Cálculo Integral - Aprende Matemáticas

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Int. indefinida de funciones exponenciales
Ahora vamos a calcular integrales indefinidas de funciones exponenciales de la forma:
y = ev
y = av
y
Para este fin, vamos a estar utilizando las reglas de integración (vi) y (vii).
Calcula la integral indefinida:
Z
e2x dx
Ejemplo 1
• Debemos usar la regla de integración (vii).
• Para eso definimos: v = 2 x.
• Entonces, la diferencial dv = 2 dx
• Pero en el integrando falta un 2 para que esté completa la diferencial y podamos aplicar la
regla.
• Para completarla vamos a aplicar el siguiente truco:
• Dado que la regla (ii) nos permite sacar de la integral una constante, vamos a multiplicar en
el integrando por 2/2, vamos a dejar dentro del integrando al 2 del numerador y vamos a
sacar de la integral al 2 del denominador:
Z
Z
Z
2
1
1
2x
2x
e dx = e
dx =
e2x (2 dx ) = e2x + C
2
2
2
Calcula la integral indefinida:
Z
1 − e− x dx
Ejemplo 2
• Primero aplicamos la regla (i) de integración:
Z
Z
Z
1 − e− x dx = dx − e− x dx
• Ahora aplicamos las reglas (iii) y (vii) para terminar.
• Observa que si en la segunda integral definimos v = − x, entonces, dv = −dx, por lo que
tenemos que completar la diferencial:
Z
dx −
Z
e− x dx = x + e− x + C
Calcula la siguiente integral indefinida:
Z
Ejemplo 3
4
24 x3 e2x dx
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• Tenemos el producto de dos funciones, pero posiblemente una de ellas sea la diferencial del
argumento de la otra.
• Si definimos v = 2 x4 , tenemos que: dv = 8 x3 .
• Entonces, podemos reescribir la integral como:
Z
4
24 x3 e2x dx = 3
Z
e2x
4
Z
8 x3 dx = 3 ev (dv)
• Ahora la integral es inmediata:
3
Z
e2x
4
4
8 x3 dx = 3 e2 x + C
• Observa que ahora la integral estaba completa, multiplicada, además por 3.
Calcula la integral indefinida:
Z
Ejemplo 4
2
x e x dx
• Si hacemos v = x2 , vemos que dv = 2 x dx.
• Entonces, la integral realmente es:
Z
Z
Z
2
2
1
1
x2
e
e x (2 x dx ) =
ev (dv)
x dx =
2
2
2
• Ahora integramos aplicando al regla (vii):
Z
xe
x2
1
dx =
2
Z
2
e x (2 x dx ) =
1 x2
e +C
2
Calcula la integral indefinida:
Z
Ejemplo 5
2x dx
• Aplicamos directamente la regla (vi) de integración:
Z
2x dx =
2x
+C
ln 2
Calcula la integral indefinida:
Ejemplo 6
Z
x
2x e2 dx
• Primero verificamos que la diferencial esté completa.
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• Para eso vamos a utilizar la regla de derivación (xv).
• Si v = 2x , entonces
dv = 2x ln 2 dx
• Observa que la diferencial está incompleta.
• Falta multiplicarla por la constante ln 2.
• Ahora reescribimos la integral de la forma:
Z
e2
x
2x ln 2 dx
ln 2
=
1
ln 2
Z
x
e2 (2x ln 2 dx ) =
1
ln 2
Z
x
ev dv =
ev
e2
+C =
+C
ln 2
ln 2
Calcula la integral indefinida:
Z
e x (e x + 17)19 dx
Ejemplo 7
• No es buena idea desarrollar el binomio a la potencia 19.
• Mejor definimos: v = e x + 17 y vemos que dv = e x dx.
• Esto significa que la diferencial está completa.
• Entonces,
Z
e x (e x + 17)19 dx =
Z
(e x + 17)19 (e x dx ) =
(e x + 17)20
+C
20
Calcula la integral indefinida:
Z
dx
+1
Ejemplo 8
ex
• Empezamos observando que no hay alguna regla de integración inmediata que nos permita
calcular esta integral.
• Así que tendremos que transformarla algebraicamente hasta obtener una integral inmediata.
Esto no siempre
es posible.
• Empezamos factorizando e x en el denominador:
Z
dx
=
x
e +1
Z
dx
=
x
e (1 + e − x )
Z
e− x dx
1 + e− x
• Ahora podemos definir: v = 1 + e− x , y tenemos que dv = −e− x .
• Completamos la diferencial multiplicando por −1 tanto dentro como fuera de la integral:
Z
e− x dx
=−
1 + e− x
Z
−e− x dx
=−
1 + e− x
Z
dv
= − ln 1 + e− x + C
v
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• Todavía podemos simplificar este resultado utilizando las propiedades de los logaritmos:
Z
dx
+1
ex
= − ln 1 + e− x + C
1
= − ln 1 + x + C
e
1 + ex
= − ln
+C
ex
= − ln (1 + e x ) + ln (e x ) + C
= x − ln (1 + e x ) + C
• Y terminamos.
En caso de que la diferencial requiera de multiplicarse por una variable para completarla, será
imposible, dado que en la regla (ii) de integración se supone que a es una constante.
Por ejemplo, en la integral:
Z
2
e x dx
Si definimos v = x2 , tenemos que dv = 2 x dx. Así que la diferencial está incompleta.
Pero en este caso debemos multiplicar por 2 x, que no es constante. Así que no podemos completar
la diferencial.
De hecho, esta integral no se puede calcular con los métodos que hemos visto hasta aquí. Pero sí
hay métodos para calcularla de manera aproximada.
Créditos
Albert
Einstein
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
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Profr. Efraín Soto Apolinar.
Última revisión: 07 de agosto de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
efrain@aprendematematicas.org.mx
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