1.- Sea - Sirenoide

1.- Sea :
→
la aplicación lineal definida por las ecuaciones:
( , , ) = ( + 4 + 7 , + 2 + , −3 − 2 + 9 )
a) Encontrad la matriz A de f en las bases canónicas.
b) Calculad una base de los subespacios núcleo
inyectiva?¿Y exhaustiva?
( ) e imagen
( ). ¿Es f
a) Para encontrar la matriz en las bases canónicas, simplemente sustituimos en la expresión,
cada uno de los vectores de la base canónica. Así tenemos:
(1, 0, 0) = (1 + 0 + 0, 1 + 0 + 0, −3 − 0 + 0) = (1, 1, −3)
(0, 1, 0) = (0 + 4 + 0, 0 + 2 + 0, 0 − 2 + 0) = (4, 2, −2)
(0, 0, 1) = (0 + 0 + 7, 0 + 0 + 1, 0 + 0 + 9) = (7, 1, 9)
Estos tres vectores puestos en vertical son la matriz de f en las bases canónicas:
=
1
4 7
1
2 1
−3 −2 9
b) Calcular una base del nucleo consiste en resolver el sistema homogéneo:
1
4 7
1
2 1 ·
−3 −2 9
0
= 0
0
Si vamos haciendo transformaciones a la matriz A para ir introduciendo ceros bajo la diagonal
principal tenemos que:
1
4 7
1 4
7
1 4
7
1
2 1 ≡ 0 −2 −6 ≡ 0 −2 −6
−3 −2 9
0 10 30
0 0
0
Por lo tanto, de la segunda ecuación obtenemos:
2 + 6 = 0 ⇒ = −3
Y sustituyendo en la primera tenemos que:
+ 4 · (−3 ) + 7 = 0 ⇒ = 5
Por lo tanto, la solución del sistema homogéneo es:
=
5
· −3
1
Y el vector (5, -3, 1) es base de Nuc(f).
Para hallar una base de Im(f) hemos de partir de los tres vectores que tenemos puestos en
vertical. Si hacemos el determinante de la matriz formada por los tres vectores nos dará cero
(ya que el núcleo tiene dimensión 1 y eso implica que la imagen tiene dimensión 2). Por lo
tanto, nos basta con encontrar dos vectores de la imagen linealmente independientes para
tener la base. Pero eso es muy sencillo ya que en seguida somos capaces de encontrar un
menor de orden 2 con determinante distinto de cero, por ejemplo:
1 4
= 2 − 4 = −2 ≠ 0
1 2
Por lo tanto, los vectores (1, 1, -3) y (4, 2, -2) son base de Im(f). Como que el núcleo no tiene
dimensión cero, la aplicación no es inyectiva. Como que la dimensión de Im(f) no es igual a la
del espacio de llegada, la aplicación no es exhaustiva.
2.- Sea :
→
la aplicación lineal definida por g(4, -3) = (-8, 6) y g(4, 2) = (-2, -1).
a) Decid si g diagonaliza.
b) Calculad el determinante de la matriz de g en las bases canónicas.
a) Lo primero que vamos a hacer es calcular la matriz de la aplicación en la base canónica. Para
eso hacemos uso de las propiedades de la linealidad y tenemos que, para el primer vector:
(4, −3) = 4 · (1, 0) − 3 · (0, 1) = (−8, 6)
Igualmente, para el segundo, tenemos que:
(4, 2) = 4 · (1, 0) + 2 · (0, 1) = (−2, −1)
Ahora, si resolvemos este sistema, teniendo en cuenta que nuestras incógnitas son g(1, 0) y
g(0, 1) tenemos que, si hacemos la resta “primera ecuación – segunda ecuación”, nos queda:
−5 · (0, 1) = (−8, 6) − (−2, −1) = (−6, 7) ⇒ (0,1) = 6 −7
,
5 5
Ahora sustituimos en la primera y tenemos:
4 · (1, 0) − 3 ·
6 −7
18 −21
,
= (−8, 6) ⇒ 4 · (1, 0) = (−8, 6) +
,
5 5
5 5
−22 9
−22 9
=
, ⇒ (1, 0) = ,
5 5
20 20
Por lo tanto, la matriz de g en las bases canónicas es:
−22 6
20
5
9
−7
20
5
Si ahora calculamos su polinomio característico nos queda:
−22
−
( ) = 20
9
20
6
−22
−7
5
=
− ·
−
−7
20
5
−
5
154 22
7
54
=
+
+
+ −
=
100 20 5
100
Calculamos las raíces del polinomio equivalente:
−
+
6·9
20 · 5
5
+1
2
2
+5 +2= 0
Usando la fórmula de Cardano-Vieta:
−5 + 3
−2 −1
=
=
−5 ± √5 − 4 · 2 · 2
−5 ± 3
4
4
2
=
=
=
−5 − 3
−8
2·2
4
=
= −2
4
4
Hemos encontrado dos valores propios diferentes, por lo tanto, la matriz diagonaliza.
b) Para calcular el determinante pedido, partimos de la matriz en las bases canónicas:
−22
20
9
20
3.- Sea :
→
6
5 = 22 · 7 − 9 · 6 = 154 − 100 = 1
−7
100
100
100
5
la aplicación lineal definida por:
( , , ) = ( +2 + 3 ,2 +3 +2 ,3 +
a)
b)
c)
d)
+ )
Encontrad la matriz de g en las bases canónicas.
Calculad el polinomio característico de g y los valores propios de g.
Estudiad si g diagonaliza.
