CURSO 2007 PRACTICO 10 MODE - FCEA

Universidad de la República, Facultad de Ciencias Económicas y Administración.
ECONOMETRIA II - CURSO 2007
PRACTICO 10
MODELOS DE REGRESIÓN DINÁMICOS Y COINTEGRACIÓN
EJERCICIO 1
Un investigador tiene que elegir entre dos especificaciones para estimar un modelo:
(1)
Yt = β1 + β2 X2t + β3 X3t + ut
y
ut = ϕ ut-1 + εt
2
donde | ϕ | < 1 εt ∼ I.I.D (0,σ ) y los regresores: X2, X3 no estocásticos.
(2)
Yt = α1 + α2 X2t + α3 X2t-1 + α4 X3t + α5 X3t-1+ α 6 Yt-1 + εt donde
εt ∼ I.I.D (0,σ2)
En la primera especificación se supuso que las perturbaciones seguían un proceso autorregresivo
de 1er. orden. En la segunda se incluyen entre los regresores la dependiente retardada. Si el
modelo (1) estuviera bien especificado, el (2) debería ser una expresión estimable del primero,
no lineal en los parámetros β1 , β2 , β3 y ϕ.
Se pide:
a) Deducir la forma estimable del modelo (1), si la especificación cierta es que las
perturbaciones siguen un proceso AR(1).
b) Escribir las restricciones sobre los parámetros αi, ( i = 2, 3, 4 y 5), que impondría
al modelo (2), para obtener los parámetros del modelo (1).
c) ¿Aplicaría MCO para estimar los parámetros β1, β2, β3 y ϕ? ¿Los estimadores
MCO proporcionarían estimadores insesgados y consistentes de los parámetros?
Justifique su respuesta.
d) En caso de que su respuesta no hubiera sido afirmativa en c) que método propone
utilizar para obtener estimaciones consistentes.
EJERCICIO 2
J. Hamilton (1994) plantea un modelo explicativo de la paridad dólar - lira italiana, a partir de la
teoría de la Paridad de Poder Adquisitivo (PPA).
En primera instancia, se investiga el orden de integración de las siguientes variables: pt (precios
en EE.UU.), p*t (precios en Italia) y st (tipo de cambio dólar-lira). El siguiente modelo fue
estimado para pt con datos mensuales de 1974:2 a 1989:10 (T=189) (errores estándar entre
paréntesis):
pt = 0.55 Δ pt-1 - 0.06 Δ pt-2 + ... + 0.05 Δ pt-12 + 0.14 + 0.994 pt-1 + 0.0029 t + residuos (1)
(0.08)
(0.09)
(0.07)
(0.09) (0.00307)
(0.0018)
A un nivel de significación del 5% contraste la hipótesis nula de raíz unitaria en la serie. El
estadístico Φ3 de la hipótesis conjunta que ρ = 1 y δ = 0 ( ρ coeficiente de pt-1 y δ coeficiente de
t) es 2.41.
Si en (1) pt se reemplaza por p*t, el valor del ADF (Augmented Dickey-Fuller) es de -0.13 y
4.25 el valor que toma el estadístico Φ3.
Si en (1) pt es remplazado por st, los valores de los estadísticos ADF y Φ3 son -1.58 y 1.49.
1
La teoría PPA sostiene que Pt = St Pt*.
Expresada en logaritmos: pt = st + p*t.
O sea que, fuera de errores de medida en los precios, costos de transporte y diferencias de
calidad, los bienes se venderían al mismo precio en los dos países:
zt ≡ pt - st - p*t
Se define una nueva variable z, para t = 1, 2, ……,
zt = 0.32 Δ zt-1 - 0.01 Δ zt-2 + ... - 0.01 Δ zt-12 + 0.00 + 0.97124 zt-1
(0.07)
(0.08)
(0.08)
(0.18)
(0.01410)
El estadístico Φ1 de la hipótesis conjunta que ρ = 1 y término constante = 0 es 2.19
Se pide:
1. ¿Qué proceso podría razonablemente describir cada una de las series estudiadas
individuamente? Analice el orden de integración de las series involucradas: pt, p*t y st.
2. ¿Las series están cointegradas? Escriba la (o las) hipótesis nula y alternativa para el
contraste. Señale el (o los) estadístico(s) que utiliza. Realice el cálculo e indique el resultado
del contraste. ¿Cuál es su conclusión? Observe que el vector de cointegración no es estimado,
sino que se postula de acuerdo a la teoría.
3. ¿La variable zt es I(0)
EJERCICIO 3
En 1962 Okun postuló y estimó para Estados Unidos lo que luego se conoció como ley de Okun
que vincula la brecha entre el producto y el producto potencial con la tasa observada de
desempleo y la tasa natural de desempleo. Esta relación puede estimarse tanto para el corto
como para el largo plazo.
Considere las series desestacionalizadas de producto bruto interno de Uruguay (PBIUR_SA) y
tasa de desempleo para el total del país (TDTP_SA) para el período 1986.01 a 2002.03.
