SESION DE APRENDIZAJE N° 8

Universidad Los Ángeles de Chimbote
CURSO BIOESTADÍSTICA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD
LECTURA 05: INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN
POBLACIONAL. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA ENTRE
DOS PROPORCIONES POBLACIONES.
TEMA 11: INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN
POBLACIONAL
1. INTRODUCCION
Muchas veces las decisiones dependen de parámetros que son binarios, parámetros
con solo dos posibles categorías dentro de las cuales pueden clasificarse las
respuestas. En este caso el parámetro de interés es la proporción poblacional o
porcentaje de la población que cumple cierta característica. Por ejemplo un
psicológo puede estar interesada interesada en estimar el porcentaje de alumnos
desertores en el año académico por motivos familiares en una institución educativa,
el porcentaje de trabajadores con stress laboral en una empresa , el porcentaje de
matrimonios con psicoterapia de pareja ,etc.
Donde:
P: Proporción poblacional de éxitos o proporción de elementos de la población que
tienen cierta característica.
P=
X Número de elementos de la población que tienen cierta caracteristica
=
N
Número de elementos de la población
Q: Proporción poblacional de fracasos o proporción de elementos de la población
que no tienen cierta características.
X ' Número de elementos de la población que no tienen cierta caracteristica
Q=
=
N
Número de elementos de la población
Además:
P+ Q = 1
entonces
Q = 1− P
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Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R.
Fecha
: Marzo 2011
Versión
:2
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Generalmente la proporción poblacional se desconoce y tiene que ser estimado a
través de la proporción muestral. Entonces:
p: Proporción muestral de éxitos o proporción de elementos de la muestra que
tienen cierta característica.
p=
x Número de elementos de la muestra que tienen cierta caracteristica
=
n
Número de elementos de la muestra
q: Proporción muestral de fracasos o proporción de elementos de la muestra que
no tienen cierta característica.
x ' Número de elementos de la muestra que no tienen cierta caracteristica
q=
=
n
Número de elementos de la muestra
Además:
p+ q = 1
q = 1− p
entonces
2. DEFINICION
Es el rango dentro del cual se encuentra la proporción poblacional con un nivel de
confianza dado.
[
]
P L| ≤ P ≤ L 2 = 1 − α
1-α
α /2
L1
P
α /2
L2
fig. 14
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Para hallar los intervalos de confianza para la proporción poblacional usaremos la
estadística Z para muestras grandes (n ≥ 30). Entonces los límites de confianza
serán:
L1 = p − Z 0 × s p = p − Z 0 ×
p× q
n
L 2 = p + Z0 × s p = p + Zo ×
p× q
n
3. ERROR ESTÁNDAR DE LA PROPORCIÓN
Si el tamaño de la muestra es suficientemente grande (n ≥ 30). Si el muestreo es con
o sin sustitución en una población infinita (o con sustitución en una población finita
de tamaño N), el error estándar es:
•
σp =
P × (1 − P)
n
sp =
p × (1 − p)
n
que se estima por:
Si el muestreo es sin sustitución en una población finita de tamaño N el
error estándar para la proporción poblacional esta dado por:
σ
P
=
sp =
P× Q
×
n
p× q
×
n
N− n
N− 1
que se estima por
N− n
N−1
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Donde:
N− n
es el factor de corrección para población finita.
N− 1
Ejemplo 1:
Un psicologo desea estudiar el porcentaje de pacientes con transtornos psicológicos
que se atienden en su clinica, en una muestra aleatoria de 50 pacientes encuentra
que 10 de ellos padecen transtornos psicológicos. Hallar el intervalo de confianza del
95% para la proporción de real de pacientes con transtorno psicológico.
Solución:
• Se desea estimar la proporción real de pacientes con transtorno spicológico.
• Observamos que la proporción muestral de pacientes con transtorno spicológico
es:
10
p=
= 0.2 ⇒ q = 0.8
50
• Para un nivel de confianza del 95% el valor de Z 0 = 1.96
• El error estándar de la proporción muestral es:
sp =
•
p× q
=
n
0.2 × 0.8
= 0.06
50
Los límites de confianza para P son:
L1 = p − Z0 ×
p× q
= 0.2 − 1.96 × 0.06 = 0.2 − 0.12 = 0.08
n
L 2 = p + Z0 ×
p× q
= 0.2 + 1.96 × 0.06 = 0.2 + 0.12 = 0.32
n
Interpretación: Se tiene una confianza del 95% que el porcentaje de pacientes con
transtorno psicológico varia entre el 8% y 32%.
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Ejemplo 2:
Se desea conocer la opinión de los alumnos de la Uladech en relación con la
aceptación o no de la pena de muerte para los terroristas en el Perú. Para ello se ha
tomado una muestra aleatoria simple de tamaño 500. Si las respuestas afirmativas
han sido 100, encontrar un intervalo de confianza aproximado del 95%.
Solución:
• Se desea estimar la proporción de alumnos de la Uladech que están de acuerdo
con la pena de muerte para los terroristas en el Perú.
•
Observamos también que la proporción muestral de personas que están a favor
de la pena de muerte es:
p=
x 100
=
= 0.20 ⇒ q = 0.80 .
n 500
•
Para un nivel de confianza del 95% el valor de Z0 = 1.96.
•
El error estándar de la proporción muestral es:
sp =
p× q
=
n
0.20 × 0.80
500
s p = 0.02
•
Los límites de confianza para P son:
L1 = p − Z 0 ×
p× q
= 0.20 − 1.96 × 0.02 = 0.16
n
L 2 = p + Z0 ×
p× q
= 0.20 + 1.96 × 0.02 = 0.24
n
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Interpretación: Se tiene una confianza del 95% que el porcentaje de estudiantes de
la Uladech que afirman estar de acuerdo con la pena de muerte varía entre el 16% y
24%.
Ejemplo 3:
Se desea estimar el porcentaje de aprobados de un curso de Psicología de una
población de 500 alumnos. Para este fin, se uso una muestra de 35 alumnos que
reveló un 80% de aprobados. Estime la verdadera proporción de aprobados del
curso Psicología dentro de una confiabilidad del 99% .
Solución:
• Se desea estimar la proporción de aprobados en el curso de Psicología
• Observamos que N = 500 y n = 35
•
Observamos también que la proporción muestral de alumnos aprobados en el
curso de Psicología:
p = 0.8 .
•
Para un nivel de confianza del 99% el valor de Z o=2.576.
•
El error estándar de la proporción muestral es:
sp =
p× q
×
n
N− n
N−1
sp =
0.80 × 0.20
×
500
500 − 35
500 − 1
s p = 0.07
•
Los límites de confianza para P son:
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L1 = p − Z0 × s p = 0.8 − 2.576 × 0.07 = 0.8 − 0.18 = 0.62
L 2 = p + Z0 × s p = 0.8 + 2.576 × 0.07 = 0.8 + 018 = 0.98
•
Se tiene una confianza del 99% que el porcentaje de alumnos aprobados en el
curso de Psicologia varía entre el 62% y 98%.
TEMA 12: INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS
PROPORCIONES POBLACIONALES
P  L| ≤ P1 − P2 ≤ L 2  = 1 − α
1-α
α /2
α /2
P1 − P2
L1
L2
fig. 15
Para hallar los intervalos de confianza para la diferencia entre dos propociones
poblacionales haremos uso de la estadística Z para muestras grandes (n 1≥ 30 y
n2≥30), entonces:
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L1 = (p1 − p 2 ) − Z0 × s p1 − p 2
L 2 = (p1 − p 2 ) + Z 0 × s p1 − p 2
Donde:
sp
1− p2
=
p1q1 p 2q 2
+
n1
n2
NOTA: En caso de que las poblaciones N 1 y N2
intervalo usando:
sp
1− p2
=
sean finitas, sedebe corregir el
p1q1  N1 − n1  p 2 q 2  N 2 − n 2 

