Cálculo Integral - Aprende Matemáticas

Profr. Efraín Soto Apolinar.
La Diferencial
En el curso de cálculo diferencial aprendimos a calcular la derivada de una función.
La diferencial es el concepto que nos ayudará a justificar el procedimiento que utilizaremos para
el cálculo integral.
Diferencial
Sea y = f ( x ) una función con su primera derivada contínua y ∆x un incremento en la variable x. La
diferencial de y se denota por dy y se define como:
Definición
1
dy = f 0 ( x ) · ∆x
En palabras, la diferencial de y es igual al producto de la derivada de la función multiplicada por el
incremento en x.
Calcula la diferencial para la función:
y = x2 + x +
• Por definición,
Ejemplo 1
1
x
dy = f 0 ( x ) · ∆x
• Primero calculamos f 0 ( x ):
f 0 (x) =
dy
1
= 2x+1− 2
dx
x
• Ahora podemos calcular la diferencial multiplicando f 0 ( x ) por ∆x:
1
∆x
dy = 2 x + 1 − 2 · ∆x = 2 x∆x + ∆x − 2
x
x
Recuerda que ∆x representa una cantidad. No es el producto de dos cantidades: ∆ por x. Es decir,
∆x es un solo símbolo. Puedes encerrarlo entre paréntesis para evitar confusión si así lo deseas.
Ejemplo 2
Calcula la diferencial para la función: y = cos(sin x ).
• Primero calculamos la primera derivada de la función:
dy
= − sin(sin x ) · cos x
dx
• Para calcular la diferencial multiplicamos esta derivada por el incremento en x:
dy = − sin(sin x ) · cos( x ) · ∆x
Como puedes ver, el cálculo de la diferencial de una función es muy sencillo: solamente multiplicamos su derivada por ∆x.
Ahora vamos a dar una interpretación geométrica de este concepto.
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Interpretación geométrica
Ya sabemos que la derivada de una función es la mejor aproximación lineal a la función en un
punto.
En particular, la derivada evaluada en un punto de la función es igual a la pendiente de la recta
tangente a la función en ese punto.
Al multiplicar f 0 ( x0 ) (la pendiente de la recta tangente a la función en el punto x0 ) por ∆x (el
incremento en x) obtenemos el incremento en y al movernos sobre la recta tangente.
La interpretación
geométrica de la
pendiente
ayudará a entender
y
y = f (x)
f ( x0 + ∆x )
f ( x0 )
esta explicación.
e
dy = f 0 ( x0 ) · ∆x
∆y
∆x
x0
x0 + ∆x
x
Observa que e + dy = ∆y. Es decir, dy = ∆y − e.
En palabras, dy es una aproximación a ∆y. Cuando el valor de e se hace muy pequeño, la aproximación se hace cada vez mejor.
e se hará cada vez más pequeño cuando la segunda derivada sea casi cero. Esto es así porque
la pendiente de las rectas tangentes a la gráfica de la función se mantienen casi constantes en la
cercanía de x0 .
En realidad estamos calculando una aproximación a ∆y (el incremento de y), suponiendo que la
función es lineal en el intervalo ( x0 , x0 + ∆x ).
Este argumento se hace evidente al suponer que la función y = f ( x ) es una línea recta, pues su
primer derivada es igual a la pendiente de la recta y su segunda derivada es cero.
La segunda derivada nos está diciendo que la pendiente de la recta nunca cambia, por lo que la
concavidad de la función no está definida, dado que la segunda derivada es cero en todos sus
puntos.
La diferencia e = f ( x0 + ∆x ) − ( f ( x0 ) + dy) es el error que cometemos al hacer la aproximación de
f ( x0 + ∆x ) suponiendo que se comporta la función exactamente igual que una recta.
Esta suposición nos es permitida siempre que la curva es suave, es decir, que no tiene cambios
bruscos en la cercanía de x0 . En otras palabras, si la recta tangente a la curva es una buena
aproximación a la curva en la cercanía del punto x0 , entonces podemos aproximar la curva por
medio de la diferencial.
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Profesor:
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Profr. Efraín Soto Apolinar.
Créditos
Albert
Einstein
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Este material se extrajo del libro Matemáticas VI escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es
compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho
más que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 07 de agosto de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
efrain@aprendematematicas.org.mx
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