U NIVERSIDAD N ACIONAL DE Q UILMES I NGENIERIA EN AUTOMATIZACI ÓN Y C ONTROL I NDUSTRIAL Procesos y Máquinas Industriales II CLASE VII C ONDUCCI ÓN EN ESTADO TRANSITORIO Sólido con cambio repentino en su medio térmico Suposición: grad de temperat. en el sólido despreciable. Por Ley de Fourier, cond. de calor sin grad. de T: k → ∞ (imposible) Es aceptable si Rcond <<< Rconv Balance de energı́a total: −Ės = Ėa −h As (T − T∞ ) = ρV c Cambio de variables: θ = T − T∞ → dθ dt = dT dt dT dt Se obtiene ρ V c dθ = −θ h As dt Separando variables e integrando, con las cond. iniciales: t = 0 → T (0) = Ti Z θ ρV c dθ − h As θi θ ρV c θ ln − h As θi Z = t dt 0 = t Entonces 2 O C UATRIMESTRE 2015 Prof. Mariana A. Suarez 1-8 Procesos y Máquinas Industriales II 2o Cuatrimestre 2015 Clase VII θ θi T − T∞ Ti − T∞ = = e −h As ρV c t Observemos que: t → ∞ =⇒ T − T∞ → 0 √ Constante de tiempo térmica τt : 1 ρ V c = Rt Ct h As τt = donde Rt : resistencia a la transf. por conv. Ct : capacitancia térmica concentrada Transferencia total de calor hasta un tiempo t Z t Z Q = q dt = h As 0 t θ dt 0 Reemplazando e integrando Q = ρ V c θi [1 − e −Q = ∆ Ea − τt t ] Q > 0, disminución de energia interna, apagamiento. Q < 0, aumento de energı́a interna, calentamiento. Prof. Mariana A. Suarez 2-8 Procesos y Máquinas Industriales II Clase VII 2o Cuatrimestre 2015 VALID ÉZ DEL M ÉTODO Pared plana, cond. estado estac. Bce. de energı́a superficial kA (Ts1 − Ts2 ) = h A(Ts2 − T∞ ) L La igualdad anterior puede escribirse Ts1 − Ts2 L / kA Rcond hL = = = = Bi Ts2 − T∞ 1 / hA Rconv k Bi: número de Biot. Conclusión: La hipótesis de temp. uniforme en el sólido es válida si Bi <<< 1, es decir: resist. a la cond. en el sól. <<< resist. a la conv. en la capa lı́m. fluı́do Para analizar cond. en estado transitorio, calcular Bi como Bi = h Lc k Lc : longitud caracterı́stica P ared plana, espesor 2L : Lc = L V Cilindro, radio r0 : Lc = r20 Lc = As Esf era, radio r0 : Lc = r30 También puede escribirse: h As t ht h Lc k t h Lc t = = = α 2 = Bi . F o 2 ρV c ρ c Lc k ρ c Lc k Lc donde F o = αt L2c es el número de Fourier. Entonces, la ecuación adimensional de la temperatura puede escribirse: θ T − T∞ = = e(−Bi F o) θi Ti − T∞ Prof. Mariana A. Suarez 3-8 Procesos y Máquinas Industriales II Clase VII 2o Cuatrimestre 2015 Análisis del método de la capacitancia concentrada: Principio de conservación de la energı́a instantánea q”s Ash + Ėg − (q”conv + q”rad ) As(c,r) = ρ V c dT dt 4 )] As(c,r) = ρ V c q”s Ash + Ėg − [h (T − T∞ ) + σ (T 4 − Tamb dT dt EDO de primer orden No lineal No homogénea Sin solución exacta C ASOS SIMPLIFICADOS 1. Convección despreciable frente a radiación q”s = 0 Ėg = 0 dT 4 ρV c = − σ (T 4 − Tamb ) As(c,r) dt Separando variables e integrando, se llega a Tamb + T ρV c − ln t = ln 3 Tamb − T 4 Asr σ Tamb Prof. Mariana A. Suarez Tamb + Ti T Ti −1 + 2 tan−1 − tan Tamb − Ti Tamb Tamb 4-8 Procesos y Máquinas Industriales II 2o Cuatrimestre 2015 Clase VII Pero si Tamb = 0, ρV c t = 3 Asr σ 1 1 − 3 T3 Ti 2. Despreciando la radiación, h 6= f (t) Introduciendo θ = T − T∞ , queda: dθ dT = dt dt Entonces dθ + aθ − b = 0 dt h Asc ρV c donde a = yb = q”s Ash + Ėg . ρV c