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2.1.3. Elementos del Triángulo
CAP. 2.1
El Triángulo
Los elementos del triángulo son cada uno de los segmentos, puntos y ángulos que lo determinan. En relación al DABC de la figura consideramos los siguientes elementos:
Lados: AB, BC y AC
Ángulos internos: RBAC, RABC y RBCA
La figura más recurrente en las aplicaciones de
la geometría es el triángulo, tal vez, porque se
trata de una figura de fácil descripción, sea por
el número de sus lados o el de sus ángulos.
La tecnología GPS (Global Positioning System
o Sistema de Posicionamiento Global) es un
Sistema Global de Navegación por Satélite
(GNSS) que permite determinar, en todo el
mundo, la posición de una persona, un vehículo o una nave, con una precisión hasta de
centímetros mediante las señales emitidas por
tres satélites formando un triángulo.
2.1.1. Definición
Si A, B y C son tres puntos cualquiera no alineados, entonces se
llama triángulo ABC, denotado por DABC, a la reunión de los
segmentos AB, BC y AC.
En términos conjuntistas podemos definir al triángulo por medio
de la siguiente expresión:
Vértices: A, B y C
Ángulos externos: RCAM, RABN y RBCP
Perímetro del DABC: 2p(DABC) = AB + BC + AC
2.1.4. Clasificación de Triángulos
CRITERIO
SEGÚN
LA
CONGRUENCIA
DE SUS
LADOS
DABC = AB ∪ BC ∪ AC
2.1.2. Interior y Exterior de un Triángulo
2.1.2A. Interior de un triángulo
El interior de un triángulo es la región convexa determinada por la intersección de las regiones interiores de
los tres ángulos del triángulo.
La región triangular ABC se define como el conjunto de
puntos del plano que comprende los puntos del triángulo y su correspondiente interior.
2.1.2B. Exterior de un triángulo
El exterior de un triángulo es el conjunto de todos los
puntos del plano del triángulo que no pertenece al
triángulo ni a su interior.
64
Geometría
SEGÚN
LA
MEDIDA
DE SUS
ÁNGULOS
DEFINICIÓN
EJEMPLIFICACIÓN
Triángulo Escaleno
Es aquel en el que ningún par de lados son congruentes. En el DABC mostrado:
AB ≠ BC ≠ AC
Triángulo Isósceles
Es aquel que tiene al menos dos lados congruentes.
En el DABC mostrado:
AB = AC ≠ BC
Triángulo Equilátero
Es aquel que tiene sus tres lados congruentes.
En el DABC mostrado:
AB = AC = BC
Triángulo Acutángulo
Es aquel que tiene sus tres ángulos agudos.
En el DABC mostrado: a, b, g < 90º
Triángulo Rectángulo
Es aquel que tiene un ángulo recto.
En el DABC mostrado: b = 90º
AB y BC son los catetos, y AC es la hipotenusa.
Triángulo Obtusángulo
Es aquel que tiene un ángulo obtuso. En el DABC
mostrado: 90º < b < 180º
Und. 2 - Estudio del Triángulo
65
2.1.6. Teoremas Fundamentales en el Triángulo
2.1.5. Congruencia de Triángulos
Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres
lados y sus tres ángulos respectivamente congruentes.
Teorema.- Un teorema es una proposición afirmativa que puede ser demostrada como verdadera dentro de un proceso lógico llamado demostración.
TEOREMA
Sean DABC y DDEF dos triángulos congruentes,
denotado por: DABC @ DDEF, cuya figura es (a).
Suma de Ángulos Interiores
Ejemplo.- En la figura (b) los triángulos ABC y
PQR son congruentes, en los que se cumple que
AB @ PQ, BC @ QR y RB @ RQ, luego necesariamente se cumple que AC = PR y RA @ RP y
RC @ RR.
«La suma de las medidas
de los ángulos interiores
de un triángulo es igual a
180º».
Una correspondencia como esta se denomina Postulado LAL (siglas de Lado - Ángulo - Lado),
que estudiaremos en el capítulo 2.3. Visualizando las siguientes figuras, con acuciosidad, comprobamos que:
ELEMENTOS
RELACIÓN BIYECTIVA
CONGRUENCIA
Vértices (puntos)
A↔D, B↔E, C↔F
A@D, B@E, C@F
Lados (segmentos)
AB ↔ DE , BC ↔ EF , AC ↔ DF
AB @ DE , BC @ EF , AC @ DF
Ángulos
RABC ↔ RDEF
RBCA ↔ REFD
RACB ↔ RDFE
RABC @ RDEF
RBCA @ REFD
RACB @ RDFE
En el cuadro mostrado, los elementos relacionados por la biyección se denominan elementos
homólogos. Al tratarse de una congruencia de ángulos y segmentos, se establece que estos
elementos, por tener la misma forma y tamaño, poseen igual medida. Luego:
Si: RABC @ RDEF → mRABC = mRDEF
Si:
AB @ DE →
AB = DE
Observación.- Al hacer una inspección de las relaciones biyectivas comprobamos que en dos
triángulos congruentes: «A ángulos congruentes se les opone lados congruentes».