La tasa de desempleo desestacionalizada para el total del país, TDSA, es una serie integrada de
orden uno, I(1).
Se dispone además de la siguiente información para la serie PBIUR_SA:
ADF Test Statistic
-0.475158
1% Critical Value*
5% Critical Value
10% Critical Value
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(PBIUR_SA)
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1987:1 2002:3
Included observations: 63 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
PBIUR_SA(-1)
-0.001254
D(PBIUR_SA(-1))
0.073928
D(PBIUR_SA(-2))
0.355667
D(PBIUR_SA(-3))
0.249332
R-squared
0.165980
Adjusted R-squared
0.123572
S.E. of regression
2.838041
Sum squared resid
475.2141
Log likelihood
-153.0430
Durbin-Watson stat
1.751040
Std. Error
0.002638
0.146684
0.140810
0.148353
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
-2.5994
-1.9456
-1.6185
t-Statistic
-0.475158
0.503994
2.525863
1.680672
Prob.
0.6364
0.6161
0.0142
0.0981
0.334814
3.031521
4.985492
5.121564
3.913897
0.012875
2
Se pide:
1. ¿Qué características debe tener la serie de producto para que sea válido testear si existe una
relación de cointegración entre el producto (PBIUR_SA) y el desempleo (TDTP_SA)?
Explicítelas y verifíquelas.
2. Con la información que se adjunta más adelante, ¿considera que es posible afirmar que se
cumple la relación de Okun de largo plazo para Uruguay? Justifique.
Dependent Variable: PBIUR_SA
Method: Least Squares
Sample: 1986:1 2002:3
Included observations: 67
Variable
C
TDTP_SA
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
Coefficient
102.2815
3.720997
0.272301
0.261105
16.54038
17782.97
-282.0426
0.113150
Std. Error
8.256940
0.754492
Mean dependent vary
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
t-Statistic
12.38734
4.931793
Prob.
0.0000
0.0000
141.7647
19.24218
8.478883
8.544694
24.32258
0.000006
Test ADF aplicado a los residuos de la regresión
ADF Test Statistic
1.483410
1% Critical Value*
5% Critical Value
10% Critical Value
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(ERRORES)
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1986:2 2002:3
Included observations: 66 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
ERRORES(-1)
0.083622
C
5.042754
@TREND(1986:1)
-0.154968
R-squared
0.167209
Adjusted R-squared
0.140771
S.E. of regression
5.156588
Sum squared resid
1675.195
Log likelihood
-200.3729
Durbin-Watson stat
1.979314
Std. Error
0.056372
1.647252
0.046102
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
-4.1013
-3.4779
-3.1663
t-Statistic
1.483410
3.061312
-3.361383
Prob.
0.1430
0.0032
0.0013
-0.095875
5.562986
6.162816
6.262346
6.324617
0.003140
3. Cree que especificar la relación de Okun en términos de un Modelo de Corrección del Error
permitiría modelizar la dinámica de corto y largo plazo entre el producto y el desempleo?
4. Si la tasa de desempleo fuera una serie estacionaria, I(0), ¿su respuesta al punto anterior se
modificaría? Justifique.
EJERCICIO 4
Dado el modelo ADL (1,1):
[1]
Yt = μ + α Yt-1 + βoXt + β1 Xt-1 + εt
donde la perturbación εt ∼ I.I.D (0,σ2) y α < 1.
3
Se pide:
1. Analice la condición para la estacionariedad del proceso en Yt.
2. Reescriba [1] invirtiendo el polinomio de retardos en Yt .
3. Deduzca la ecuación de equilibrio estático entre las variables X yY.
4. Reescriba [1] como un modelo de corrección de error (ECM).
EJERCICIO 5
Un investigador con datos anuales del logaritmo del consumo (C) y el logaritmo del ingreso
disponible de los hogares (Y), ambas variables I(1), estima una regresión para la función de
consumo:
[1]
Ct = α + β Yt
Examina los residuos de la regresión anterior, et, que resultan I(0).
Otro investigador con los mismos datos postula la siguiente relación entre el consumo y el
ingreso para luego estimarla:
[2]
Ct = μ + δ1 Ct-1 + δ2 Ct-2 + γo Yt + γ1 Yt-1
1) ¿Qué interpretación tiene el parámetro β? ¿Cómo interpretaría la relación [1]?
2) Reparametrice la ecuación [2] de manera de especificarla como un modelo de corrección de
error (ECM). ¿Qué relación tendría el término de corrección de error con la ecuación [1]?
EJERCICIO 6
A continuación se presenta el gráfico de las series de Índice de volumen físico del producto
desestacionalizado de Argentina y Uruguay.
Las series de IVF del PBI de Uruguay y Argentina desestacionalizadas tienen base 1990=100.
