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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
DECANATO DE ESTUDIOS PROFESIONALES
COORDINACIÓN DE FÍSICA
ACERCA DE LA TEORÍA DE PERTURBACIÓN QUIRAL
SU(2) PARA EL DECAIMIENTO K → ππ
Por:
Br. Alejandro Celis
PROYECTO DE GRADO
Presentado ante la Ilustre Universidad Simón Bolı́var
como requisito parcial para optar al tı́tulo de
Licenciado en Fı́sica
Sartenejas, Septiembre de 2009
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
DECANATO DE ESTUDIOS PROFESIONALES
COORDINACIÓN DE FÍSICA
ACERCA DE LA TEORÍA DE PERTURBACIÓN QUIRAL
SU(2) PARA EL DECAIMIENTO K → ππ
Por:
Br. Alejandro Celis
Realizado con la asesorı́a de:
tutor : Dr. Johan Bijnens
co-tutor : Dr. Abilio de Freitas
PROYECTO DE GRADO
Presentado ante la Ilustre Universidad Simón Bolı́var
como requisito parcial para optar al tı́tulo de
Licenciado en Fı́sica
Sartenejas, Septiembre de 2009
Resumen
Se estudia el decaimiento no-leptónico k → ππ en el lı́mite de conservación de CP. Para
esto se emplea la teorı́a de perturbación quiral SU (2)L × SU (2)R (SU(2) ChPT) a orden de
un lazo. En este caso los piones externos son duros, complicando el ordenamiento de la teorı́a.
Sin embargo se dan argumentos acerca de la posibilidad de calcular los logaritmos quirales,
es decir las correciones de orden O(M 2 log(M 2 )), para el decaimiento k → ππ. Finalmente
se realiza una comparación con los resultados de SU(3) ChPT.
AGRADECIMIENTOS
En primer lugar agradezco a mi tutor Johan Bijnens, ya que aprendı́ muchas cosas trabajando bajo su supervisión. También doy las gracias a mi co-tutor en la Universidad Simón
Bolı́var, Abilio de Freitas, por su colaboración en todo lo relacionado a mi defensa de tesis
y a Fernando Febres Cordero por sus correciones a la versión en español de la tesis. Agradezco a Eliel por todos los momentos compartidos a lo largo de estos últimos años. Por
último quiero agradecer a todo el departamento de fı́sica de la Universidad Simón Bolı́var y
al departamento de fı́sica teórica de la Universidad de Lund por la hospitalidad brindada,
incluyendo compañeros y profesores. En especial agradezco a Torbjörn Sjöstrand por algunas
correcciones a la versión preliminar de la tesis y tanto a Ilaria Jemos como a Lisa Carloni
por las discusiones que mantuvimos acerca de este trabajo.
ÍNDICE GENERAL
LISTA DE TABLAS
LISTA DE FIGURAS
Introducción
El decaimiento no-leptónico de hadrones es un problema que todavı́a no cuenta con un
tratamiento satisfactorio. La regla de ∆I = 1/2 y el valor de 0 / [21], son algunos de los
problemas más importantes en esta área. El propósito de esta tesis es calcular los logaritmos
quirales, es decir las corrreciones de orden O(M 2 log(M 2 )), del decaimiento no-leptónico del
kaon k → ππ en el marco de la teorı́a de perturbación quiral. La teorı́a de perturbación quiral
(ChPT), introducida aproximadamente 30 años atrás [1], es una teorı́a efectiva de campos a
bajas energı́as de la Cromodinámica Cuántica (QCD), la teorı́a de la interacción fuerte. La
esencia de una teorı́a efectiva es considerar los grados de libertad relevantes en el problema
que se tiene a la mano. En nuestro caso los grados de libertad relevantes ya no son los quarks
y los gluones sino los hadrones. La primera aplicación de ChPT a un lazo para decaimentos
no-leptónicos fue hecha por Kambor, Missimer y Wyler [2, 3].
Actualmente, las simulaciones de QCD en la red usan valores de mπ ∼ (300 − 800) MeV.
Esto significa que los resultados obtenidos deben ser extrapolados a las masas fı́sicas [4]. La
teorı́a de perturbación quiral se usa para realizar esta extrapolación. Recientemente Flynn
y Sachrajda estudiaron el decaimiento semileptónico del kaon K`3 , k → π`ν` , en el marco
de SU(2) ChPT con este propósito [5]. La motivación de este trabajo es que el estudio del
decaimiento no-leptónico del kaon en dos piones puede ser útil para realizar la mencionada
extrapolación quiral.
En este trabajo se emplea SU(2) ChPT con el kaon incluı́do como un meson pesado. Esta
teorı́a presenta un problema de ordenamiento para procesos en los que la partı́cula pesada,
el kaon, es aniquilada. En este caso los piones externos son duros, es decir 2pK pπ = MK2 ,
y no se puede establecer un ordenamiento de la teorı́a. Flynn y Sachrajda proveen algunos
argumentos para lidiar con este problema en el caso del decaimiento K`3 [5], a pesar de que
no hay un esquema de ordenamiento establecido. En este trabajo se extiende este análisis a
el decaimiento no-leptónico del kaon K → ππ.
CAPÍTULO 1
QCD y Simetrı́a Quiral
A bajas energı́as, un tratamiento perturbativo de QCD no es posible porque la constante
de acoplamiento de la teorı́a αs 1. En este régimen los quarks forman estados ligados (hadrones), por lo que para estudiar procesos como K → ππ se necesita un tratamiento diferente.