Ejemplo.- Identifiquemos los elementos homólogos
entre los triángulos congruentes mostrados.
Empezaremos reconociendo que ambos triángulos
son rectángulos. Asimismo, si completamos los ángulos en ambas figuras, relacionándolas con los lados, será fácil identificar los ángulos homólogos así
como sus correspondientes lados homólogos:
RA @ RE = 37º ∧ RC @ RD = 90º ∧ RB @ RF = 53º
Además:
66
Geometría
AB @ EF ∧ AC @ DE
∧ BC @ DF
Suma de Ángulos Exteriores
«La suma de las medidas de los ángulos
externos, considerando uno por vértice, es
igual a 360º».
Ángulo Exterior (TAE)
«La medida de un
ángulo externo es
igual a la suma de
las medidas de los
ángulos internos no
adyacentes».
*) TAE: Teorema del ángulo exterior.
Triángulo Isósceles (TTI)
«En todo triángulo isósceles se verifica que a lados
congruentes se oponen
ángulos congruentes».
Si: AB @ AC
→ RABC @ RACB
DEMOSTRACIÓN
 
Trazamos la recta BD P AC y aplicando la propiedad de los ángulos
entre paralelas, identificamos los
ángulos alternos internos. En «B»
se verifica:
a + b + q = 180º l.q.q.d
Trazamos
, y aplicando
la propiedad de los ángulos entre paralelas, identificamos los
ángulos conjugados alrededor
del vértice «B». Luego, sumando
los ángulos alrededor de «B» se
tiene:
x + y + z = 360º l.q.q.d
 
Trazamos CD P BA y se define una partición del ángulo exterior «q».
Aplicando la propiedad de ángulos
entre paralelas, identificamos los
ángulos alternos internos (a) y los
ángulos conjugados (b). Luego, en
«C» se verifica que:
a + b = q l.q.q.d
Prolongamos AB y AC hasta «D» y
«E» respectivamente de modo que
BD = CE = b, luego por el postulado LAL: DDAC @ DEAB, donde:
DC @ BE y RD @ RE.
Análogamente DBDC @ DBEC
→ RDBC @ RECB
\ b = a l.q.q.d
Observación.- Este último teorema es muy útil para el planteamiento de diversas aplicaciones
geométricas. Es necesario reconocer que la última demostración se sustenta en la congruencia
de triángulos que será ampliamente tratada en el capítulo 2.3.
Und. 2 - Estudio del Triángulo
67
APÉNDICE 2
2.1.7. Teoremas Auxiliares del Triángulo
A. Ángulos interiores de un triángulo
TEOREMA
DEMOSTRACIÓN
Relación
Lado - Ángulo en un Triángulo
Trazamos BN de modo que: RCNB @ RNBC, así el DNCB es
isósceles. Se reconoce que:
q = a + w → a < q
«En todo triángulo se
cumple que a mayor lado
se opone mayor ángulo y
viceversa»
Si: a > b → a > b
Teorema de la Mínima Distancia
«El segmento más
corto que une un
punto a una recta es
el segmento perpendicular trazado desde
dicho punto hasta la
recta»
Del Polígono No Convexo
«El ángulo externo del
polígono no convexo
viene dado por la suma
de los ángulos internos»
x=a+b+q
w + q = b → q < b \ a < b
Además:
NC = BC y NC < AC
→ BC < AC

Sea «A» un punto cualquiera de la recta L. Hacemos PH ⊥ L .
AHP, se verifica que: RA = a ∧ RH = 90º, tal que:
a < 90º
Luego los lados que se oponen respectivamente a estos ángulos verifican:
PH < AP l.q.q.d
Prolongamos AP hasta «N», siendo
N ∈ BC, y así se visualiza que:
En el DABN: y = a + b . . . (1)
En el DPNC: x = y + q . . . (2)
Sustituyendo (1) en (2):
x = a + b + q l.q.q.d
2.1.8. Teorema de la Existencia de un Triángulo
«En todo triángulo la longitud de cualquier lado es menor que la suma de los otros dos pero
mayor que su correspondiente diferencia»
En el triángulo mostrado se verifica que:
a – b < c < a + b
a – c < b < a + c
b – c < a < b + c
68
Geometría
En el DABC de la Fig. 1 se reconocen sus ángulos internos o
interiores: RCAB, RABC y RBCA, los cuales pueden denotarse
abreviadamente como: RA, RB y RC.
En general, los ángulos de un triángulo son sus ángulos interiores.
\ A menor ángulo se opone menor lado. l.q.q.d
En el
El triángulo de vértices A, B y C, y lados AB, BC y AC, puede
denotarse como: DABC, DBAC, DACB, etc. El orden de los vértices (A, B o C) no es importante, excepto cuando se hace la
correspondencia en la congruencia de triángulos.
B. Ángulos exteriores de un triángulo
Un ángulo exterior de un triángulo es un ángulo que forma un
par lineal con uno cualquiera de los ángulos interiores de un
triángulo.
En la Fig. 2 se observa que:
α + mRBAC = 180º
β + mRABC = 180º
γ + mRBCA = 180º


 → α, β y γ son ángulos exteriores del ∆ABC.