+


n1  N1 − 1 
n 2  N2 − 1 
Ejemplo 4:
En los establecimientos penales de Lima un grupo de psicologos estudiaron dos
tipos de reclusos. Una muestra de 300 internos del tipo I reveló que 50% era adicto a
las drogas. En otra muestra del tipo II de 240 internos, el 35% era adicto a las
drogas. Construir un intervalo de confianza del 99% para la diferencia de las dos
proporciones poblacionales.
Solución:
a) Se desea estimar:: P1 − P2
b) Las muestras de internos tomadas para cada tipo revelan la siguiente
información:
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TIPO DE RECLUSO
TIPO I
TIPO II
n
n1=300
n2=240
p
P1=0.50
P2=0.35
c) La diferencia entre las dos proporciones muestrales es:
p1 − p 2 = 0.50 − 0.35 = 0.15
d) El error estándar entre las dos proporciones muestrales es:
sp
=
p1q1 p 2 q 2
+
n1
n2
sp
=
0.50 × 0.50 0.35 × 0.65
+
300
240
sp
= 0.03
1− p2
1− p2
1− p2
e) Para un nivel de confianza del 99%; Zo= 2.576
f) El intervalo de confianza para la diferencia entre dos proporciones poblacionales
es:
L1 = (p1 − p 2 ) − Z0 × s p1 − p2
L1 = 0.15 − 2.576 × 0.03
L1 = 0.15 − 0.08 = 0.07
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L 2 = (p1 − p 2 ) + Z 0 × s p1 − p 2
L 2 = 0.15 + 2.576 × 0.03
L 2 = 0.15 + 0.08 = 0.23
Es decir se tiene una confianza del 99% que el intervalo de confianza entre la
diferencia entre las dos proporciones varìa entre 7% y 23%.
Vemos que P1 − P2 = 0 ∉
al intervalo de confianza, lo que quiere decir que los
tipos de reclusos son diferentes ante su adicción a las drogas. Los reclusos Tipo I
tienen mayor adicción a las drogas que los reclusos Tipo II.
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