Gráfico 1
160
150
140
130
120
110
100
90
80
1980
1985
1990
PBIAR_SA
1995
2000
PBIU R_SA_B90
Se sabe que el IVF del producto de Argentina sigue un proceso integrado de orden uno. Es
necesario conocer el grado de integración del IVF del producto de Uruguay. Para ello se cuenta
con el autocorrelograma del IVF del PBIUR_SA
4
Sample: 1980Q1 2004Q1
Included observations: 97
Autocorrelation
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
|********
|*******|
|*******|
|*******|
|*******|
|*******|
|*******|
|****** |
|****** |
|****** |
|****** |
|***** |
Partial Correlation
. |********
. | .
|
. |*.
|
.*| .
|
. |*.
|
. | .
|
.*| .
|
.*| .
|
. | .
|
.*| .
|
. | .
|
.*| .
|
AC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0.977
0.956
0.938
0.915
0.899
0.881
0.858
0.831
0.805
0.775
0.743
0.709
PAC
Q-Stat
Prob
0.977
0.036
0.074
-0.121
0.119
-0.045
-0.094
-0.136
0.019
-0.139
-0.046
-0.127
95.424
187.73
277.67
364.21
448.52
530.41
608.90
683.38
754.18
820.44
882.10
938.93
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
El test de raíces unitarias ADF arroja los siguientes resultados:
Null Hypothesis: PBIUR_SA has a unit root
Exogenous: None
Lag Length: 3 (Fixed)
Augmented Dickey-Fuller test statistic
Test critical values:
1% level
5% level
10% level
t-Statistic
Prob.*
1.177184
-2.590065
-1.944324
-1.614464
0.9377
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(PBIUR_SA)
Method: Least Squares
Date: 07/14/04 Time: 18:00
Sample(adjusted): 1981Q1 2004Q1
Included observations: 93 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
PBIUR_SA(-1)
D(PBIUR_SA(-1))
D(PBIUR_SA(-2))
D(PBIUR_SA(-3))
0.003171
-0.079116
0.034661
0.197537
0.002694
0.104368
0.107607
0.107286
1.177184
-0.758043
0.322109
1.841220
0.2423
0.4504
0.7481
0.0689
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
0.037588
0.005147
2.802821
699.1669
-225.7653
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Durbin-Watson stat
0.458515
2.810062
4.941188
5.050118
1.941613
Se pide:
1. ¿Cuál es el grado de integración del IVF desestacionalizado del PBI de Uruguay? Explique
a paso cómo realizó la prueba.
2. ¿Considera que la información que dispone es suficiente para concluir acerca del grado de
integración de la serie?
5
El investigador convencido de que debe existir un vínculo de largo plazo entre los IVF de los
Productos de Uruguay y Argentina (desestacionalizados) realiza la siguiente regresión:
Dependent Variable: PBIUR_SA
Method: Least Squares
Sample: 1980Q1 2004Q1
Included observations: 97
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
PBIAR_SA
4.885676
0.879456
2.715358
0.022446
1.799275
39.18042
0.0752
0.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.941722
0.941108
4.701528
2099.915
-286.7717
0.446069
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
109.6176
19.37364
5.954055
6.007142
1535.106
0.000000
Se pide:
1. ¿Qué condiciones se deben verificar para que esta regresión no sea una regresión espúrea?
¿Se cumplen esas condiciones en este caso particular?
2. ¿Qué prueba se puede realizar para verificar la existencia de una relación de equilibrio entre
ambos productos? Explique las hipótesis de la prueba y el procedimiento a realizar.
A los efectos de convencerlo el investigador le brinda la siguiente información sobre los
residuos de la regresión presentada más arriba:
Sample: 1980Q1 2004Q1
Included observations: 97
Autocorrelation
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
|******
|*****
|****
|***
|***
|***
|**
|**
|**
|*.
|*.
|*.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Partial Correlation
. |******
. |*.
. | .
.*| .
. | .
. |*.
. | .
.*| .
. | .
. | .
. |*.
.*| .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0.762
0.656
0.556
0.437
0.363
0.333
0.300
0.248
0.197
0.152
0.138
0.080
PAC
Q-Stat
Prob
0.762
0.180
0.022
-0.084
0.015
0.096
0.036
-0.059
-0.057
-0.015
0.071
-0.088
58.079
101.57
133.13
152.84
166.59
178.30
187.93
194.58
198.83
201.38
203.50
204.22
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
Resultado del test ADF:
Null Hypothesis: RESID has a unit root
Exogenous: None
Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=11)
Augmented Dickey-Fuller test statistic
Test critical values:
1% level
5% level
10% level
t-Statistic
Prob.*
-3.644512
-2.589273
-1.944211
-1.614532
0.0004
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
6
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(RESID)
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1980Q2 2004Q1
Included observations: 96 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
RESID(-1)
-0.234462
0.064333
-3.644512
0.0004
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
0.122495
0.122495
2.941188
821.8057
-239.2816
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Durbin-Watson stat
0.043418
3.139772
5.005866
5.032578
2.303803
Se pide:
1. ¿Existe una relación de cointegración entre los productos de ambos países? Justifique su
respuesta.
7
8