En la Fig. 3 también se verifica que: a’, b’ y g’ forman pares lineales con RBAC, RABC y
RBCA, respectivamente. De esto deducimos que a’, b’ y g’, también, son ángulos exteriores
del DABC.
Relacionando los ángulos exteriores de la Fig. 2 y la Fig. 3, podemos reconocer que, en aplicación de la definición de ángulos opuestos por el vértice, los ángulos a, b y g son congruentes
con a’, b’ y g’, respectivamente, es decir: a = a’, b = b’ y g = g’.
Si bien estos pares de ángulos son congruentes no podemos decir que se trate de los mismos
ángulos, pues están formados por rayos diferentes. De este raciocinio concluimos que en un
triángulo se identifican tres ángulos interiores y seis ángulos exteriores.
C. Ángulos interiores remotos
Dado un ángulo exterior de un triángulo, los dos ángulos interiores que no forman un par lineal
con él reciben el nombre de ángulos interiores remotos de ese ángulo exterior.
Ejemplo.- En la Fig. 2, los ángulos interiores remotos de «a» son: RB y RC.
Adaptado de: Geometría Plana, Dr. Michel Helfgott,
Ed. Escuela Activa, 2001, Lima.
Und. 2 - Estudio del Triángulo
69
06.- Calcula el mayor valor entero de «x» en cada
caso:
01.- En base al siguiente conjunto de puntos se
pide completar la notación conjuntista de todos
los triángulos que son posibles de construir con
ellos.
Triángulo MNQ Triángulo PQR
a. DABC = AB ∪ BC ∪ AC
04.- Identifica y justifica la existencia de los triángulos mostrados, aplicando la desigualdad triangular.
b. D_____ = _____ ∪ _____ ∪ _____
a. i. 7 – 6 < 4 < 7 + 6
c. D_____ = _____ ∪ _____ ∪ _____
02.- Visualiza cada uno de los triángulos y completa la tabla.
Vértices: ___________
Lados:
___________
Ángulos: ___________
Vértices: ___________
Lados:
___________
Geometría
x = _________ x = _________
a.
10.- Calcular en cada triángulo, el ángulo exterior
«a».
a.
a = ________
b.
a = ________
b.
c.
b. _______________
a = ________
_______________
_______________
x = _________ x = _________
_______________
c.
x = _____________
c. _______________
Lados:
_______________
DABC: _______ DEFG: _______
d.
\ El triángulo sí existe
_______________
Triángulo ABC Triángulo EFG
m(AB) = 9 m(EF) = 8
m(BC) = 5 m(FG) = 6
m(AC) = 7 m(EG) = 8
c.
07.- Calcula el valor de «x» en cada caso:
Vértices: ___________
03.- Escribe el nombre de la clase a que corresponde cada triángulo según las medidas de sus
lados.
x = _________ x = _________
iii. 6 - 4 < 7 < 6 + 4
Ángulos: ___________
70
ii. 7 - 4 < 6 < 7 + 4
Ángulos: ___________
___________
x = _________ x = _________
m(NQ) = 12 m(QR) = 12
DMNQ: _______ DPQR: _______
c.
b.
m(MN) = 12 m(PQ) = 10
m(MQ) = 12 m(PR) = 10
d. D_____ = _____ ∪ _____ ∪ _____
a.
b.
11.- En cada caso identifica y escribe el mayor
lado.
a.
_______________
05.- Utiliza regla, compás y transportador para
construir cada uno de los siguientes triángulos:
a. Un triángulo equilátero de 8 cm de lado.
___________
08.- Con la información dada en cada caso calcula la medida de todos los ángulos del DABC.
a. mRA – mRB = 10º y mRA – mRC = 20º
b.
___________
b. mRA + mRC = 70º y mRB – mRC = 80º
b. Un triángulo escaleno de 5 cm, 7 cm y 8 cm de
lado.
09.- En cada uno de los casos, determinar el valor
de «x».
c. Un triángulo isósceles cuyos ángulos congruentes miden 40º, y su lado desigual mide
9 cm.
a.
c.
x = ___________
___________
d. Un triángulo rectángulo de 30º y 60º, y cuya
hipotenusa mide 8 cm.
Und. 2 - Estudio del Triángulo
71
En la figura nos piden: mRC = x
Prob. 05
Como el DCBD es isósceles, se cumple que:
Si BE es bisectriz del RABC y DE es bisectriz
del RADC, calcular «x».
mRDBC = mRC = x
Aplicando el TAE referido al RD del DBDC,
se tiene:
Prob. 01
En la figura, calcular «a».
En la figura nos piden: AD = x
En el
DBC: mRD + 40º = 90º
→ mRD = 50º
Por dato:
mRACD + 40º = 65º
→ mRACD = 25º
En el DACD aplicamos el TTE referido al
RADC:
En el gráfico aplicamos el TAE referido al
RC del DCDE:
50º = mRA + 25º → mRA = 25º
mRADB = x + x → mRADB = 2x
Como el DABD es isósceles, se cumple que:
mRA = mRADB = 2x
Según dato el DACB es isósceles, luego:
mRA = mRB = 2x
→ mRABD = x
En el DABD, aplicando el teorema de la
suma de ángulos de un triángulo, se tiene:
Completando ángulos, según condición del
problema, aplicamos el TAE en el polígono
no convexo ABCD:
2q = 60º + 2a + 20º → 2q – 2a = 80º
→ q – a = 40º . . . (1)
2x + 2x + x = 180º
mRACD = a + a
\ x = 36º
mRACD = 2a
Anotamos el ángulo exterior (2a) del DCDE:
Prob. 04
Siendo isósceles el DADC, proponemos:
En la figura, calcular «x».
