Metodología ( x t −1 , x t ] , entonces 1. ESTIMACIÓN DE RENTA BRUTA DISPONIBLE DE LOS HOGARES A NIVEL MUNICIPAL la función de perteneciente El método de cálculo de la RBDH a nivel de los municipios de φt = ∫ Cantabria que utilizaremos aquí es el llamado método de xt x t −1 estimación indirecto. En esencia, este procedimiento consiste f t = n t N será probabilidad al de t-ésimo g( x ) dx y su frecuencia relativa, y una unidad grupo su de estimador declarante renta será consistente es en establecer una relación funcional entre la RBDH a nivel f t = n t N . Si x t provincial y ciertas variables explicativas, para luego, extrapolar de renta, obtenemos los estimadores consistentes respectivos esa relación a nivel municipal, generando los valores de RBDH F( x t ) de para los municipios en base a los valores que toman dichas variables explicativas a nivel municipal. La disponibilidad de información fiscal equivalente en los niveles, provincial y municipal, permite utilizar como variable explicativa de la RBDH de los Rendimientos Medios Fiscales menos la cuota líquida. En A nivel provincial podemos definir la relación funcional: donde y como: z declarantes: a) Número de declarantes por IRPF en cada intervalo: ni, siendo pi = n i N el porcentaje de declarantes por IRPF en cada tramo sobre el total, y N el número total de declarantes por IRPF. b)Rendimiento con j = 1, 2,...n z j la unidades a mayor de: parámetros α generamos los valores de RBDH per cápita a nivel Siendo n el número de municipios y las acumulados para los sucesivos intervalos ordenados de menor Establecida esta relación a nivel provincial y estimados los ), todas Media mediante el cálculo de los respectivos porcentajes la variable explicativa (Renta Fiscal) definida yˆ j = f ( z j ;αˆ donde t = 1, ... ,T y Q es la media agrupada por tramos (intervalos) de Base Imponible Gravada NDi ⋅ RM i NDi ⋅ RM i ⋅Tmei zi = ri − ti = − NH i NH i municipal: de y Estos estimadores los derivamos de la información fiscal con i = 1, 2,...N es la RBDH per cápita a nivel provincial, N el número de provincias y 1 t ∑ x jf j Q j=1 renta F̂( x t ) = p t = ∑ tj=1 f j como Q = ∑Tj=+11 x j f j . términos analíticos tenemos lo siguiente: y i = f ( z i ;α ) + ε i , la F1 ( x) y F̂1 ( x t ) = q t = es la media muestral para el t-ésimo grupo Medio qi = xi ni N ⋅ X variable utilizada en cada ni ⋅ xi , tramo: siendo el porcentaje del rendimiento acumulado renta fiscal, ahora a nivel municipal. Siendo, medio en cada tramo sobre el total y X es el Rendimiento NDi,j: Número de Declarantes, en cada provincia (i) y en cada Medio Total. municipio de Cantabria. c) IRPF medio o cuota líquida: RMi,j: Rendimiento Medio de imposición por IRPF a nivel ni ⋅ ti ⋅ xi , siendo ti el tipo efectivo medio de imposición en cada tramo, pudiendo provincial (i) y municipal. obtenerse el porcentaje de los ingresos impositivos en cada Tmei,j: Tipo Efectivo medio del I.R.P.F., provincial (i) y municipal. tramo como: NHi,j: Número de Habitantes de Derecho, en las provincias (i) y en los municipios de Cantabria. q ′i = n i ⋅ x i ⋅ t i N ⋅ X ⋅ t , en donde t es el tipo efectivo medio de imposición para el total del rendimiento medio. 2. CURVA DE LORENZ d) Y finalmente, Rendimiento Medio menos IRPF -Renta Utilizando la información fiscal disponible, que se detallará de disponible después del Impuesto-: manera más precisa a lo largo de esta sección, para la obteniendo para cada tramo el porcentaje de la renta estimación de la curva de Lorenz se utiliza el procedimiento desarollado en Kakwani y Podder, (1976). En disponible dicho y F( x t ) , que es la función de distribución de la renta F1 (x) = 1 x X g(x) dX . Es necesario pues µ ∫0 yi (x T ,x T +1 ] siendo 0 < x1 < ... < xT +1 , sea 1 n t el 1 2 impuestos para cada e Y son respectivamente la tramo donde renta media disponible 3. FUNCIÓN DE DENSIDAD DE LA RBDH PARA LOS MUNICIPIOS DE CANTABRIA Suponiendo que hay N unidades declarantes que han sido [0,x ], (x ,x ] , de después de IRPF en cada tramo y la total. estimar esas dos cantidades. Para ello, efectuamos los siguientes cálculos: agrupadas en T+1 intervalos de renta: después q ′i′ = n i ⋅ x i − n i ⋅ x ⋅ t N (X − X ⋅ t) = n i ⋅ y i /N ⋅ Y , procedimiento, la curva de Lorenz se calcula en base a dos funciones, n i ⋅ yi = n i ⋅ x i − n i ⋅ x ⋅ t , ... , Partiendo de la curva de Lorenz obtenida en el apartado anterior, nos ocupamos ahora de mostrar cómo se realiza la número de