μ μ μ

ESTADÍSTICA Y SUS APLICACIONES EN CIENCIAS SOCIALES
EXAMEN 15/02/12
SOLUCIÓN
PRIMERA PARTE
Ejercicio 1 (20 puntos)
a)
H 0 ) μ = 100
H 1 ) μ < 100 ( prueba a una cola) discrepancia = (media muestral ‐ media establecida bajo H0)/desviación estándar Estadístico y su distribución:
Z=
x−μ
~ N (0,1)
s
n
b) En este caso el valor de la discrepancia viene dado por:
Z=
92 − 100
= −7.45
15
500
El valor de la normal para Z0.95 (observar que es una prueba a una sola cola) es igual a -1.645.
Como d=-7.45 < -1.645 => rechazo H0) al 95% de confianza.
Podemos concluir con un 95% de confianza que el gasto medio diario por turista es menor en
esta temporada que el registrado en la temporada anterior.
c) Error Tipo I Error Tipo I: Rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. En este caso esto implica concluir que el gasto promedio diario por turista es menor, cuando en realidad no lo es. Ejercicio 2 (20 puntos)
MB = MUY BUENA. B = BUENA. M=MALA MM=MUY MALA D=DERECHA I=IZQUIERDA P(MB)=0.25 P(I/MB)=0.9 1
P(B)=0.15 P(I/B)=0.7 P(M)=0.35 P(I/M)=0.5 P(MM)=0.25 P(I/MM)=0 a) P(D)=P(MB)*P(D/MB)+P(B)*P(D/B)+P(M)*P(D/M)+P(MM)*P(D/MM) = 0.25*0.1 + 0.15*0.3 + 0.35*0.5 + 0.25 * 1 = 0.495 b) P(MB/D)=(P(MB)*P(D/MB))/P(D)=(0.25*0.1) / 0.495 = 0.0505. c) Como sabemos que la P(D)=0.495 y tenemos un total de 200 entrevistados, entonces sabemos que 99 son de derecha y que 101 son de izquierda. A su vez, sabemos que en total 70 personas declararon que la gestión del presidente es mala (M) y que la probabilidad de que una persona que declara que la gestión es mala (M) sea de izquierda (I) es 0.5, por lo que tenemos un total de 70*0.5=35 votantes de izquierda que piensan que la actuación del presidente ha sido mala. Observar que no hay votantes de izquierda que consideren que la gestión ha sido muy mala. Ejercicio 3 (20 PUNTOS)
a) Si definimos Y= “Cantidad de arrebatos en media hora”, entonces tendremos que Y ~ Poisson(λ = 1) .
Función de cuantía:
e − λ .λ k
P (Y = k ) =
k!
e −1 .10
= 0 , 3679 . P (Y = 0 ) =
0!
b) Si definimos X= “Cantidad de arrebatos que ocurren en un día”, entonces tendremos que X ~ Poisson (λ = 48) .
45
P ( X < 46 ) = ∑
x=0
( )
e −48 48 x
p x (x ) = ∑
x!
x=0
45
c) Usaría una distribución exponencial. Mientras la Poisson mide la probabilidad de ocurrencia sobre algún intervalo de tiempo o espacio, la distribución exponencial mide el paso del tiempo entre dichas ocurrencias. Por tanto, en este caso que queremos una probabilidad de que transcurra un cierto período de tiempo entre dos ocurrencias de un proceso de Poisson, lo correcto sería utilizar una exponencial. 2
SEGUNDA PARTE Ejercicio 4 (20 puntos)
a) P(R) U P(B) = P(R) + P(B) = 6/15 + 4/15 = 10/15 = 2/3. b) Espacio muestral: Ω = {(R,R), (R,B), (R,A), (B,R), (B,B,), (B,A), (A,R),(A,B),(A,A)} c.1) Con reposición. P(R,B) = 6/15 * 4/15 = 0.1067. c.2) Sin reposición. P(R,B) = 6/15 * 4/14 = 0.1143. Ejercicio 5 (20 puntos)
a) El intervalo vendrá dado por: n = 100.
pˆ = 55 / 100 = 0.55
S pˆ =
pˆ * (1 − pˆ )
=
n
0.55 * 0.45
= 0.04975
100
Z 1−(α ) = Z 0,975 = (Tabla) = 1,96
2
El intervalo es: [0,55 − 1,96 (0,04975)
[0,4525
; 0,55 + 1,96 (0,04975)] ; 0,6475] b) Tamaño de muestra Recordar que: Z12−(α ) p q
2
n=
( pˆ − p )2 3
Como la proporción muestral es 0.55 y para ser elegido un candidato debe tener más del 0.5 de los votos, entonces podemos tolerar una discrepancia máxima de (0.55‐0.5)=0.05. Reemplazando en la fórmula, obtenemos: n=
Z 02.995 (0.5)(0.5)
(0.05)2
=
(2.575) 2 (0.25)
(0.05)2
=
(2.575) 2 (0.25)
(0.05)2
Necesito entrevistar al menos a 663 personas. 4
= 663