AD = DC \ x = 8
Prob. 03
En el DABC: 60º = 2a + a
Se tiene un DABC, tal que AC = BC y en
AC se ubica un punto «D» de modo que
AB = BD = DC. Calcular mRC.
Aplicando el TAE:
En el DAPB: b = 60º + a
En el DDPE: b = x + q
60º = 3a \ a = 20º
Prob. 02
En la figura, si CD = 8 y mRACB = 65º, calcular AD.
Entonces: 60º + a = x + q
Elaboramos el gráfico según los datos del
problema:
De donde: 60º – x = q – a . . . (2)
Apliquemos el TAE:
120º = 3a + 3b
→ 40º = a + b . . . (2)
De (1) y (2):
Geometría
\ x = 20º
En el DAPC: x = a + b . . . (1)
En el DABC:
72
Reemplazando (1) en (2): 60º – x = 40º
x = 40º
Und. 2 - Estudio del Triángulo
Prob. 06
En un triángulo ABC, mRA = 2mRC y AB = 4.
Calcular el mínimo valor entero de BC.
73
Prob. 08
Elaboramos un diagrama con los datos del
problema:
En el triángulo isósceles ABC, se tiene:
En la figura PQ P AC. Si AP + QC = 12, calcular PQ.
Siendo BQ P AC, identificamos los ángulos
alternos internos de medida 2a, reconociéndose además que:
mRA = mRC = a
En el triángulo isósceles QBP, se tiene:
mRPQB = mRQPB = q
mRBAP = mRBPA = a
mRBCQ = mRBQC = q
Aplicando el teorema de la relación lado ángulo se tiene:
mRA > mRC
→ x > 4 \ xmín = 5
Así el DABP es isósceles: AB = BP
También el DCBQ es isósceles: BC = BQ
Aplicando el TAE en el DHQC: x = a + q
Además: x + α + θ = 180º → 2x = 180º

x
\ x = 90º
Como PQ P AC, identificamos los ángulos
alternos internos, determinándose que:
Prob. 11
mRPIA = mRPAI = a
Prob. 07
Dados los segmentos consecutivos y congruentes AB, BC y CD, si mRCBD = 20º, y
A, C y D son colineales, calcular la mRABC.
mRQIC = mRQCI = b
Los lados de un triángulo están en progresión
aritmética de razón «r». Si el perímetro del
triángulo es 18, calcular el mayor valor entero
que puede tomar «r».
Luego: PQ = BQ

 − BP
PQ = BC – AB \ PQ = 8
Por condición del problema AB, BC y AC
están en progresión aritmética de razón «r »,
entonces:
Elaboramos un gráfico según los datos del
problema:
Prob. 10
En la figura: AB = BC y BQ = BP, calcular
«x».
AB = a – r , BC = a y AC = a + r
Así resulta que el DAPI es isósceles: AP = PI
También el DIQC es isósceles: IQ = QC
Luego nos piden: PQ = PI
 + IQ

Por dato el perímetro es: 2p = 18
AB
 + BC
 + AC
 = 18
→ (a – r) + a + (a + r) = 18
\ a = 6
Luego, por el teorema de la existencia de un
triángulo, se tiene:
Siendo el DBCD isósceles, se tiene que:
→ PQ = AP + QC
mRCDB = 20º
\ PQ = 12
Prob. 09
Anotando los datos, se tiene:
En la figura BQ P AC, si BC – AB = 8, calcular PQ.
Aplicando el TAE referido al vértice «C» del
DBCD, tendremos:
mRACB = 40º → mRBAC = 40º
Luego: 40º + 40º + x = 180º
\ x = 100º
(6 + r) – (6 – r) < 6 < (6 + r) + (6 – r)
Prob. 12
2r < 6 < 12
De aquí: 2r < 6 → r < 3
En el triángulo ABC: AM = MP; PN = NC.
Calcular el valor de «x».