La construcción de una teorı́a efectiva de bajas energı́as de QCD, basada en las simetrı́as
del Lagrangiano de QCD LQCD , es una forma de lidiar con el régimen de bajas energı́as de
QCD [1]. Ası́ que empezamos estudiando las simetrı́as de LQCD y sus implicaciones.
1.1.
Simetrı́a Quiral
El Lagrangiano de QCD a dos sabores esta dado por
LQCD = −
1
tr(Gµν Gµν ) + Lud ,
2g 2
donde
¯
Lud = (ū d)
!
D − mu
D − md
(1.1)
u
d
!
.
(1.2)
Gµν denota la fuerza del campo asociada con el campo gluónico Gµ , “tr” significa traza
sobre los colores y D = iγ µ (∂µ − iGµ ). Podemos reescribir este Lagrangiano en términos de
los campos izquierdo y derecho
1
qL = (1 − γ 5 )q,
2
Lud = (ūL d¯L )
!
D
D
uL
dL
!
− (ūL d¯L )
1
qR = (1 + γ 5 )q,
2
!
mu
md
uR
dR
(1.3)
!
+ (L ↔ R) .
(1.4)
3
En el lı́mite quiral donde mu = md = 0, LQCD es invariante ante las transformaciones
U (1)V × U (1)A × SU (2)L × SU (2)R . La acción de (gL , gR ) ∈ SU (2)L × SU (2)R en los campos
de quarks está definida como
qL → gL qL
qR → gR qR .
,
(1.5)
La acción de U (1)V y U (1)A esta dada respectivamente por
q → eiθ q
iγ 5 θ
q→e
(1.6)
q,
(1.7)
donde θ es un parametro real y γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 .
1.2.
Teorema de Noether y Anomalı́as
Las simetrı́as del Lagrangiano dan origen a cantidades conservadas de acuerdo al teorema de Noether. Hay una corriente conservada por cada parámetro continuo en el grupo de
simetrı́a [6]. U (1)V × U (1)A × SU (2)L × SU (2)R tiene 8 parámetros continuos, ası́ que esperamos 8 corrientes conservadas. Sin embargo , en la teorı́a cuántica la corriente asociada con
U (1)A no es conservada debido a una anomalı́a [7, 8]. Cuando una simetrı́a clásica no es una
simetrı́a en la teorı́a cuántica, decimos que hay una anomalı́a. U (1)V se conserva en la teorı́a
cuántica y da origen a la conservación del número de baryones.
1.3.
Teorema de Goldstone
Supongamos que se tiene un sistema descrito por un Hamiltoniano H invariante ante el
grupo de transformaciones G, de modo que
[Qi , H] = 0
; i = 1, . . . , nG .
(3.8)
Asumamos que el estado base no es invariante ante G, de modo que existen algunos generadores Xi
Xi |0i =
6 0.
(3.9)
Esto se conoce como rompimiento espontáneo de la simetrı́a. Podemos separar los genera-
4
dores de G en
{Q1 , . . . QnG } = {H1 , . . . , HnH , X1 , . . . , XnG −nH },
(3.10)
y
[Qi , H] = 0 ,
Hi |0i = 0.
(3.11)
Ya que [Xi , H] = 0, se tiene que la teorı́a contiene nG − nH excitaciones sin masa Xi |0i,
es decir, Xi |0i son autoestados de H con el mismo autovalor que el vacı́o. los generadores
Hi forman una subalgebra [Hi , Hk ]|0i = 0; i = 1, . . . , nH y los Xi son generadores del grupo
cociente G/H.
Otra consecuencia del rompimiento espontáneo de la simetrı́a es que si consideramos las
corrientes conservadas Jµi asociadas con los generadores Qi , entonces
h0|Jiµ |π a (p)i = iFia pµ .
(3.12)
Donde la matriz Fia tiene rango NGB = nG − nH
Podemos ilustrar el teorema de Goldstone si analizamos un modelo simple. Supongamos
1
que φ representa un campo complejo escalar φ = √ (φ1 + iφ2 ) .
2
1
1
1
λ
L = (∂µ φ1 )2 + (∂µ φ2 )2 − µ2 (φ21 + φ22 ) − (φ21 + φ22 )2 .
2
2
2
4
Este Lagrangiano es invariante ante transformaciones globales U (1)
φ → eiχ φ.
(3.13)
(3.14)
Para µ2 < 0 y λ > 0 el potencial es el bien conocido potencial de sombrero Mexicano. El
mı́nimo de este potencial es un cı́rculo definido por
φ21 + φ22 =
−µ2
= v2.
λ
(3.15)
Para estudiar el espectro de bajas energı́as tenemos que elegir un vacı́o, por ejemplo φ1 =
v, φ2 = 0 y expandir el campo φ alrededor de este punto.
φ=
(v + η(x) + iρ(x))
√
.
2
(3.16)
5
η and ρ son campos reales escalares. El Lagrangiano se puede reescribir como
1
λ
λ
1
1
L = (∂µ ρ)2 + (∂µ η)2 + µ2 η 2 − λv(ηρ2 + η 3 ) − η 2 ρ2 − η 4 − ρ4 + const.
2
2
2
4
4
(3.17)
Entonces, tenemos una partı́cula sin masa asociada con el campo ρ. El rompimiento espontáneo de la simetrı́a U (1) causa la existencia de esta partı́cula, de acuerdo con las predicciones del teorema de Goldstone.
Otra consecuencia del teorema de Goldstone es que los bosones de Goldstone no interactuan
a momento cero [9].
