sin(a + (-b)) - Course

Given: sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b, we can figure out the following:
sin(a − b) = sin(a + (−b)) = sin a cos(−b) + cos a sin(−b) = sin a cos b + cos a(− sin b) = sin a cos b − cos a sin b
cos(a+b) = sin
π
π
π
− (a + b) = sin
− a − b = sin
− a cos b−cos
− a sin b = cos a cos b−sin a sin b
2
2
2
2
π
cos(a − b) = cos(a + (−b)) = cos a cos(−b) − sin a sin(−b) = cos a cos b − sin a(− sin b) = cos a cos b + sin a sin b
tan(a + b) =
sin(a + b)
sin a cos b + cos a sin b sec a sec b
sin a sec a + sin b sec b
tan a + tan b
=
·
=
=
cos(a + b)
cos a cos b − sin a sin b sec a sec b
1 − sin a sec a sin b sec b
1 − tan a tan b
tan(a − b) = tan(a + (−b)) =
tan a + tan(−b)
tan a + (− tan b)
tan a − tan b
=
=
1 − tan a tan(−b)
1 − (− tan a tan b)
1 + tan a tan b
sin(2a) = sin(a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin a cos b
cos(2a) = cos(a + a) = cos a cos a − sin a sin a = cos2 a − sin2 a
cos(2a) = cos2 a − sin2 a = (1 − sin2 a) − sin2 a = 1 − 2 sin2 a
cos(2a) = cos2 a − sin2 a = cos2 a − (1 − cos2 a) = 2 cos2 a − 1
tan(2a) = tan(a + a) =
2 tan a
tan a + tan a
=
1 − tan a tan a
1 − tan2 a
cos(2a) = 1 − 2 sin2 a ⇒ cos(2a) + 2 sin2 a = 1 ⇒ 2 sin2 a = 1 − cos(2a) ⇒ sin2 a =
cos(2a) = 2 cos2 a − 1 ⇒ cos(2a) + 1 = 2 cos2 a ⇒ cos2 a =
1 − cos(2a)
2
1 + cos(2a)
2
1 − cos(2a)
sin2 a
1 − cos(2a)
2
=
tan2 a =
=
2
1 + cos(2a)
cos a
1 + cos(2a)
2
For the half-angle formulas, let 2a = b .
1 − cos(2a)
sin a =
⇒ sin2
2
r
b
1 − cos b
b
1 − cos b
=
⇒ sin
=±
2
2
2
2
1 + cos(2a)
cos2 a =
⇒ cos2
2
r
b
1 + cos b
b
1 + cos b
=
⇒ cos
=±
2
2
2
2
2
v
r
u
b
1 − cos b
1
−
cos
b
u
r
sin
±
u ±
b
1 − cos b
2
2
u
2
= r
=±
tan
=
= u
t
b
1 + cos b
2
1 + cos b
1 + cos b
cos
±
±
2
2
2
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
+sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
⇓
sin(a + b) + sin(a − b)
sin(a + b) + sin(a − b) = 2 sin a cos b ⇒ sin a cos b =
2
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
−sin(a − b) = − sin a cos b + cos a sin b
⇓
sin(a + b) − sin(a − b)
sin(a + b) − sin(a − b) = 2 cos a cos b ⇒ cos a sin b =
2
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
+cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
⇓
cos(a + b) + cos(a − b)
cos(a + b) + cos(a − b) = 2 cos a cos b ⇒ cos a cos b =
2
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
−cos(a − b) = − cos a cos b − sin a sin b
⇓
cos(a + b) + cos(a − b)
cos(a + b) + cos(a − b) = −2 sin a sin b ⇒ sin a sin b = −
2
For the Sum-to-Product formulas, let:
c=a+b
d=a−b
a=
c+d
2
b=
c−d
2
2 sin a cos b = sin(a + b) + sin(a − b) ⇒ sin(c) + sin(d) = 2 sin
c+d
2
2 cos a sin b = sin(a + b) − sin(a − b) ⇒ sin(c) − sin(d) = 2 cos
c+d
2
2 cos a cos b = cos(a + b) + cos(a − b) ⇒ cos(c) + cos(d) = 2 cos
c−d
2
c−d
2
cos
c+d
2
−2 sin a sin b = cos(a + b) − cos(a − b) ⇒ cos(c) − cos(d) = −2 sin
sin
c+d
2
cos
c−d
2
sin
c−d
2