Cálculo Integral - Aprende Matemáticas

Profr. Efraín Soto Apolinar.
La diferencial como aproximación al incremento
Ahora vamos a utilizar la diferencial para hacer aproximaciones. Esta aproximación está basada
en la interpretación geométrica que acabamos de dar de la diferencial.
√
Aproxime con diferenciales el valor de 402.
• Consideremos la función: y =
√
Ejemplo 1
x = x1/2 .
• Sabemos que la raíz cuadrada de 400 es 20.
• Podemos utilizar este valor para aproximar el valor de la raíz cuadrada de 402.
• Primero encontramos la diferencial de la función:
dy =
∆x
√
2 x
• Para este caso hacemos ∆x = 2, y x = 400.
• Esto es así porque x + ∆x = 400 + 2 = 402.
Observa
• Entonces, sustituyendo los valores en la diferencial obtenemos:
dy =
∆x
2
1
√ = √
=
= 0.05
20
2 x
2 400
• Ahora, y + dy = 20 + 0.05 = 20.05
√
• El valor exacto a 7 decimales es: 402 = 20.0499377.
• Nos resultó una buena aproximación.
Aproxime con diferenciales el valor de
√
Ejemplo 2
25.2.
• De nuevo, consideramos la función y =
√
x = x1/2 .
• Ya sabemos que la diferencial correspondiente es:
dy =
∆x
√
2 x
• Al sustituir ∆x = 0.2, y x = 25 en esta fórmula, obtenemos:
dy =
• De manera que
√
25.2 ≈
√
0.2
∆x
0.2
√ = √ =
= 0.02
10
2 x
2 25
25 + dy = 5 + 0.02 = 5.002.
• El valor arrojado por la calculadora científica es de: 5.019960159.
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la
interpretación
geométrica de la
diferencial.
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Aproxime con diferenciales la raíz cúbica de 28.
√
3
• Ahora consideramos la función: y =
Ejemplo 3
x = x1/3
• Sabemos de antemano que la raíz cúbica de 27 es 3. Esto sugiere que utilicemos ∆x = 1 y
x = 27. Ahora encontramos la diferencial de la función:
dy =
∆x
3 x2/3
• Sustituyendo los valores de las incógnitas encontramos el valor buscado:
dy
=
=
=
1
∆x
=
3 x2/3
3 (27)2/3
1
1
=
3 (9)
3 (3)2
1
27
• Entonces, de acuerdo a lo sugerido, tenemos que:
√
3
28 ≈
√
3
27 +
1
1
81
1
82
= 3+
=
+
=
27
27
27 27
27
• Podemos verificar la exactitud del resultado elevándolo al cubo:
3
551 368
82
=
= 28.01239648 · · ·
27
19 683
• Buena aproximación.
Ejemplo 4
Aproxime la raíz cúbica de 0.009
• Consideramos la función raiz cúbica:
y=
√
3
x
• Ahora hacemos x = 0.008 (porque la raíz cúbica de 0.008 es 0.2) y ∆x = 0.001
• Ya sabemos que la diferencial de la función es:
dy =
∆x
3 x2/3
• Utilizando los valores conocidos obtenemos:
dy =
∆x
0.001
1
0.001
0.001
=
=
=
=
3 (0.04)
120
3 (0.02)2
3 x2/3
3 (0.008)2/3
• Entonces,
√
3
0.009
≈
=
√
3
1
1
2
1
= 0.2 +
=
+
120
120
10 120
24
1
25
5
+
=
=
120 120
120
24
0.008 +
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• Elevando al cubo este resultado, encontramos que:
5
24
3
=
125
= 0.0090422453 · · ·
13 824
Aproxime con diferenciales la raíz cuarta de 15.
• Considere la función: y =
√
4
Ejemplo 5
x.
• Encontramos la diferencial correspondiente:
dy =
∆x
4 x3/4
• Sabemos que 24 es igual a 16. Esto sugiere que hagamos x = 2 y ∆x = −1.
• Sustituyendo estos valores en la diferencial obtenemos:
dy =
−1
−1
−1
∆x
=
=
=
32
4 (2)3
4 x3/4
4 (16)3/4
• Por tanto, la aproximación buscada es:
√
4
15 =
√
4
16 −
1
1
63
= 2−
=
32
32
32
• Elevando a la cuarta potencia, tenemos:
63
32
4
=
15 752 961
= 15.02319431
1 048 576
Use diferenciales para estimar (0.98)4 .
Ejemplo 6
• Sea y = x4 . Es claro que dy = 4 x3 ∆x.
• Podemos hacer x = 1 y ∆x = −0.02. Sustituyendo estos valores encontramos:
dy = 4(1)3 (−0.02) = −0.08
entonces, (0.98)4 es aproximadamente igual a 14 − 0.08 = 1 − 0.08 = 0.92.
• El valor arrojado por una calculadora científica es: 0.92236816
Use diferenciales para aproximar:
Ejemplo 7
N = (2.01)4 − 3 (2.01)3 + 4 (2.01)2 − 5 (2.01) + 7.
• Sea M = x4 − 3 x3 + 4 x2 − 5 x + 7
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• Fácilmente podemos encontrar:
dM = (4 x3 − 9 x2 + 8 x − 5) · ∆x
• Ahora hacemos x = 2, y ∆x = 0.01 y sustituimos estos valores en dM.
dM
= (4 (2)3 − 9 (2)2 + 8 (2) − 5)(0.01)
= (4 (8) − 9 (4) + 8 (2) − 5)(0.01)
= (32 − 36 + 16 − 5)(0.01) = (7)(0.01) = 0.07
• Entonces, M ( x + ∆x ) = M(2.01) es aproximadamente igual a M (2) + dM.
M (2) = (2)4 − 3(2)3 + 4(2)2 − 5(2) + 7 = 16 − 24 + 16 − 10 + 7 = 5
• Luego, M (2.01) = M(2) + dM = 5 + 0.07 = 5.07
• Para comparar este resultado con el valor exacto, evalúa M (2.01).
El concepto de diferencial se puede utilizar para aproximar el valor de una cantidad relacionada
a otras en diferentes situaciones.
Créditos
Albert
Einstein
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 07 de agosto de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
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Profr. Efraín Soto Apolinar.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
efrain@aprendematematicas.org.mx
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