\ rmáx = 2
74
Geometría
Und. 2 - Estudio del Triángulo
75
Aplicando el TAE en el DCBD, referido al
vértice «D», se tiene:
mRADB = 51º + q
Como el DABD es isósceles, se cumple que:
Anotando los datos, se tiene:
En la figura el DACF es isósceles, luego:
mRA = mRAFC = 75º
En la figura se traza BD, y luego de reconocer que el DBAD es isósceles, se obtiene
que:
mRABD = mRADB = 60º
mRA = mRADB = mRA = 51º + q
Luego:
mRBAE = 51º
En el DABC isósceles: mRA = mRC = 75º
→ mRFCB = 45º
Así resulta que el DBAD es equilátero, luego:
AB = AD = BD
Entonces el DDBE es isósceles, por consiguiente:
mRBDE = mRBED = a
En la figura el DAMP es isósceles, luego:
Además, por el teorema de la suma de ángulos en el DABD:
mRA = mRAPM = a
También el DPNC es isósceles, luego:
mRC = mRNPC = b
Luego en el punto «P» se verifica que:
Aplicando ahora el TAE en el DFCB, referido al vértice «F», se tiene:
75º = 45º + mRB → mRB = 30º
x + a + b = 180º . . . (1)
Como el DFMB es isósceles, se cumple que:
Según el teorema de la suma de ángulos en
el DABC:
a + b + 80º = 180º
mRF = mRB → mRF = 30º
De donde: a + b = 100º . . . (2)
Reemplazando (2) en (1):
x + α + β = 180º

x + 100º = 180º
q + 51º + q + 51º + q = 180º
De donde: 3q = 78º
→ q = 26º . . . (1)
Aplicando el TAE en el DBAP, referido al
vértice «P», se tiene:
x = 51º + q . . . (2)
En el vértice «F» se cumple que:
75º + x + 30º = 180º \ x = 75º
Prob. 14
En la figura AB = BD y mRDBC = 51º. Calcular «x».
Reemplazando (1) en (2): x = 51º + 26º
\ x = 77º
Prob. 15
En el gráfico AB = BE = AD. Calcular «x».
\ x = 80º
Además: mRBDE = 60º – a
Y por el teorema de la suma de ángulos en
el DDBE:
a + a + a – 60º = 180º
3a = 240º → a = 80º
En el vértice «D» se cumple que:
60º + a + x = 180º
Reemplazando: 60º + 80º + x = 180º
\ x = 40º
Prob. 16
Uno de los ángulos externos de un triángulo
mide 70º y el producto de las medidas de los
ángulos no adyacentes a él es 1200. Calcular
la diferencia absoluta de las medidas de tales
ángulos.
Prob. 13
En la figura el triángulo ABC es isósceles
(AB = BC). Si mRACF = 30º, AC = CF y
FM = MB, calcular «x».
76
Geometría
Und. 2 - Estudio del Triángulo
77
Sean a y q las medidas de los ángulos no adyacentes, luego por condición del problema:
Luego: mRQPC = x
Prob. 19
Prob. 20
Desarrollando: 2x + 90º = 180º
En un triángulo ABC se traza BD (D ∈ AC),
con la condición que:
En un triángulo ABC: mRA = 2(mRC) = 2a.
Sea «P» un punto exterior al triángulo y relativo a BC tal que AB = CP y mRBCP = 60º – a.
Calcular la medida del ángulo PBC.
\ x = 45º
a· q = 1 200 . . . (1)
Además por el TTE en el DABC, referido al
vértice «C», se tiene:
a + q = 70° . . . (2)
La expresión (1) por 4:
4a· q = 4 800 . . . (3)
La expresión (2) la elevamos al cuadrado:
a2 + q2 + 2aq = 4 900 . . . (4)
(4) – (3): a2 + q2 – 2aq = 100
→
2
(a – q) = 100
Prob. 18
Dado el triángulo PBR, se toman los puntos
A, C y Q tales que A ∈ PB, C ∈ BR y Q ∈ AC.
Si AB = BC, mRBPQ + mRPRT = 142º («T»
en la prolongación de CR), calcular mRCQR
si el triángulo PQR es equilátero.
mRDBC = mRBAD = mRACB y CD = 12
3
2
1
Calcular el valor entero de AB.
Construimos el gráfico correspondiente y
hacemos que: mRACB = q.
De modo que, según la condición del problema se tiene que:
mRBAD = 2q y mRDBC = 3q
Elaboramos un esquema y ubicamos los datos correspondientes.
Así también: AB = x
\ |a – q|= 10º
En el DABC, trazamos BD con la condición
que:
mRDBC = a
Prob. 17
Resultando que el DBDC es isósceles y:
En un DABC: mRA = 30º y mRB = 120º.
En la prolongación de AB se ubica el punto
«P» y en AC se ubica el punto «Q», tal que
AB = BP = QC. Calcular mRPQC.
Trazamos BE con la condición que:
mREBC = q
Resultando que: AB = BE = EC = x
Además tenemos: BD = DE = 12 – x
Graficando y ubicando los datos correspondientes, se tiene:
Si: mRBPQ = a ∧ mRPRT = b
Por dato se tiene: a + b = 142º . . . (1)
Como el triángulo ABC es isósceles se deduce que:
RPAQ @ RQCR
Observemos que: mRC = mRA = 30º
De donde:
AB = BC
Ya que mRPBC = 60º, el DPBC es equilátero.
En consecuencia: PB = BC = PC
Ahora el DQCP resulta ser isósceles.
78
Geometría
Construimos el diagrama correspondiente
y ubicamos los datos mencionados.