Si existe, encontrad una base de
formada por vectores propios de g.
a) En primer lugar, buscamos la imagen de cada uno de los vectores de la base canónica y,
puestos en vertical, configuran la matriz de la aplicación:
(1, 0, 0) = (1, 2, 3)
(0, 1, 0) = (2, 3, 1)
(0, 0, 1) = (3, 2, 1)
Así pues, la matriz pedida es:
1 2 3
2 3 2
3 1 1
b) Calculamos el determinante:
1−
2
3
2
3−
1
3
2
1−
=
(1 − )(3 − )(1 − ) + 3 · 2 · 2 + 3 · 2 · 1 − 3 · 3 · (3 − ) − 2 · 2 · (1 − ) − 1 · 2 · (1 − )
= (1 − 2 + )(3 − ) + 12 + 6 − 27 + 9 − 4 + 4 − 2 + 2
= 3 − 6 + 3 − + 2 − − 15 + 15 = − + 5 + 8 − 12
Los valores propios de g son las raíces del polinomio característico. Resolvemos por Ruffini:
1
1
1
Y ahora resolvemos por Cardano-Vieta:
-5
1
-4
-8
-4
-12
12
-12
0
12
=6
4 ± 4 − 4 · 1 · (−12)
4 ± √16 + 48 4 ± 8
2
=
=
=
=
−4
2
2
2
= −2
2
Así pues los valores propios son:
=1
=6
= −2
c) Como que tenemos tres valores propios distintos, la matriz diagonaliza.
d) Para encontrar los vectores propios, resolvemos cada uno de los tres sistemas homogéneos
que nos genera al sustituir por cada valor propio.
Caso
= .
0
2
3
2 3
1 1 1
1 1
1
≡
≡
2 2
2 2 2
0 0
0
1 0
3 1 0
0 −2 −3
Que al resolverlo nos queda:
3
1
+ + =0
−
+
=
0
⇒
=
−3
⇒ ⇒ 2
2
−2 − 3 = 0
=
2
Ahora damos a z el valor 2 y obtenemos el vector:
⃗
Caso
= (1, −3, 2)
= .
−5 2
3
−5
2
3
−5
2
2 −3 2 ≡ 0 −11 16 ≡ 0 −11
3
1 −5
0
11 −16
0
0
3
16
0
Que al resolverlo nos queda:
32
13
−5 + 2 + 3 = 0
16 ⇒ −5 + 11 + 3 = 0 ⇒ = 11
⇒ −11 + 16 = 0
=
11
Ahora damos a z el valor 11 y obtenemos el vector:
⃗
= (13,16,11)
Caso
=− .
3 2 3
3 2
2 5 2 ≡ 0 11
3 1 3
0 −1
3
3 2 3
3 2
0 ≡ 0 1 0 ≡ 0 1
0
0 −1 0
0 0
3
0
0
Que al resolverlo nos queda:
3 +2 +3 = 0
3 + 0 + 3 = 0 ⇒ = −
⇒ =0
Ahora damos a z el valor 1 y obtenemos el vector:
⃗
= (−1,0,1)
Por lo tanto, nuestra base de vectores propios es:
(1, −3,2) (13,16,11) (−1, 0,1)
= (1, 0) 4.- Consideramos los puntos:
= (2, 0).
a) a) Sea E el escalaje horizontal de razón 2 y vertical de razón 3 desde el (0, 0). Sean
C , C las imágenes de A , A por E. Calculad la longitud del vector C − C .
b) b) Sea G el giro de α radianes en sentido antihorario desde el punto (0,b). Sean B , B
las imágenes de A , A por G. Calculad el vector B − B .
a.- Aplicamos la matriz de escalaje a la matriz con los dos puntos utilizando la notación
matricial eficiente. La matriz de escalaje será:
2 0 0
0 3 0
0 0 1
La matriz de los puntos
,
será:
1 2
0 0
1 1
Por lo tanto, la solución nos queda:
2 0 0
1 2
2 4
0 3 0 · 0 0 = 0 0
0 0 1
1 1
1 1
Los puntos
,
son:
= (2,0)
Y el vector
⃗ =
= (4,0)
− ⃗ es:
− ⃗ = (4,0) − (2,0) = (2,0)
Y su módulo es:
− ⃗ = 2 + 0 = √4 = 2
b.- Para resolver este apartado, como no conocemos ni b ni α, lo dejaremos indicado en
función de ambos parámetros. Lo primero es calcular la matriz de traslación de vector (0, -b),
luego la matriz del giro α y luego la matriz de traslación de vector (0, b). La composición de las
tres será la solución pedida.
1 0
ó (0, − ) = 0 1
0 0
á
cos
= sin
0
0
−
1
− sin
cos
0
1 0
ó (0, ) = 0 1
0 0
0
0
1
0
1
La matriz del giro será la multiplicación de las tres:
1 0 0
cos
· sin
0 1
0 0 1
0
− sin
0
1 0 0
cos
0 · 0 1 −
0
1
0 0 1
cos
− sin
· sin
= sin
cos
− · cos
0
0
1
cos
= sin
0
− sin
cos
0
0
1 0 0
· 0 1 −
1
0 0 1
Ahora sólo nos quedaría aplicar esta matriz a la de los puntos, para obtener sus imágenes:
cos
sin
0
− sin
cos
0
=
· sin
1 2
· 0 0
− · cos
1
1 1
cos + · sin
+ sin − · cos
1
2 · cos + · sin
+ 2 · sin − · cos
1
Así pues los puntos son:
= (cos
+ · sin , + sin
− · cos )
= (2 · cos
+
· sin , + 2 · sin
Y el vector pedido es:
⃗ =
− ⃗
= (2 · cos + · sin , + 2 · sin − · cos )
− (cos + · sin , + sin − · cos ) = (cos , sin )
− · cos )