1.4.
Rompimiento de la Simetrı́a Quiral
Se ha discutido que el Lagrangiano de QCD, despreciando el término de masa, es invariante
ante G. Pero esta simetrı́a no se observa en el espectro de partı́culas ya que no hay dobletes
ante transformaciones de paridad en la naturaleza.
Hay varias razones para creer que el grupo de simetrı́a quiral G esta roto espontáneamente
en el subgrupo de Isoespı́n: SU (2)L × SU (2)R → SU (2)V . Por otro lado, se ha probado que
H = SU (2)V no se rompe espontaneamente [10]. Una condición suficiente para el rompimiento espontáneo de la simetrı́a en la teorı́a es que el condensado de quarks no sea nulo
h0|q q̄|0i =
6 0 [11]. Resultados de lattice QCD ası́ como de datos provenientes del decaimiento
K`4 , K → ππ`ν` , confirman que el condensado de quark no se anula [12].
El teorema de Goldstone entonces implica la existencia de 3 bosones de Goldstone. sin embargo, en la naturaleza no hay mesones sin masa(los más livianos son los tres piones π ± , π 0 ).
Esto es una consecuencia del hecho de que la simetrı́a quiral es solo una aproximación.
La simetrı́a quiral G es explicitamente rota por el término de masa
¯ d d.
Lm = −ūmu u − dm
(4.18)
Como la masa de los quarks es pequeña en comparación a la escala en que la simetrı́a quiral
se rompe Λχ ∼ 1 GeV, se puede tratar el término de masa como una pequeña perturbación.
La masa de los quarks se incluye a través de campos externos [13, 14].
CAPÍTULO 2
Teorı́as Efectivas de Campo
2.1.
El Modelo Sigma Lineal
El modelo sigma lineal nos provee de un caso simple para estudiar las consecuencias del
teorema de Goldstone en el cual los cálculos pueden llevarse a cabo explı́citamente. Vamos a
estudiar las simetrı́as del Lagrangiano del modelo sigma Lσ , el rompimiento espontáneo de la
teorı́a, la aparición de los bosones de Goldstone y la dispersión de estos en la teorı́a cuántica.
Luego vamos a construir el modelo sigma no-lineal, una teorı́a efectiva de campo del modelo
lineal a bajas energı́as.
El Lagrangiano del modelo sigma está dado por
1
Llσ = tr(∂µ Σ∂ µ Σ† ) − λ[tr(ΣΣ† − v 2 )],
2
σ + π3
√

2
donde Σ = 
 π 1 − iπ 2
√
2

(1.1)

π 1 + iπ 2
√
 †
2

3 , Σ = Σ
σ−π
√
2
Llσ posee la simetrı́a SU (2) × SU (2)
Σ → gR ΣgL† .
(1.2)
Usando la escogencia canónica para el vacı́o
Σ=
v 0
0 v
!
,
(1.3)
Nos damos cuenta que el vacı́o es invariante sólo ante transformaciones con gR† = gL . La
simetrı́a original SU (2) × SU (2) se rompe espontáneamente en SU(2).
7
Miremos el espectro de partı́culas de la teorı́a a bajas energı́as, poniendo
σ = v + σ̄
1
Llσ = ∂µ σ̄∂ µ σ̄ +∂µ π i ∂ µ π i −4λv 2 σ̄ 2 −4λvσ̄π i π i −λπ i π i π j π j −λσ̄ 4 −4λvσ̄ 3 −2λσ̄ 2 π i π i . (1.4)
2
De modo que tenemos 3 piones sin masa y una partı́cula σ masiva
m2σ = 8λv 2 .
(1.5)
Este resultado era esperado a partir del teorema de Goldstone ya que el grupo SU (2)×SU (2)
de 6 parámatros esta roto espontaneamente al grupo de 3 parámetros SU(2).
Podemos verificar que la interacción de los bosones de Goldstone se anula a cero momenta
si estudiamos la dispersión de piones π 1 (p1 ) π 1 (p2 ) → π 2 (p3 ) π 2 (p4 ) al orden dominante.
= −8iλ
σ̄
=
i3
+ 16v 2 λ2 4
2
s − mσ
Figura 2.1. Diagramas que contribuyen a π 1 (p1 ) π 1 (p2 ) → π 2 (p3 ) π 2 (p4 )
Definimos s = (p1 + p2 )2 . La contribución de orden dominante para el proceso a s m2σ
esta dada por
A = i8λ −1 −
8v 2 λ s
s2
≈
i8λ(
+
+ ···) ,
s − m2σ
m2σ m4σ
(1.6)
Ası́ que la amplitud se anula para s = 0. Podemos estudiar este proceso a bajas energı́as
s m2σ de una manera diferente. Podemos construir un Lagrangiano efectivo con sólo piones,
la partı́cula sigma es integrada de los diagramas mostrados en la Figura
El formalismo general para construir el Lagrangiano efectivo en el caso de simetrı́as espontaneamente rotas se conoce con el nombre del formalismo CCWZ, debido a Callan, Colleman,
Wess y Zumino, este formalismo será discutido con más detalle en la Sección
Sea U una matriz en G/H = SU (2)×SU (2)/SU (2) ' SU (2) tal que ante transformaciones
8
quirales
U → gR U gL† .
(1.7)
Tenemos que construir el Lagrangiano más general posible que sea invariante ante transformaciones quirales y de Lorentz. No hay términos invariantes sin derivadas y con dos derivadas
solo hay uno
F2
tr(∂µ U ∂ µ U † ) ,
(1.8)
L=
4
F es la constante de decaimiento del pion en el lı́mite quiral y U puede reescribirse en términos
de los generadores de SU(2), las matrices de Pauli τ i , como [6]
i
i i
U = e F (π τ ) .