Con lo cual resulta la siguiente igualdad:
a + 120º – x = x + 120º – b
→ x =
α +β
. . . (2)
2
De (1) en (2): x = 71
Por otro lado, en el triángulo isósceles BDE
se cumple que: BE < BD + DE
→ x < 12 – x + 12 – x
→
3x < 24
Y: x < 8 . . . (1)
En el DABD se cumple que mRD = 4q, luego:
mRD > mRA → x > 12 – x
→
2x > 12
De donde: 6 < x . . . (2)
de (1) y (2): 6 < x < 8
Y si x ∈ Z: x = 7
Und. 2 - Estudio del Triángulo
mRADB = 2a
Luego el DABD es isósceles y se cumple
que:
AB = BD = DC
Como mRDCP = 60º, concluimos que el
DDCP es equilátero y en consecuencia:
PD = PC = DC y mRPDC = 60º
Con esto reconocemos que el DBDP es isósceles, en donde:
mRBPD = x + a y mRBDP = 120º – 2a
Finalmente: x + a + x + a + 120º – 2a = 180º
→ 2x + 120º = 180º \ x = 30º
Prob. 21
En un triángulo ABC se traza BD (D ∈
AC) tal que: mRDCB = 2(mRDBC) = 2a y
mRBAD = 60º – 2a. Si AD = BC, calcular a.
79
Construimos un diagrama correspondiente
y ubicamos en éste los datos del problema:
Elaboremos el gráfico correspondiente ubicando en este los datos del problema.
Hacemos que: CD = b, BC = a
→ mRBPC = mRBCP = 60º y BP = PC = BC
→ AB = a + b
Por ángulo exterior en el DPCD:
Luego trazamos BE tal que: mRAEB = 2a
Resultando que: AB = BE = DE = a + b
de donde: CE = a
En el triángulo isósceles BCE: mRCBE = 2a
60º + 2a = a + x + a + x \ x = 30º
Prob. 25
Si se sabe que AP = PC, calcular «x».
De donde: 3a + 2a = 90º – a
→
6a = 90º \ a = 15º
Prob. 24
Prolongamos AB y trazamos PD tal que:
mRBPD = 60º – 2a
De este modo el DAPD es isósceles, y aplicando el TAE en el DABC, referido al vértice
«B»:
mRCBP = (60º – 2a) + 2a = 60º
Por el teorema de la suma de ángulos en el
DBPD:
mRD + (60º + a) + (60º – 2a) = 180º
→ mRD = 60º + a
Luego el DBPD es isósceles, por lo cual concluimos que: AD = PD = BP. Esto permite
asegurar que el DPBC es equilátero, por tal
razón: BP = PC. A su vez, esto sugiere que
el DDPC es isósceles, por lo que:
mRPDC = mRPCD = 60º + 2a
Finalmente, aplicando el TAE en el DAPD,
referido al vértice «D», se tiene:
mRPDC = mRDAP + mRAPD
→ 60º + 2a = (60º – 2a) + (60º – 2a)
\ a = 10º
Prolongamos AP hasta «Q», tal que:
mRAQC = 2a
Luego: mRQPC = mRQCP = 90º – a y
AC = QC = PQ
En la figura se sabe que:
AB = BC y
mRABC = 240º – 4a,
calcular «x».
El DPCB es isósceles, entonces: CP = CB
BQ = BP = PQ y mRBQP = 60º
mRQCB = 60º – a = mRQBC
Respecto del RPCQ, se puede decir que:
x + 60º – a = 90º – a \ x = 30º
Prob. 23
En un triángulo rectángulo ABC recto en «B»,
se traza BD, tal que: mRDBC = mRBAC = α
3
2
y AB = BC + CD. Calcular «a».
En el DABD trazamos el segmento BP de
modo que: mRPBD = a.
mRABP = 180º – 4a
Como: mRABC = 240º – 4a (dato)
→ mRPBC = 60º
De donde el DPBC resulta ser equilátero:
En el vértice «P» se cumple que:
Construimos un diagrama y ubicamos los
datos correspondientes.
mRRPC = 180º – (30º + 80º) = 70º
El DPCR es isósceles, entonces: PC = RC, de
donde el DBCR resultó ser equilátero en consecuencia:
BR = BC = RC y mRRBC = mRBRC = 60º
«P» es un punto interior a un DABC tal que:
PB = AC, mRPAC = 2a, mRPCA = 90º – 3a y
mRBPC = 150º – a. Calcular la mRPCB.
Geometría
El DQBC es isósceles, entonces: BQ = BC
Luego: AB = BP = PD y
Prob. 22
80
Luego: mRQCA = 40º – 30º = 10º
Por TAE: mRBPC = 40º + 40º = 80º
En el triángulo equilátero BPQ:
En el triángulo isósceles BQC:
El DAPC es isósceles, entonces: mRPCA = 40º
Finalmente en el DQBR isósceles:
x + 10º = 80º \ x = 70º
Und. 2 - Estudio del Triángulo
81
Prob. 26
Prob. 27
En el exterior de un DABC y relativo a BC se
ubica el punto «P», tal que: AB = BC = AP.
Si mABC = 36º y mPAC = 12º, calcule la
mAPC.
A) 12º B) 18º
C) 20º
D) 22º E) 24º
Elaboramos el gráfico correspondiente según condición del problema y ubicamos
datos.
