Estructura de la Materia 4 (2c/11) Práctica 9: Modelo Estándar y

Estructura de la Materia 4 (2c/11)
Práctica 9: Modelo Estándar y mecanismo de Higgs
1. Considere el lagrangiano de QCD
1
LQCD = Ψ(x)(i∂/I − M )Ψ(x) + gΨ(x)γ µ Ta Ψ(x)Gaµ − Gaµν Gµν
a
4
a
donde T a ≡ λ2 y Gaµν ≡ ∂µ Gaν − ∂ν Gaµ − g fabc Gbµ Gcν , que es invariante ante transformaciones del grupo SU(3) local de color

 Ψ(x) → ei gαa (x)T a Ψ(x)
 Ga → Ga − ∂µ αa (x) − g fabc αb (x)Gc
µ
µ
µ
a) Distribuya la derivada covariante e identifique el término de interacción entre quarks
y gluones.
b) Expanda el término de gluones − 14 Gaµν Gµν
a en el lagrangiano e indentifique los
términos del lagrangiano que corresponden a los acoplamientos de tres y cuatro gluones
y dibuje los cuatro diagramas que, a orden más bajo, αs2 , contribuyen al proceso de
scattering gluón-gluón, gg → gg.
2. A partir de la sustitución de los campos vectoriales Wµ0 y Bµ por los campos Aµ y Zµ
1
Aµ = q
g22 + g12 YL2
1
Zµ = q
g22 + g12 YL2
g2 Bµ − g1 YL Wµ0
g2 Wµ0 + g1 YL Bµ
en los términos de interacción asociados a la simetrı́a U(1) de hipercarga y SU(2) de
isospı́n débil:
g1
[YL (ν L γ µ νL + eL γ µ eL ) + YR (eR γ µ eR )] Bµ
2
i
√
√
g2 h
SU (2)
ν L γ µ νL Wµ0 − 2 ν L γ µ eL Wµ+ − 2 eL γ µ νL Wµ− − eL γ µ eL Wµ0
Lint =
2
a) Muestre que el acoplamiento entre los electrones y el campo Aµ es el usual de QED
U (1)
Lint =
qe {eL γ µ eL + eR γ µ eR } Aµ
provisto que g1 y g2 estén relacionadas con la carga eléctrica qe según
qe = g1 cos θW
1
con
g2
cos θW = q
g22 + g12
b) Muestre que el Z 0 se acopla a las componentes right y left de la corriente de
electrones con distintas constantes
qe
cos θW sin θW
1
− sin2 θW eL γ µ eL − sin2 θW eR γ µ eR
2
Zµ0
y que el término de acoplamiento con los neutrinos es de la forma
qe
2 cos θW sin θW
{ν L γ µ νL } Zµ0
c) Interprete en términos de vértices de interacción, y de sus correspondientes diagramas de Feynman, los términos de acoplamiento entre las componentes left de los
electrones, los neutrinos, y los bosones W + y W − . Analice la conservación de la carga
eléctrica y de la helicidad en cada vértice y deduzca a partir de ello la carga eléctrica
y spin de los bosones.
3. Considere un campo escalar real no masivo φ(x) en presencia de un potencial V
V =
1 2 2 1 4
µ φ + λφ
2
4
con µ2 < 0 y λ > 0, tal que su lagrangiano resulta
1 2 2 1 4
1
µ φ + λφ
L = ∂µ φ ∂ µ φ −
2
2
4
a) Muestre que desarrollando el campo φ(x) alrededor de cualquiera de los mı́nimos v
del potencial según
φ(x) = v + η(x)
q
2
, el lagrangiano se reduce al de un campo masivo η de masa m2η =
donde v ≡ ± −µ
λ
2 λ v 2 = −2 µ2 .
b) Discuta el origen de la masa del campo η y la pérdida de simetrı́a ante reflexiones
(φ(x) = φ(−x)) del campo original.
4. Repita el ejercicio anterior pero para un campo escalar complejo φ, tal que su lagrangiano
1
LU (1) = (Dµ φ)∗ (Dµ φ) − µ2 φ∗ φ − λ(φ∗ φ)2 − Fµν F µν
4
(Dµ = ∂µ − igAµ ) es invariante ante transformaciones locales del grupo U(1)


φ(x) → ei χ(x) φ(x)
 Aµ → Aµ − 1 ∂µ χ(x)
g
2
pero desarrollando el campo φ(x) según
1
φ(x) = √ (v + h(x))
2
donde h(x) es real. Muestre que en el lagrangiano resultante tanto Aµ como h cuentan
ahora con términos de masa.
5. Muestre que en el caso de un doblete de campos escalares complejos, Φ(x), invariante
ante transformaciones locales de SU(2) (ejercicio 4 de la práctica 7) los tres bosones
de gauge W adquieren masa.
6. Muestre que el mecanismo de Higgs aplicado al modelo de Weinberg-Salam predice
masas para los bosones W ± y Z relacionadas entre si tal que
ρ≡
2
MW
=1
MZ2 cos2 θW
7. Verifique que introduciendo un término de interacción entre electrones, neutrinos y el
doblete de campos escalares complejos Φ(x) según





 
νe  
φ+
−ge (ν e , e)L  0  eR + eR φ− , φ0 


e
φ
L
el mecanismo de Higgs genera un término masa para los electrones y otro de interacción
entre los electrones y el campo escalar h
ge v
ge
L = − √ (eL eR + eR eL ) − √ (eL eR + eR eL ) h
2
2
me
ee h
= −me ee −
v
3