(1.9)
Expandiendo el Lagrangiano se obtiene
2
1
(4π 1 π 2 ∂µ π 1 ∂ µ π 2 − 2(π 1 )2 ∂µ π 2 ∂ µ π 2 − 2(π 2 )2 ∂µ π 1 ∂ µ π 1 ).
L = ∂µ π i ∂ µ π i +
2
24F 2
(1.10)
De modo que la amplitud para el proceso π 1 (p1 )π 1 (p2 ) → π 2 (p3 )π 2 (p4 ) es
A=
i
1
(s − (p21 + p22 + p23 + p24 )).
F
3
(1.11)
Este resultado concuerda para p21 = p22 = p23 = p24 = 0 con el obtenido en el modelo sigma
a primer orden en s si se identifica F con v 2 .
2.2.
Teorı́a de Perturbación Quiral SU(2) para Kaones
Necesitamos construir un Lagrangiano efectivo para modelar la dinámica de los piones y
kaones a bajas energı́as. Usaremos el formalismo de SU(2) ChPT con los kaones incluı́dos
como mesones pesados [18].
Consideremos de nuevo la situación de la Sección
Podemos probar que todos los elementos de un cogrupo gH = {gh ; g ∈ G , h ∈ H} dan
origen a la misma configuración del campo de bosones de Goldstone cuando actúa en el vacı́o.
9
Si g 0 se encuentra en el mismo cogrupo que g, entonces existe un h, tal que g = g 0 h. Se tiene
g(0) = (g 0 h)(0) = g 0 (h(0)) = g 0 (0) .
(2.12)
Esto implica que M1 ⊂ G/H, es decir, que a cada configuración del campo de bosones de
Goldstone podemos asociar por lo menos un cogrupo gH. Podemos probar lo contrario, sea
g 6= g 0 h para h ∈ H y e la identidad de G. Supongamos que g(0) = g 0 (0) y consideremos
e(0) = 0 = (g −1 g)(0) = g −1 (g(0)) = g −1 (g 0 (0)) = (g −1 g 0 )(0).
(2.13)
Lo cual implica que g ∈ g 0 H en contradicción con nuestra hipótesis original. Esto lleva a la
conclusión de que M1 es isomorfo a G/H.
Ahora queremos ver como la configuración del campo de bosones de Goldstone, parametrizada por Φ(x), se transforma ante la acción de G. Sea Ξ ∈ gH un elemento representativo
del cogrupo tal que Φ(x) = Ξ(x)Φ0 , donde Φ0 representa la configuración de vacı́o. Entonces
g(Φ(x)) = g(Ξ(x)Φ0 ) = (gΞ(x))Φ0 = (Ξ0 (x))Φ0 = Φ0 (x),
(2.14)
De modo que la acción de G en G/H esta dada por, Ξ(x) → gΞ(x).
Ahora estamos listos para aplicar estas ideas al caso de QCD. Consideremos G = SU (2)L ×
SU (2)R y H = SU (2)V . En este caso el espacio de configuraciones de bosones de Goldstone
es isomorfo a G/H = SU (2)L × SU (2)R /SU (2)V ' SU (2). Como se explicó anteriormente,
la misma configuración Φ(x) se obtiene con elementos del mismo cogrupo,
Ξ(x)Φ0 = Ξ0 (x)Φ0 , if Ξ = Ξ0 h.
(2.15)
La prescripción del formalismo CCWZ consiste en elegir un conjunto de generadores rotos
X, y definir
a
Ξ(x) = eiX ·πa (x) .
(2.16)
En nuestro caso, tenemos que G tiene 6 generadores 12 σLa y 21 σLa que actuan en los campos
izquierdo y derecho respectivamente. Los generadores de H son σ a = 12 σLa + 12 σRa . La representación fundamental de σ a son las bien conocidas matrices de Pauli, nos referiremos
a estas matrices en lo siguiente. Ante la transformación G, Ξ(x) ∈ gH transforma como
Ξ(x) → gΞ(x), de modo que no está en la forma estándar (
Podemos escribir g Ξ(x) = Ξ0 (x)h para algún h ∈ H con Ξ0 (x) en la forma estandar. h es
conocido como un campo compensatorio. De modo que definimos la transformación de Ξ(x)
10
ante G como
Ξ(x) → gΞ(x)h−1 (g, Ξ(x)) .
(2.17)
Donde la transformación h es necesaria para regresar a nuestra forma estandar dada en (
En términos de las siguientes representaciones de g y h1
g=
h=
!
gL 0
0 gR
h 0
0 h
,
!
,
(2.18)
donde gI ∈ SU (2)I ; I = L, R y h ∈ SU (2). La transformación de Ξ(x) de acuerdo a (
2.2.1.
El Lagrangiano Fuerte
El Lagrangiano fuerte fue trabajado por Roessl hasta cuarto orden quiral [18] 2 . Usaremos
el Lagrangiano hasta el segundo orden quiral. Para construir todos los términos posibles que
respetan las simetrı́as de QCD: simetrı́a quiral , paridad (P), conjugación de carga (C) y
hermiticidad, es útil construir un conjunto de elementos básicos que transforman de cierta
manera ante transformaciones quirales,
A → hAh† ,
(2.19)
donde h es el campo compensador introducido antes.
