Grafique la distribución para A > 1, r > 1. b) Grafique la distribución para a < 1, r < 1. r) Grafique la distribución para 2. < 1, r > 1. d) Grafique la distribución para A > 1, r < 1. e) Grafique la distribución para 2. = r. 6-26 Demuestre que cuando A = r = 1, la distribución beta se reduce a la distribución uniforme. 6-27 Demuestre que cuando A. = 2, r = 1 o A = 1, r = 2, la distribución beta se reduce a una distribución de probabilidad triangular. Grafique la función de densidad. 6-28 Demuestre que si A = r = 2, la distribución beta se reduce a una distribución de propiedad parabólica. Grafique la función de densidad. 6-29 Determine la media y la varianza de la distribución beta. 6-30 Determine la media y la varianza de la distribución de Weibull. 6-31 El diámetro de unos ejes de acero sigue la distribución de Weibull con parámetros y= 1.0 pulgadas, [3 = 2 y 3 = 0.5. Encuentre la probabilidad de que un eje seleccionado al azar no exceda 1.5 pulgadas de diámetro. 6-32 Se sabe que el tiempo de falla de cierto transistor sigue la distribución de Weibull con parámetros y = 0, p = ; y 3 = 400. Obtenga la fracción esperada que durará 600 horas. 174 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA 6-33 Se espera que el tiempo de falla por fugas de 6-37 cierto tipo de batería de celda seca tenga una distribución de Weibull con parámetros y= 0, p = y S = 400. ¿Cuál es la probabilidad de que la batería dure más de 800 horas en uso'? 6-34 Grafique la distribución de Weibull con y= 0, 8=lyf3=1,2,3y4. 6-38 Utilice números aleatorios generados a partir de su subrutina de compilador o del escalamiento de los enteros aleatorios en la tabla XV 6-35 La densidad del tiempo de falla correspondiente a un pequeño sistema de computación tiene una densidad de Weibull con y= 0. p = -, y 8= 200. del apéndice. multiplicando por 10-5, y a) Produzca 10 conversiones de una variable uniforme en [ 10, 201. a) ¿Qué fracción de estas unidades durará 1000 horas? b) Produzca 5 conversiones de una variable aleatoria exponencial con parámetro ) = 2 x l()_5. b) ¿Cuál es el tiempo de falla? 6-36 El fabricante de un monitor de televisor comercial garantiza el cinescopio o tubo de imagen por un año (8760 horas). Los monitores se utilizan en terminales de aeropuerto para programas de vuelo y están en uso continuo. La vida media de los tubos es de 20,000 horas y sigue una densidad de tiempo exponencial. El costo de fabricación, venta y entrega para el fabricante es de $300 y el monitor se vende en el mercado en $4(X). Cuesta $150 reemplazar el tubo inservible, incluyendo materiales y mano de obra. El fabricante no tiene obligación de sustituir el tubo si ya ha habido un primer reemplazo. ¿Cuál es la utilidad esperada del fabricante'? El tiempo de entrega de pedidos de diodos de cierto fabricante cumple con la distribución gamma con una media de 20 días y una desviación estándar de 10 días. Determine la probabilidad de enviar una orden dentro de los 15 días posteriores a la solicitud. c) Produzca 5 conversiones de una variable ganunaconr =2y2.=4. d) Produzca 10 conversiones de una variable de Weihull con y= 0 , f3 = 1/2 y 8= 100. 6-39 Utilice el esquema de generación de números aleatorios sugerido en el ejercicio 6-38, y u) Produzca 10 conversiones de Y = 2X03, donde X sigue una distribución exponencial con media 10. b) Produzca 10 conversiones de Y = / v'X,, donde X1 es una función gamma con r= 2, ),=4yX, es uniformeen [0. 11.