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FVV: Derivadas parcilaes
Pauta de clases
Prof. Claudio del Pino O.
1.
Derivadas parciales
1.1.
Definición de derivadas parciales
Sea z = f (x, y) una función de dos variables.
UTALCA
1. La derivada parcial de f con respecto a x, es la función fx , definida por:
f (x + h, y) − f (x, y)
h−→0
h
fx (x, y) = lı́m
siempre y cuando el lı́mite exista.
2. La derivada parcial de f con respecto a y, es la función fy , definida por:
fy (x, y) = lı́m
h−→0
f (x, y + h) − f (x, y)
h
siempre y cuando el lı́mite exista.
1.2.
Actividades iniciales
2
a) Si z = ex
+y 2
, calcular y simplificar la expresión: xzx + yzy
1.3.
IMAFI
b) Si z = x3 + y 3 , calcular y simplificar la expresión: xzx + yzy
Costo marginal
El costo marginal se define como la variación en el costo total, ante el aumento de una unidad en la cantidad
producida, es decir, es el costo de producir una unidad adicional.
Si la función de costo1 conjunto de producir las cantidades x e y de 2 bienes viene dado por C = C(x, y)
Entonces las funciones de costo marginal son
∂C
∂x
es el costo marginal con respecto a x
∂C
∂y
es el costo marginal con respecto a y
1.3.1.
Una actividad
Si la función de costo conjunto, en $M, de producir las cantidades x e y de 2 bienes viene dado por
C = C(x, y) = 20 + 2x2 + 3xy + 6y 2
1. Calcular los costos marginales, con respecto a ambas variables, en el punto (4, 6)
2. Interpretar los resultados anteriores
1 En
general, ¿los costos marginales son positivos o negativos?
Instituto de Matemática y Fı́sica
(1)
Universidad de Talca
FVV: Derivadas parcilaes
Pauta de clases
Prof. Claudio del Pino O.
1.4.
Productos competitivos o complementarios
Sean A y B dos artı́culos relacionados tales que el precio de uno afecta la demanda del otro. Denotemos
con pA y pB los precios unitarios de los dos artı́culos. Entonces, sus demandas xA y xB se supone que son
funciones de ambos precios pA y pB , esto es,
UTALCA
xA = f (pA , pB )
y
xB = g(pA , pB )
entonces:
∂xA
B
A y B se dicen competitivos entre sı́ cuando ∂x
∂pA > 0 y
∂pB > 0 esto es, si un incremento en el precio
de uno de ellos da como resultado un incremento en la demanda del otro.
∂xA
B
A y B se dicen complementarios entre sı́ cuando ∂x
∂pA < 0 y
∂pB < 0 esto es, si un incremento en
el precio de un artı́culo da como resultado una disminución en la demanda del otro (suponiendo que su
precio permanece sin cambio).
1.4.1.
Una actividad
Si las funciones de demanda para 2 productos relacionados A y B son qA = e−(pA +pB ) y
qB = p216p2
A B
donde qA y qB son los números de unidades demandadas de A y B, cuando los precios unitarios (en miles de
pesos) son pA y pB , respectivamente.
1. ¿Estos productos son competitivos, complementarios o ninguno de ellos?
2. Si los precios unitarios de A y B son $1000 y $2000, respectivamente, determinar el cambio en la demanda
de A cuando el precio de B disminuye $20 y el precio de A se mantiene constante.
IMAFI
1.5.
Actividades
1. Cambio en el nivel de producción
La función de producción de una empresa está dada por P (L, K) = 450L3/5 K 2/5 en donde P representa
la producción cuando se emplean L unidades de mano de obra y K unidades de capital.
a) Determinar la producción de la empresa si L = 243 y K = 32
b) Determinar el efecto de incrementar la mano de obra a 244 unidades y manteniendo constante el
capital
c) Usando derivadas parciales, encontrar un valor aproximado de lo pedido en (c)
2. Costos marginales
Si la función de costo conjunto, en M$, de producir las cantidades x e y de 2 bienes viene dado por
C = C(x, y) = 20 + 2x2 + 3xy + 6y 2
a) Calcular los costos marginales, con respecto a ambas variables, en el punto (4, 6)
b) Interpretar los resultados anteriores
3. Conceptos marginales
Se lanza un nuevo producto al mercado. El volumen de ventas x se incrementa como una función del
tiempo t y depende también de la cantidad A gastada en la campaña publicitaria. Si, con t medido en
meses y A en dólares,
x = 200(5 − e−0,002A )(1 − e−t )
∂x
a) Calcular ∂x
∂t y ∂A
b) Evaluar las derivadas parciales recién encontradas en t = 1 y A = 400
c) Interpretar las derivadas parciales calculadas en (b).
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(2)
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