Sustituyendo (1) y (2) en (5):
Se tienen los triángulos ABC y AMN, donde
M ∈ AC y B ∈ AN, además MBC ≅ NBC,
BMN ≅ NMC. Si mBAC = f. Determine
la medida del ángulo que determinan las bisectrices exteriores de los ángulos N y C.
mBQT = mC = θ
Aplicando el teorema de la envolvente y envuelta:
φ
= 270 º + 2 φ
2
φ
2 x = 270 º −
2
2φ + 2 x +
Cancelando:
A) 90º +
φ
4
B) 135º −
φ
φ
C) 125º −
2
4
∴ x = 135º −
D) 90º +
φ
2
E) 135º +
φ
4
Prob. 28
Elaboramos el gráfico correspondiente según condición del problema y ubicamos
datos.
mBTQ = mA = α
φ
2(φ + x ) + 90 º + = 360 º + 2 φ
2
PA + PC < AT + TQ + QC . . . (1)
Empleando el teorema de correspondencia
en el ∆TBQ:
f
4
β<θ
→
En un triángulo ABC cuyo lado menor es AC;
AB = 18, BC = 23 se ubica un punto interior
«P», tal que PA + PB + PC es representado
por un numeral entero y el mayor posible.
Calcule PA + PB + PC.
A) 39
B) 40
C) 41
D) 42
E) 58
TQ < TB . . . (2)
Como: mBPQ > α ∧ α > θ
→ θ < mBPQ
De donde:
PB < BQ . . . (3)
Sumando las expresiones (1), (2) y (3):
PA+PC+PB+TQ<(AT+TB)+(BQ+QC)+TQ
Elaboramos el gráfico correspondiente y
ubicamos datos.
(Teorema de Visschers)
mBAC = mBCA = 72º
El triángulo ABP resulta ser equilátero.
→ AB = BP = AP y mBPA = 60º
En el triángulo isósceles CBP:
mBCP = 60º + x
El máximo valor entero es:
En el cuadrilátero ANLC:
PA + PB + PC = 40
ω + ε = f + x . . . (1)
→ α + θ = 90 º +
φ
. . . (2)
2
En el ∆ANM: 2ω + θ = 180º + f . . . (3)
12º + 72º + 60º + x + x = 180º → 2x = 36º
Sumando las expresiones (3) y (4):
82
Geometría
Prob. 29
En el ∆ABM: 2α + 2θ = 180º + f
En el ∆ACP aplicamos el teorema relativo a
la suma de las medidas de los ángulos interiores:
∴ x = 18º
AT + TB = AB = 18 y BQ + QC = BC = 23
Luego: PA + PB + PC < 41
En el triángulo isósceles ABC:
→ mBAP = 60º
Ya que:
En el ∆ABC: 2ε + α = 180º + f . . . (4)
2(ω + ε) + θ + α = 360º + 2f . . . (5)
Puesto que AC es el lado menor tenemos
que:
β<θ<α
Trazamos, por el punto «P», la paralela TQ
a AC resultando que:
Und. 2 - Estudio del Triángulo
En un triángulo ABC se trazan las cevianas
AP y CQ concurrentes en el punto «E» y la
altura BH que intercepta a CE en el punto «F»
tal que AE = EF. Si los ángulos ABH y ECH
miden 69º y 19º respectivamente. Calcule la
medida del ángulo CAE sabiendo que es un
número entero.
A) 16º B) 21º
C) 14º
D) 20º E) 17º
83
Elaboramos el gráfico correspondiente y
ubicamos datos.
Construimos el gráfico correspondiente
según condición del problema y ubicamos
datos.
2.1. El Triángulo
01.- Los ángulos del triángulo ABC miden
A = 60º y B = 100º. Prolongando AB una longitud BD = BC, se pide calcular la mRACD.
A) 40º B) 50º
C) 60º
D) 70º E) 80º
02.- En el DABC, mRA = 30º y la medidas
de los otros dos están en la relación de 3 a 7.
¿Cuánto mide el ángulo mayor?
Sean: AE = EF = a y FC = b
En el
AHB: mBAH = 90º – 69º = 21º
En el vértice «A»: x < 21º . . . (1)
Sea: AQ = a ∧ CP = b
En el ∆AEC, reconocemos que:
→ a – b = l
AE = a ∧ EC = a + b → AE < EC
Luego, aplicando el teorema de correspondencia se tiene:
19º < x . . . (2)
El punto «E» se conoce como excentro en
donde concurren AE y CE que son las bisectrices de los ángulos BAC y BCT respectivamente.
De (1) y (2): 19º < x < 21º
Aplicando la propiedad de los ángulos alternos internos tenemos:
Y ya que x ∈ Z+: x = 20º
mQEA = α ∧ PEC = θ
Prob. 30
En un triángulo ABC, las bisectrices interior
del ángulo «A» y exterior del ángulo «C» se
interceptan en el punto «E». Por el punto «E»
se traza una recta paralela al lado AC que intercepta a los lados BC y BA en los puntos
«P» y «Q». Si AQ – CP = l, entonces la longitud de PQ es:
A) l
84
B) l 2
Geometría
C) 2l D) l 3
3
E) 3l
4
Los triángulos AQE y CPE son triángulos
isósceles, entonces:
AQ = QE = a y CP = PE = b
A) 105º
B) 110º
D) 115º
E) 120º
C) 102º
06.- Si EB = BC = CD, calcular «x».
