Métodos Numéricos Curso 2008 En un cable coaxial formado por un conductor interno de radio Obligatorio 1 rin 1 y conductor externo de radio rext 2 (estando estos valores en unas unidades de longitud adecuadas), por ciertas causas ocurre que el potencial eléctrico en los conductores interno y externo se comporta de las siguientes formas: (I) Vin V0 cos 4 (II) Vext V0 cos 4 Donde en unidades acordes, se considera Vin V0 cos 4 Vext V0 cos 4 V0 1 . Si el potencial eléctrico ( u ) en la región comprendida entre ambos conductores ( ) satisface la ecuación de Laplace ( u 0 [1] en ), determinar para ambos casos (I y II) la distribución del mismo en el dominio del problema mediante los dos métodos que se detallan a continuación. rin rext Ω 1) La idea de esta parte es aplicar el método de las diferencias finitas [2] en coordenadas polares para resolver el problema. a) Determine la forma de la ecuación de Laplace en coordenadas polares [3]. b) Considerando una discretización [4] apropiada de la derivada escriba una expresión aproximada del Laplaciano en un punto de coordenadas x, . c) Explique como modelar este problema mediante un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas sean los valores del potencial eléctrico en puntos pertenecientes al dominio. d) Justifique a partir de las características de la matriz del sistema obtenido en la parte anterior que método numérico resultaría conveniente aplicar para su resolución. e) Determine la distribución de u en por lo menos 200 puntos distribuidos de forma uniforme en todo el dominio del problema. 2) Ahora resolveremos el mismo problema pero con otra técnica, que se clasifica como un método de colocación [5]. Para esto utilizaremos el hecho de que cualquier solución a la ecuación diferencial que modela el problema se puede escribir como una combinación lineal de las siguientes funciones: n n 1, r sin , r cos ,..., r sin n , r cos n ,... 1 1 n n ln(r ), r sin , r cos ,..., r sin n , r cos n ,... a) Verifique que las funciones anteriores realmente satisfacen la ecuación diferencial, y escriba la solución al problema como una serie truncada de N términos dejándola planteada en función de parámetros incógnita que multipliquen a las funciones anteriores. b) Considere una partición de 32 puntos interiores y 32 puntos exteriores equi-espaciados para la frontera del problema. c) Plantee las condiciones que deben cumplir los términos de la serie para que se satisfagan las condiciones de frontera en los puntos seleccionados de la frontera. [1] http://pt.wikipedia.org/wiki/Laplaciano [2] http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_difference_method [3] http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares [4] http://en.wikipedia.org/wiki/Discretization [5] http://en.wikipedia.org/wiki/Collocation_method d) Escriba estas condiciones en la forma de un sistema de ecuaciones. e) Resuelva el sistema anterior, determinando de esta forma una estimación para la solución del problema. Justifique la elección del método seleccionado para resolver el mismo. Para el caso (I) pruebe que la solución obtenida es exacta. f) A partir de la solución obtenida en e), evalúe la distribución del potencial eléctrico en por lo menos 200 puntos distribuidos de forma uniforme en el dominio del problema. 3) Comente los resultados obtenidos comparando ambos métodos y analizando las ventajas y desventajas de cada uno.