generación de la funciones de densidad de la renta a partir de unidades declarantes que obtienen una renta en el intervalo 11 1 n ⎛ x − Xi ⎞ fˆh ( x) = ∑ K ⎜ ⎟ nh i=1 ⎝ h ⎠ la información agrupada por tramos de Base Imponible del Rendimiento Medio de las unidades declarantes. Para ello, y teniendo en cuenta la notación establecida en la sección fi ∗ siendo x el punto simulado donde se evalúa la función de como la frecuencia relativa de densidad (1, 2,… ,100) y n el número total de datos generados unidades declarantes que obtienen una renta en el intervalo de los que se dispone. Definimos h como la amplitud de ( pi −1 , pi ] . ventana y anterior vamos a definir Como p recoge frecuencias acumuladas, si se calcula la diferencia entre dos valores consecutivos ( p i , se obtiene la fi∗ = pi − pi −1 . frecuencia relativa en ese ) es una función de ponderación kernel. Para más detalles sobre la metodología no paramétrica ver Hardle p i −1 ) (1990). intervalo: Partiendo del cálculo de la función de densidad se obtienen las El número de declarantes en ese mismo intervalo viene dado por K( distintas ni∗ = fi∗ × N . medidas de posición (media, moda, mediana) necesarias para el análisis de la desigualdad y de la pobreza relativa tanto a nivel regional como municipal. Por lo que se refiere a los distintos valores del nivel de renta (la variable q) es necesario realizar dos cálculos: En primer lugar, 4. INDICE DE GINI obtendremos un nuevo valor del rendimiento total (la renta) RT = X × N , siendo X En lo que respecta al índice de Gini, el cálculo de dicho índice el valor del rendimiento medio total se ha efectuado a partir de la suma de las diferencias absolutas proporcionado por los registros fiscales y N el número total de entre cada par de rentas de la distribución de la renta sin declarantes (valores ya conocidos para cada municipio). En necesidad de referirlos expresamente a una medida de segundo lugar, calcularemos el rendimiento total RT acumulado en el tramo posición. Puede calcularse de la siguiente forma: (q i −1, q i ] . Para ello, sea ri = q i − q i −1 . Dado que G= es un porcentaje – acotado entre 0 y 1 –, si se multiplica por el valor del rendimiento total (RT) se genera ià1 Ri = ri × RT , que Donde es la cantidad de RT acumulado en ese tramo. De este modo, R2 n1∗ n2∗ ... ... R98 R99 R100 lugar. Por ejemplo, su valor para cada distribución de rentas ... ∗ n98 ∗ n99 ∗ n100 coincide con la proporción del área bajo la diagonal principal declarantes que acumulan una renta entre todos de tanto, el valor del Rendimiento del ni∗ n1∗ n2∗ ... i ∗ i una la HERAS, de las; BADIOLA, A.; MORAL, I. y C. MURILLO (2008): Estimación indirecta de la renta disponible de los hogares en los X 100 municipios de Cantabria. Universidad de Cantabria-ICANE. ... ∗ n98 ∗ n99 ∗ n100 Santander. ni∗ individuos que HÄRDLE, f ( x) Xi . de Applied Nonparametric Regresión. Lorenz curve and associated inequality measures from grouped observations”. Econometrica, 44, 9, pp. 137-148. funciones paramétricas. El estimador no paramétrico de la función densidad viene dado por la siguiente expresión: (1990): KAKWANI, N.C. y. N. PODDER (1976), “Efficient estimator of the sin suponer que esta preestablecida W. Cambridge University Press. se puede calcular la función de familia de X 99 de densidad consiste en estimar a encima REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Ri , ni∗ densidad de la renta. El estimador no paramétrico de la función pertenece por X 98 tienen un valor del rendimiento (cada uno de ellos) de ( X ,n ) queda ... Ofreciendo información de la existencia de Con estas series que curva. permitiendo obtener una nueva dupla de series dada por: X2 unidad referencia geométrica y una estrecha asociación con dicha R i . Por lo Xi = cuadrado correspondiente curva de Lorenz, lo que confiere al índice una (Renta) de cada uno de los declarantes en el intervalo i se obtiene como X1 son respectivamente la proporción de como a las interpretaciones sumamente intuitivas a que da ∗ La información que ofrecen estas series es la existencia de ni Xi qi pi ià1 popularidad del índice de Gini se debe tanto a sus propiedades siguiente estructura: R1 y nà1 P ordenada de cada punto i de la curva de Lorenz. La variables derivadas de la Curva de Lorenz que presenta la ni∗ pi pi à qi/ perceptores de renta y la de renta total, es decir, la abscisa y la se han generado dos series de tamaño 2 × (k+1) con dos Ri nà1 P 12 www.icane.es