Hasta ahora sólo hemos trabajado con transformaciones quirales globales, pero es posible considerar transformaciones locales. En la formulación de Gasser y Leutwyler [13, 14] el
Lagrangiano quiral de QCD se extiende incluyendo campos externos hermı́ticos vµ , aµ , s, p .
L = LQCD + q̄γ µ (vµ + aµ γ 5 )q − q̄(s − ipγ 5 )q.
(2.20)
La dervivada covariante necesaria para mantener la invariancia local es
∇µ A = ∂µ A + [Γµ , A],
∇µ K = ∂µ K + Γµ K.
1
(2.21)
Usamos la misma notación para la 4 × 4 representación de h y para una matriz SU(2).
Ouellete añadió algunos términos que Roessl aparentemente no consideró empezando al tercer orden
quiral. [19]
2
11
operador
P
C
h.c.
uµ
−ε(µ)uµ
uTµ
uµ
χ±
±χ±
χT±
±χ±
Tabla 2.1. Propiedades de P , C y hermiticidad de los términos necesarios para construir el
Lagrangiano Fuerte. ε(0) = −ε(µ 6= 0) = 1
Donde
1
Γµ = {u† (∂µ − irµ )u + u(∂µ − ilµ )u† },
2
rµ = vµ + aµ ,
lµ = vµ − aµ .
(2.22)
El término de masa
! se introduce vı́a el campo externo s, que en el lı́mite de isoespı́n es igual
1 0
a s = m̂
.
0 1
La notación usada para los elementos básicos de construcción es la usada por Bijnens,
Colangelo y Ecker [20] y sus propiedades de transformación estan listadas en la Tabla
uµ = i{u† (∂µ − irµ )u − u(∂µ − ilµ )u† }
χ± = u† χu† ± uχ† u
donde
χ = 2B(s + ip),
√ + 0
π
2π
φ= √ −
,
2π
−π 0
1
2 1
3
u = eiφ/2F ≈ 1 + iφ/2F + iφ/2F +
iφ/2F + · · · .
2
3!
(2.23)
De acuerdo con Roessl [18] el Lagrangiano efectivo en SU(2) ChPT que contribuye a la
dispersión de piones y kaones hasta segundo orden quiral está dado por
(1)
2
L = L(2)
ππ + LπK + LπK ,
F2
L(2)
=
(huµ uµ i + hχ+ i),
ππ
4
(1)
LπK = ∇µ K † ∇µ K − M̄K2 K † K,
(2)
LπK = A1 huµ uµ iK † K + A2 huµ uν i∇µ K † ∇ν K + A3 K † χ+ K + A4 hχ+ iK † K.
(2.24)
12
El orden quiral asociado con cada clase de términos corresponde al orden quiral de la
contribución dominante y es indicada con un ı́ndice superior (i). hi corresponde a la traza y
M̄K2 corresponde a la masa del kaón en el lı́mite quiral y M 2 = 2B m̂ es la masa del pión al
orden más bajo.
CAPÍTULO 3
Construcción del Lagrangiano Efectivo Débil
Tenemos que construir el Lagrangiano efectivo que describe el decaimiento débil del kaon
K → ππ . Este decaimiento es una transición que cambia el número de extrañeza |∆S| = 1,
la cual ocurre vı́a el intercambio de un bosón W . El bosón W es integrado de la teorı́a del
mismo modo que los quarks pesados. Como en el caso del Lagrangiano fuerte, tenemos que
construir el Lagrangiano efectivo más general con las mismas simetrı́as del Lagrangiano débil
en términos de los campos de mesones.
Los decaimientos no-leptónicos son difı́ciles de analizar teóricamente. Hay importantes
problemas abiertos como la regla de ∆I = 1/2 y la predicción de 0 /, relacionado con la
violación de CP. En el marco del formalismo de la expansión a distancias cortas, el Hamiltoniano efectivo para decaimientos no-leptónicos de ∆S = −1 se expresa como una expansión
en operadores locales, los mas importantes son [21]:
s̄γµ (1 − γ 5 )u ūγ µ (1 − γ 5 )d
,
s̄γµ (1 − γ 5 )d ūγ µ (1 − γ 5 )u.
(0.1)
Este producto contiene dos corrientes, una con isoespı́n I = 1 y la otra con I = 1/2. Acoplando el Isoespı́n de las dos corrientes se obtiene una de I = 1/2 y otra de I = 3/2
1 1 1
1 1 3
⊗ ⊗ = ⊕ ⊕ .
(0.2)
2 2 2
2 2 2
De modo que el Lagrangiano efectivo no-leptónico debe transformar ante rotaciones quirales izquierdas y derechas como (2L , 1R ) y (4L , 1R ), es decir, necesitamos una parte con
isoespı́n 1/2 y otra con isoespı́n 3/2.
Tenemos que construir un Lagrangiano efectivo con estas simetrı́as teniendo en cuenta
u → hugL† ,
K → hK,
(0.3)
y usando los elementos básicos de construcción introducidos en la Sección (
3.1.
Términos de Isoespı́n 1/2
Para obtener los términos de Isoespı́n 1/2 necesitamos añadir un campo espurio tj1/2 . Se
llama espurio, ya que no contiene ningún campo fı́sico y se incluye sólo para obtener términos
14
invariantes
quiralmente.
Ante transformaciones quirales el campo espurio debe transfromar
0
0
como tj1/2 → tj1/2 (gL† )j j , donde gL es una matriz de SU(2). Valores explı́citos para tj1/2 son
t = (0 1).
