Licenciatura en F´ısica Probabilidad y Estad´ıstica Aplicada Curso

Licenciatura en Fı́sica
Probabilidad y Estadı́stica Aplicada
Curso 2015
Universidad de la República
Facultad de Ciencias
Centro de Matemática
Práctico 9
1.
a) Sea {Xn } una sucesión de variables aleatorias que converge en media cuadrática.
Demostrar que converge en media.
b) Encontrar una sucesión de variables aleatorias que converja en media pero no converja
en media cuadrática.
2. Encontrar ejemplos de sucesiones de variables aleatorias X, X1 , X2 . . . , tales que
a) La sucesión {Xn } converge en probabilidad a X pero no converge casi seguramente.
b) La sucesión {Xn } converge en probabilidad a X pero no converge en media.
c) La sucesión {Xn } converge en distribución a X pero no converge en probabilidad.
3. Probar las siguientes propiedades de la convergencia casi segura:
c.s.
c.s.
c.s.
c.s.
c.s.
c.s.
c.s.
c.s.
c.s.
a) Si Xn → X , Yn → Y entonces αXn + βYn → αX + βY.
b) Si Xn → X , Yn → Y y {αn }n∈N ; {βn }n∈N son sucesiones reales tales que αn → α,
c.s.
βn → β, entonces αn Xn + βn Yn → αX + βY.
c.s.
c) Si Xn → X , Yn → Y entonces Xn Yn → XY.
c.s
d ) Si Xn → X , Yn → Y , P (Y > 0) = 1, entonces Xn /Yn → X/Y.
c.s.
c.s.
e) Si Xn → X y g : R → R es continua, entonces g (Xn ) → g (X) .
4. Probar las siguientes propiedades de la convergencia en probabilidad:
P
P
P
P
P
a) Si Xn → X , Yn → Y entonces αXn + βYn → αX + βY.
b) Si Xn → X , Yn → Y y {αn }n∈N ; {βn }n∈N son sucesiones reales tales que αn → α,
P
βn → β, entonces αn Xn + βn Yn → αX + βY.
P
P
P
P
P
c) Si Xn → X , Yn → Y entonces Xn Yn → XY.
P
d ) Si Xn → X , Yn → Y , P (Y > 0) = 1, entonces Xn /Yn → X/Y.
P
P
e) Si Xn → X y g : R → R es continua, entonces g (Xn ) → g (X) .
5. Si {Xn }n∈N es una sucesión de variables aleatorias en L2 . Probar que si E (Xn ) → α y
P
Var(Xn ) → 0 entonces Xn → α .
6. Si {µn }n≥1 es una sucesión de reales tales que µn → µ. Definimos las variables aleatorias
d
Xn = µn , para cada n y X = µ. Probar que Xn → X. ¿Qué ocurre si consideramos el
punto de discontinuidad de FX ?
7. Si X1 , X2 , ..., Xn , ...., X son variables aleatorias definidas sobre un mismo espacio de prod
P
babilidad, probar que si Xn → c (constante) entonces Xn → c.
8. Si {Xn }n∈N es una sucesión de variables aleatorias independientes igualmente distribuidas
con distribución de Poisson(λ) . Hallar el lı́mite casi seguro de
X12 + X22 + ... + Xn2
.
n−3
1
9. Si {Xn }n∈N es una sucesión de variables aleatorias independientes igualmente distribuidas
con distribución N(0, 1) . Hallar el lı́mite casi seguro de
X12 + X22 + ... + Xn2
.
(X1 − 1)2 + (X2 − 1)2 + ... + (Xn − 1)2
10. Una variable aleatoria C distribuida N (µc , σc2 ) describe la concentración de una sustancia
medicinal en partes por millón. Para determinar esta concentración se utiliza un instrumento que tiene un error aleatorio E distribuido N (0, σ2 ).
Para atenuar el efecto del error del instrumento se propone efectuar n determinaciones de
concentración (sobre la misma muestra) y promediarlas. Dado que en cada determinación
el valor que proporciona el instrumento es Xi = C + Ei el promedio de n observaciones
será dado por
n
1X
E1 + E2 + · · · + En
X̂n =
Xi = C +
.
n
n
i=1
d
a) Probar que se cumple X̂n → C.
p
b) Probar que se cumple X̂n → C.
m.c.
c) Probar que se cumple X̂n → C.
c.s.
d ) Probar que se cumple X̂n → C.
11. Sea X1 , . . . , Xn , . . . variables aleatorias independientes igualmente distribuidas U nif [0, a].
Se definen las variables aleatorias
X1∗ = min{X1 , X2 , . . . , Xn }
Xn∗ = max{X1 , X2 , . . . , Xn }.
p
a) Probar que se cumple X1∗ → 0;
p
b) Probar que se cumple Xn∗ → a.
A su vez, se definen las variables aleatorias
Un = nX1∗ ;
Vn = n(a − Xn∗ ).
d
c) Probar que se cumple Un → U donde U tiene distribución Exp( a1 );
d
d ) Probar que se cumple Vn → V donde V tiene distribución Exp( a1 ).
12. Sean X1 , . . . , Xn , . . . variables aleatorias independientes igualmente distribuidas U nif [0, a].
Hallar el lı́mite en casi seguro de las variables aleatorias Yn definidas como
Yn =
n
Y
Xi
1
n
.
i=1
13. Aproximación de la distribución binomial por la Poisson.
a) Si Xn ∼ Bin(n, pn ) donde se cumple que npn → λ > 0.
d
Demostrar que Xn → X ∼ Poisson(λ) .
b) La probabilidad de acertar en un blanco es 0,001. Calcular aproximadamente la probabilidad de acertar en el blanco dos o más veces en una serie de 5.000 disparos.
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