A) 40º
B) 50º
C) 60º
D) 70º
E) 80º
07.- Si los ángulos «A» y «C» de un triángulo
ABC miden 40º y 30º respectivamente, ¿cuál
de sus tres lados es el mayor?
03.- En un triángulo ABC se toma en AC un
punto «D» y se une con «B» de tal modo que
BD = DC = AB, si mRC = 40º; calcular la
mRABD.
A) BC B) AB C) AC D) F.D E) N.A
A) 15º B) 18º
A) 21
C) 20º
D) 24º E) 25º
04.- Si mRBAC – mRBCA = 16º, calcular
«x».
A) 12º B) 14º
C) 16º
D) 8º
05.- Si AB = BC = AD, calcular «x».
Finalmente, como: PQ = QE – PE
A) 30º
Reemplazando: x = a – b
B) 40º
∴ x = l
C) 50º
E) 20º
08.- Los lados de un triángulo isósceles miden 5 y 11. Evaluar el perímetro de dicho
triángulo.
B) 24
C) 25
D) 27
E) 30
09.- En la figura AB = 6 y BC = 4. Calcular el
valor entero de BD.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
10.- Dado triángulo rectángulo cuyo perímetro es 33, calcular el mínimo valor entero de
la hipotenusa.
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
D) 60º
11.- En el triángulo ABC, se traza una paralela
a AC, cortando a AB, a la bisectriz interior de
«A», al lado BC y a la bisectriz exterior de
«C» en los puntos P, Q, R y S respectivamente. Evaluar QR, si AP = 3, RC = 4 y PS = 9.
E) 70º
A) 1
Und. 2 - Estudio del Triángulo
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
85
23.- El triángulo ABC es acutángulo; AD = DC,
DB = BC. Calcular el mínimo valor entero
que toma «q».
12.- Si AB = AC = AD, determinar «x».
17.- Del gráfico, calcular «x».
A) 30º
A) 22º
B) 40º
B) 18º
C) 45º
C) 24º
D) 50º
D) 20º
E) 60º
E) 28º
13.- Calcular «q».
18.- Dos lados de un triángulo escaleno miden
4 y 6, calcular la suma de valores enteros pares que puede tomar el tercer lado.
A) 8
C) 18º
D) 30º
B) 10
C) 14
D) 16
E) 18
E) 22,5º
A) 23º B) 31º
C) 46º
D) 30º E) 29º
24.- Si AB = 6 y BD = 4, calcular CD.
B) 36º
C) 48º
B) 72º
D) 55º E) 60º
D) 54º
C) 60º
D) 36º
14.- Según el gráfico, calcular «x».
A) 6
E) 45º
A) 30º
20.- En la región exterior de un triángulo ABC,
relativo a la hipotenusa AC, se ubica el punto
«P», luego se ubica en BC el punto «Q», tal
que AP = PQ = PC y mRBAC = 4mRAPQ.
Calcular la mRAPQ.
B) 45º
C) 60º
D) 80º
E) 90º
A) 18º B) 24º
15.- En el gráfico: AB = BP; PQ = QC. Calcular la mRBPQ.
C) 28º
C) 70º
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
25.- En la figura, si: AB = AD = CD, calcular
«x».
D) 80º E) 90º
D) 90º E) 120º
16.- En un triángulo ABC (obtuso en «B»), se
tiene que BC = 2 y AC = 10. Determinar el
tercer lado.
A) 7
86
B) 8
Geometría
C) 9
D) 10
E) 11
A) 10º
D) 18º
E) 20º
A) 30º B) 15º
C) 45º
D) 20º E) 10º
26.- En la figura: EB = BC; AB = BF. Calcular
«x».
A) 84º
B) 85º
C) 83º
D) 82º
E) 86º
29.- En la figura, si: AC = CD = DE, calcular
«x».
C) 15º
22.- Del gráfico: AB = DE = FE. Calcular «x»,
si es un valor entero.
A ) 72º B ) 45º C) 36º
E) 60º
B) 12º
D) 30º E) 20º
21.- En un triángulo ACD, se ubica el punto «B»
exterior a dicho triángulo y relativo a AC, tal que
la mRBAD = 100º, mRADC = 60º, BC = CD y
AD = AB + BC. Determinar la mRBCD.
A) 50º B) 60º
28.- Si AB = BD; DBC es un triángulo equilátero, calcular «x».
A) 30º
A) 50º
C) 50º
A) 15º
B) 20º
19.- De la figura, calcular «x».
A) 40º B) 45º
27.- BQ = BC = AC. Calcular «x».
A) 18º B) 24º
C) 21º
D) 27º E) 28º
Und. 2 - Estudio del Triángulo
CLAVES
01
D
02
A
03
C
04
D
05
E
06
D
07
C
08
D
09
C
10
D
11
B
12
C
13
C
14
C
15
D
16
C
17
D
18
A
19
C
20
E
21
D
22
B
23
A
24
C
25
A
26
B
27
D
28
D
29
E
87