La razón para considerar ı́ndices superiores e inferiores es que ū y d¯ están en la representación conjugada de SU(2), mientras que u y d están en a representación fundamental de
SU(2). La representacion fundamental de SU(2) es un doblete


u
d

,
(1.4)
que transforma ante SU(2) como
 

 
u
u0
cos θ − sin θ
 .

=
d
sin θ cos θ
d0
(1.5)
¯ podemos ver que la transformación
Tomando el conjugado de esta expresión u → ū, d → d,
de la representación conjugada ante SU(2) es.

ū
0
d¯ 0

cos θ sin θ
.
= ū d¯ 
− sin θ cos θ
(1.6)
Esto implica que tenemos que distinguir entre la transformación de los campos de quarks q
en la representación fundamental de la de los campos en la representación conjugada:
qi 0 = qj (gL )i j ,
q̄
0 i
= q̄ j (gL† )j i .
(1.7)
La transformación de nuestros elementos básicos está dada por
ui 0 j = (h)i s usk (gL† )k j ,
Ki 0 = (h)i j Kj ,
(uµ )i 0 j = (h)i m (uµ )ms (h† )sj ,
(1.8)
(χ± )0i j = (h)i m (χ± )ms (h† )sj .
Los términos de Isoespı́n 1/2 hasta segundo orden en derivadas o primer orden en χ son
t1/2 u† K
t1/2 u† uµ uµ K
huµ uµ it1/2 u† K
t1/2 u† uµ ∇µ K
t1/2 u† χ+ K
15
t1/2 u† χ− K
hχ+ it1/2 u† K
hχ− it1/2 u† K
Puede probarse que algunos de estos términos son proporcionales a otros usando el teorema
de Cayley-Hamilton para matrices cuadradas 2 × 2
{A, B} = AhBi + BhAi + hABi1 − hAihBi1.
(1.9)
Por ejemplo hχ+ it1/2 u† K = 2t1/2 u† χ+ K y t1/2 u† uµ ∇µ K = 2huµ uµ it1/2 u† K porque hχ+ i =
2χ+ y huµ uµ i = 2uµ uµ . Los términos hχ− it1/2 u† K se anulan porque χ− es una matriz sin
traza. Como ejemplo, provemos que hχ+ i = 2χ+ . En el lı́mite de Isoespı́n χ es diagonal, de
2
modo que χ+ = 2B m̂(u† + u2 ). Usando (
El Lagrangiano ∆I = 1/2 es entonces
L1/2 =iE1 t1/2 u† K + E2 t1/2 u† uµ ∇µ K + iE3 huµ uµ it1/2 u† K + iE4 t1/2 u† χ+ K
+iE5 hχ+ it1/2 u† K + E6 tu† χ− K + E7 hχ− it1/2 u† K + . . . + h.c.
(1.10)
Los factores de i son escogidos de tal forma que una constante de bajas energı́as Ej real
corresponda a terminos que conserven CP.
3.2.
Términos de Isoespı́n 3/2
Acoplando u, ū y d para formar un término de Isoespı́n I = 3/2 con Iz = 1/2, encontramos
1
¯
√ (dūu + uūd − ddd),
2
(2.11)
12
21
De modo que escojemos los siguientes valores para el campo espurio tij
z , t1 = t2 =
22
−t2 = 1. Para mantener la invariancia ante transformaciones quirales, el campo espurio
0 0
0
0
debe transformar de acuerdo a tkij → tki0 j (gL† )i i (gL† )j j (gL )kk0 .
Los términos de Isoespı́n 3/2 hasta segundo orden en derivadas o primer orden en χ son
τi jk (uµ uµ )ik Kj
τi jk (uµ )j i (uµ )lk Kl
τi jk ∇µ (uµ )ki Kj
τi jk (χ+ )ki Kj
τi jk (χ− )ki Kj
16
Aqui τijk = tβγα (u† )γj (u† )αk (u)i β . Un término como τi jk (uµ uµ )ik Kj nunca contribuye ya que
τi jk (χ+ )ki Kj también se anula en el lı́mite de Isoespı́n.
El Lagrangiano ∆I = 3/2 hasta segundo orden en derivadas o primer orden en χ es entonces
L3/2 =iD1 τi jk (uµ )j i (uµ )lk Kl + D2 τi jk ∇µ (uµ )ki Kj
+ D3 τi jk (χ− )ki Kj + . . . + h.c.
3.3.
(2.12)
Acerca del Ordenamiento del Lagrangiano Débil
Consideremos el momento pπ de un pion externo. Se tiene que 2 pK ·pπ = MK2 , de modo que
M2
la energı́a del pion en el marco de referencia de reposo del kaon Eπ ≈ 2K no es pequeña para
MK2 M 2 . Esto implica que no podemos despreciar operadores con un número arbitrario
de derivadas en los campos de los piones externos, complicando entonces el ordenamiento
de la teorı́a. Flynn y Sachrajda encontraron una manera de solventar este problema en el
estudio del decaimiento Kl3 basados en el hecho de que los logaritmos quirales son causados
por propagadores internos suaves, es decir, el momento de los piones internos es de orden
O(M ). Ellos argumentan que es posible calcular los logaritmos quirales, por medio de una
redefinición de las constantes de bajas energı́as [5]. Aquı́ presentamos una extensión de dicho
análisis para el decaimiento noleptónico del kaon K → ππ.