EDO de primer orden Lineal No homogénea La ec. anterior puede resolverse: con la sol. de la homogénea y una solución particular. con un cambio de variables: θ0 = θ − Como dθ0 dt = dθ dt , b a se obtiene: dθ0 + a θ0 = 0 ⇒ dt Entonces Z θ0 θi0 dθ0 = a θ0 Z t −dt 0 θ0 = e−at θi0 Sustituyendo T − T∞ − b/a Ti − T∞ − b/a = e−at T − T∞ Ti − T∞ = e−at + b/a (1 − e−at ) Ti − T∞ Si b = 0, q”s = 0, Ėg = 0 se obtiene la ec. Si t → ∞, T − T∞ = Prof. Mariana A. Suarez b a 5-8 Procesos y Máquinas Industriales II Clase VII 2o Cuatrimestre 2015 E FECTOS ESPACIALES Si el grad. de T no es despreciable → otro método. En la ec. de calor en su forma gral., Suposiciones: transf. unidimensional Ėg = 0 k = cte. ∂2T 1 ∂T = ∂x2 α ∂t Cond inicial T (x, 0) = Ti Cond. contorno ∂T ∂x x=0 ∂T −k ∂x x=L = 0 = h [T (L, t) − T∞ ] Se ve que la temp. de la pared depende de varios parámetros fı́sicos: T = T (x, t, Ti , T∞ , L, k, α, h) A DIMENSIONALIZACI ÓN Agrupar var. relevantes definiendo parámetros adimensionales. Temperatura θ = T − T∞ θi = Ti − T∞ θ∗ = θ 0 ≤ θ∗ ≤ 1 θi Coordenada espacial x∗ = x L Tiempo t∗ = αt = Fo L2 La ecuación de calor queda: ∂ 2 θ∗ ∂θ∗ = ∂x∗2 ∂F o Condición inicial θ∗ (x∗ , 0) = 1 Prof. Mariana A. Suarez 6-8 Procesos y Máquinas Industriales II 2o Cuatrimestre 2015 Clase VII Condiciones de contorno ∂θ∗ ∂x∗ x∗ =0 ∂θ∗ ∂x∗ x∗ =1 = 0 = −Bi θ∗ (1, t∗ ) Entonces adimensionalmente, θ∗ = f (x∗ , Bi, F o) PARED PLANA CON CONVECCI ÓN 1. Solución exacta: Sea la pared plana de espesor 2 L Suposiciones conducción unidimensional en x. Distrib. inicial de temp. uniforme T (x, 0) = Ti Además, distrib. simétrica respecto del plano medio (x∗ = 0). Solución exacta: θ∗ = ∞ X 2 Cn e(−ξn F o) cos(ξn x∗ ) (1) n=1 donde Cn = 4 senξn , 2ξn + sen2ξn Fo = αt L2 Los autovalores de ξn son las raı́ces positivas de la ecuación trascendente: ξn tanξn = Bi 2. Solución aproximada: Se puede dem. que para F o > 0,2, la ecuación (1) puede aproximarse con el primer término de la serie. Entonces se obtienen 2 θ∗ = C1 e(−ξ1 F o) cos(ξ1 x∗ ) θ∗ = θ0∗ cos(ξ1 x∗ ) 2 −T∞ Con θ0∗ = TT0i −T = C1 e(−ξ1 F o) en x∗ = 0 ∞ Prof. Mariana A. Suarez 7-8 Procesos y Máquinas Industriales II √ 2o Cuatrimestre 2015 Clase VII C1 y ξ1 están tabulados para un rango determinado de Bi 3. Transferencia total de energı́a: Dato: energı́a total hasta un instante t. Aplicando conservación de energı́a para un ∆ t, Ee − Es = ∆ Ea Q = Q = −[E(t) − E(0)] Z − ρ c[T (x, t) − Ti ] dV Se integra sobre el volumen de pared. Adimensionalizando, Q0 = ρ V c (Ti − T∞ ) Q0 : energı́a interna inicial de la pared relativa a la temp. del fluı́do. Sup. propiedades constantes, Q = Q0 Z −[T (x, t) − Ti ] dV 1 = Ti − T∞ Vp Vp Z (1 − θ∗ ) dx∗ siendo Vp = A.L, y dV = A.L.dx∗ Usando la sol. aproximada para pared plana, se integra la ec. anterior. Q sen ξ1 ∗ = 1− θ0 Q0 ξ1 4. Consideraciones adicionales: Se aplica lo anterior a pared plana de espesor L aislada en x∗ = 0 con convección en x∗ = 1 También para respuesta transitoria, pared plana, cambio repentino en temp. superf. Ts h → ∞ ⇒ Bi → ∞ Existe representación gráfica de la sol. aproximada para F o > 0,2, cond.unidimensional, est. transitorio. Prof. Mariana A. Suarez 8-8