Regla de la potencia - Aprende Matemáticas

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Reglas de derivación
Hasta aquí hemos utilizado la regla de los cuatro pasos para calcular la derivada de funciones.
Sin embargo existe un procedimiento más sencillo que consiste en calcular la derivada de una
clase de funciones y tulizar el resultado como una fórmula para evitar el procedimiento de los
cuatro pasos.
De hecho, ha hemos calculado algunas de estas fórmulas. Por ejemplo, en la página ?? hemos
calculado la fórmula para derivar cualquier función de la forma:
y = mx+b
Regla de la potencia
Ya hemos deducido la fórmula para calcular la derivada de una potencia en la página ??.
La fórmula que obtuvimos es la siguiente:
d( xn )
= nx n−1
dx
Esta fórmula será de gran utilidad para derivar funciones polinomiales.
Calcula la derivada de la función:
y = x12
Ejemplo 1
• Si tuvieramos que utilizar la regla de los cuatro pasos el procedimiento sería muy largo.
• Sin embargo, ya sabemos la fórmula para derivar una potencia.
• Así que basta con aplicarla.
• En este caso n = 12, y de aquí que n − 1 = 11.
• Sustituyendo en a fórmula obtenemos:
d( xn )
dx
dy
dx
= n x n −1
= 12x11
• Y terminamos.
Calcula la derivada de la función:
y = c · f (x)
Ejemplo 2
• Por definición, la derivada de esta función es:
dy
c · f ( x + ∆x ) − c · f ( x )
c · [ f ( x + ∆x ) − f ( x )]
= lim
= lim
dx
∆x
∆x
∆x →0
∆x →0
www.aprendematematicas.org.mx
1/4
Profr. Efraín Soto Apolinar.
• Pero por las propiedades de los límites, podemos reescribir el límite de la siguiente forma:
dy
f ( x + ∆x ) − f ( x )
d( f ( x ))
= c · lim
= c·
dx
∆x
dx
∆x →0
• Esta es una regla de derivación.
Calcula la derivada de la función:
y = 5 x12
Ejemplo 3
• Aquí debemos aplicar dos reglas de derivación.
• La primera es la que acabamos de deducir en el ejemplo anterior.
• La segunda es la regla de la potencia.
• Entonces, la derivada de la función es:
dy
dx
=
=
=
d(5 · x12 )
dx
d( x12 )
5·
dx
(5)(12) · x11
• Y terminamos.
Estas dos reglas de derivación, junto con otra tercera regla que vamos a deducir en el siguiente
ejemplo, se utilizan para derivar funciones polinomiales de una manera muy rápida y sencilla.
Calcula una regla de derivación para la suma de dos funciones:
Ejemplo 4
y = f ( x ) + g( x )
• Por definición de derivada, tenemos:
dy
f ( x + ∆x ) + g( x + ∆x ) − f ( x ) − g( x )
= lim
dx
∆x
∆x →0
• Y aplicando las propiedades de los límites podemos simplificar a:
f ( x + ∆x ) − f ( x )
g( x + ∆x ) − g( x )
dy
= lim
+ lim
dx
∆x
∆x
∆x →0
∆x →0
d( f ( x )) d( g( x ))
=
+
dx
dx
• En palabras, la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas.
www.aprendematematicas.org.mx
2/4
Profr. Efraín Soto Apolinar.
Calcula la derivada de la función:
Ejemplo 5
y = 1 + x + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4
• Aplicamos las reglas que acabamos de deducir:
2
3
4
d
2
x
d
3
x
d
4
x
dy
d (1) d ( x )
=
+
+
+
+
dx
dx
dx dx dx
dx
d x0
=
d x2
d x3
d x4
d (x)
+
+2·
+3·
+4·
dx
dx
dx
dx
dx
−1
0
1
2
(0)( x ) + (1)( x ) + (2)(2)( x ) + (3)(3)( x ) + (4)(4)( x3 )
=
= 0 + 1 + 4 x + 9 x2 + 16 x3
= 1 + 4 x + 9 x2 + 16 x3
• Y terminamos.
Para simplificar la tarea de calcular la derivada de una función polinomial observa que basta con
multiplicar el exponente por el coeficiente en cada término y la derivada es el producto que acabas
de calcular por la literal elevada al exponente menos 1.
Créditos
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Albert
Einstein
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
www.aprendematematicas.org.mx
3/4
Profr. Efraín Soto Apolinar.
Última revisión: 01 de agosto de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
efrain@aprendematematicas.org.mx
www.aprendematematicas.org.mx
4/4