Consideremos el caso de L1/2 dado en (
Un término con χ no va a contribuir a orden 1 o M 2 log(M 2 ) ya que contiene el factor
2B m̂ = M 2 . De modo que tenemos que examinar los términos con derivadas ∇µ o uµ , las
cuales siempre deben aparecer en pares para mantener la invariancia ante transformaciones
de Lorentz. Estas derivadas pueden actuar sobre un pion suave o una partı́cula dura (el kaon
o un pion externo). En el caso donde todas las derivadas son del tipo R∇µ , si una derivada
actúa sobre un pion suave, la parte suave de la integral es de la forma dd p pµ /(p2 − M 2 ),
que no contribuye a M 2 log(M 2 ). Lo mismo ocurre para uµ , de modo que solo necesitamos
considerar el caso en que las derivadas actúan sobre partı́culas duras. Si ambas derivadas
actúan sobre la misma partı́cula dura, producen la masa de la partı́cula, la cual no contiene
logaritmos quirales.
Si en cambio las derivadas actúan sobre los dos piones externos, podemos realizar una
integración parcial de modo que una derivada actúe sobre un pion externo y la otra sobre el
kaon. Sin embargo como K(pK ) → π(p1 )π(p2 ) es invariante ante el intercambio de los piones,
se tiene que el momento del pion proveniente de la derivada en el pion externo debe venir
en la forma p1 + p2 = pK , resultando en la masa del kaon cuando se contrae con la otra
derivada. Hemos mostrado que todos los términos con extra derivadas ∇µ no contribuyen a
los logaritmos quirales.
También tenemos que considerar el caso de derivadas uµ actuando en piones duros. Podemos probar que términos como t1/2 u† uµ ∇µ K y huµ uµ it1/2 u† K son proporcionales al operador
de más bajo orden t1/2 u† K haciendo uso de la identidad (
Usando el hecho de que los elementos de matriz de una derivada total son nulos debido a
17
la conservación del momento , tenemos que, poniendo K̃ = uµ K y K̃ = ∇µ K,
1
t1/2 u† uµ uµ K + t1/2 u† ∇µ uµ K + t1/2 u† uµ ∇µ K,
2
1
0 =
t1/2 u† uµ ∇µ K + t1/2 u† ∇µ ∇µ K.
2
0 =
(3.13)
Esto muestra que t1/2 u† uµ ∇µ K y huµ uµ it1/2 u† K son proporcionales al operador de más bajo
orden t1/2 u† K más términos de O(M 2 ). Términos con mas derivadas, como huµ uν it1/2 u† ∇µ ∇ν K,
pueden ser también removidos vı́a una integración parcial. Realizando una integración parcial
de la derivada ∇µ producimos un término como h∇µ uµ uν it1/2 u† ∇ν K, que es de orden M 2 , o
un término huµ ∇µ uν it1/2 u† ∇ν K. Usando la identidad ∇µ uν = ∇ν uµ , válida cuando los campos externos son cero [20], podemos mostrar que este término es proporcional al operador de
más bajo orden más términos de O(M 2 ). Hemos mostrado asi que los elemento de matriz de
operadores de orden superior son proporcionales a al operador más términos de orden M 2 .
La misma clase de argumentos se pueden aplicar a los operadores de la parte de Isoespı́n 3/2
del Lagrangiano.
Se espera que este análisis también funcione para otros procesos que involucren partı́culas
de momento duro, como decaimientos de los mesones B y D.
CAPÍTULO 4
Amplitudes a un Lazo
En esta sección presentamos los resultados obtenidos para la amplitud de los decaimientos
K → ππ en el lı́mite de conservación de CP y de Isoespı́n a un lazo en SU(2) ChPT. Los
decaimientos que conservan CP son
KS → π 0 π 0
KS → π + π −
K + → π0π+
√
0
0
0
≡ (K 0 − (+)K 0 )/ 2, y CP K1(2)
. Debido a
= +(−)K1(2)
Donde KS ' K10 + ε K20 , K1(2)
que la violación de CP es pequeña ponemos ε = 0. Podemos descomponer las amplitudes
para estos decaimientos en términos de las amplitudes invariantes ante Isoespı́n A0 , A2 :
r
2
2
A0 − √ A2 ,
3
3
r
2
2
A0 + √ A2 ,
A[KS → π + π − ] =
3
3
√
3
A[K + → π 0 π + ] =
A2 .
2
A[KS → π 0 π 0 ] =
4.1.
(0.1)
Contribución Dominante
Los diagramas que contribuyen al orden dominante se muestran en la figura(
Figura 4.1. Diagramas que contribuyen al decaimiento K → ππ a orden dominante. Una
caja negra indica un vértice del Lagrangiano débil y un cı́rculo negro representa un vértice
del Lagrangiano fuerte
19
La contribución dominante (LO) a la amplitud del decaimiento, despreciando términos
proporcionales a M 2 , está dada por
√
ALO
0
ALO
2
3
1
(− E1 + E2 M̄K2 − 4E3 M̄K2 + A1 E1 ),
2
2F
2
√
3
= i√
(D2 − 2D1 )M̄K2 .
2
2F
= i
(1.2)
Las constantes de baja energı́as Ei se definen en
4.2.
Contribución a un Lazo
En esta sección presentamos la contribución a un lazo al decaimiento K → ππ. Solo hay
lazos de piones presentes, el caso de los lazos cerrados de kaones se discute en Roessl [18].
Los lazos de kaones se toman en cuenta por medio de una redefinición de las constantes de
bajas energı́as.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Figura 4.2. Diagramas que contribuyen a K → ππ a un lazo. Una caja negra indica un vértice
del Lagrangiano débil y un cı́rculo negro representa un vértice del Lagrangiano fuerte
Diagrama
A0
Z
− 2F3 ALO
0
√
3i − 13 E1 + 23 E2 M̄K2
√
5
7
3i − 96
E1 − 48
E2 M̄K2 −
√ 3
3i 16 A1 E1
√
3i 18 E1 + 13 A1 E1
(a)
(b)
(e)
(f)
A2
2
2
25
E M̄ 2
12 3 K
− 2F3 ALO
2
q
3
i − 23 D2 M̄K2
2
q
3
i − 61
D + 77
D M̄K2
2
12 1
24 2
Tabla 4.1. Coeficientes de Ā(M 2 )/F 4 en las contribuciones a las amplitudes de Isoespı́n A0
y A2 . Z denota la renormalización de la función de onda
La contribución de cada diagrama en la Figura
Los diagramas (c) y (d) no tienen contribución de orden M 2 log(M 2 ). Z denota la contribución de la renormalización de la función de onda de los piones. No hay contribución a
orden O(M 2 log(M 2 )) proveniente de la renormalización de la función de onda de los kaones.
20
La amplitud total a un lazo (NLO) esta dada por:
√
LO
AN
0
LO
AN
2
3i
3
3
2
2
2
=
+
E2 − E3
M̄ M log(M )
16π 2 F 4 K
16
4
√
3i
3
3
+
M 2 log(M 2 ) − E1 + E1 A1 + c1 M 2 + O(M 4 ),
2
4
16π F
32
16
√
3i
15
15
2
2
2
LO
M M̄K log(M )
D2 − D1 + c2 M 2 + O(M 4 ).
= A2 + √
2
4
8
4
16 2π F
ALO
0
(2.3)
Donde c1 and c2 son constantes desconocidas. Los argumentos de la Sección
CAPÍTULO 5
Comparación con SU(3) ChPT
Los logaritmos quirales han sido calculados en SU(3) ChPT [2, 3, 22] . Podemos comparar nuestros resultados conviertiendo los resultados de SU(3) a SU(2). Para este propósito
comparamos las amplitudes obtenidas en SU(2) y SU(3) ChPT en el lı́mte quiral M 2 → 0.
Trabajamos con la expresión SU(3) para las amplitudes de Isoespı́n A0 y A2 dadas en [22].
El resultado a orden dominante en SU(3) en el lı́mite M 2 → 0 está dado por
ALO
0
ALO
2
Comparando (
√
i 6CF04
1
= −
G8 + G27 M̄K2 ,
2
9
F̄K F
√
4
i10 3CF0
= −
G27 M̄K2 .
9F̄K F 2
(0.1)
CAPÍTULO 6
Conclusiones
Este trabajo extiende el tratamiento del decaimiento semileptónico del kaon Kl3 realizado
por Flynn y Sachrajda [5] al caso del decaimineto no-leptónico K → ππ. A pesar de las
complicaciones en el ordenamiento de la teorı́a introducidas por la presencia de piones duros,
se dan argumentos acerca de la posibiliadad de calcular los logaritmos quirales. Los logaritmos
quirales fueron calculados en SU(2) ChPT y luego comparados con el resultado de SU(3)
ChPT. El resultado principal de la tesis se encuentra en (
APÉNDICE A
Integrales de lazo
En este Apéndice recolectamos algunas fórmulas para las integrales de un lazo. El método
usado para reducir las integrales es el de Passarino y Veltman [23]. En el resto usamos
d = 4 − 2.
Z
1
1
dd q
=
,
d
2
i
(2π) q − m21
Z
dd q
1
1
2
2 2
,
B(m1 , m2 , p ) =
2
d
2
i
(2π) (q − m1 )((q − p)2 − m22 )
Z
1
dd q
qµ
2
2 2
Bµ (m1 , m2 , p ) =
2
d
2
i
(2π) (q − m1 )((q − p)2 − m22 )
= pµ B1 (m21 , m22 , p2 ) ,
Z
1
dd q
qµ qν
2
2 2
Bµν (m1 , m2 , p ) =
2
d
2
i
(2π) (q − m1 )((q − p)2 − m22 )
= pµ pν B21 (m21 , m22 , p2 ) + gµν B22 (m21 , m22 , p2 ) ,
Z
dd q
1
q µ qν q α
2
2 2
Bµνα (m1 , m2 , p ) =
2
i
(2π)d (q 2 − m1 )((q − p)2 − m22 )
= pµ pν pα B31 (m21 , m22 , p2 ) + (pµ gνα + pν gµα + pα gµν )B32 (m21 , m22 , p2 ) .
A(m21 )
(0.1)
Una expansión en lleva a la siguiente serie
m21
λ0 + A(m21 ) + A (m21 ) + . . . ,
2
16π
1
Bij (m21 , m22 , p2 ) =
poloij + B ij (m21 , m22 , p2 ) + B ij (m21 , m22 , p2 ) + . . . ,
2
16π
A(m21 ) =
(0.2)
con A, B ij siendo cantidades finitas y donde ”poloij ”denota la parte singular de cada función
Bij ,
polo = λ0 ,
polo31 =
λ0
,
4
λ0
λ0
λ0
p2
, polo21 =
, polo22 = (m21 + m22 − ) ,
2
3
4
3
λ0
polo32 = (2m1 + 4m22 − p2 ) ,
24
polo1 =
con
λ0 =
Las funciones definidas en (
1
+ ln(4π) + 1 − γ .
(0.3)
(0.4)
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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25
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