Cálculo infinitesimal Relación de problemas Grado en Matemáticas Curso 2014/15 Sucesiones 1. Demostrar aplicando la definición de lı́mite: lı́m 1 (−1)n =0 + n n2 lı́m 2n + 3 2 = 3n − 50 3 lı́m 3n2 − 12n + 1 = +∞ n + 25 2. 2. Sea (an ) una sucesión infinita tal que lı́m a2n = lı́m a2n+1 = L. Demostrar que entonces la sucesión n→∞ n→∞ (an ) es convergente y además lı́m an = L. n→∞ 3. Calcular los lı́mites de las sucesiones cuyo término general es el indicado a continuación: p n2 + n − n, p cos(tan(log nπ )) , n+1 √ n p n2 + n + 1 − n2 − n − 1, p 3 n2 +8− 2n+1 + 3n+1 , 2n + 3 n a, (a > 0), log(en + 4) , log[(e−n + 1)(4n + 2n )] p 3 n2 − 3, √ √ 3 n+1− 3n+2 √ √ . n+3− n+4 (−2)n + 3n , (−2)n+1 + 3n+1 log(5n3 + 2) , log(6n4 + 2n + 1) an (a > 0). 2 + (−1)n , log(n + 2) log(3n2 + 4n + 5) . log(n + 10) n2/3 sen(n!) , n+1 1 sen n 1 . n 4. Probar que si {xn } es una sucesión de números reales no nulos tales que lı́m xn = 0, entonces: a) lı́m n→∞ senxn =1 xn b) lı́m n→∞ 1 1 − cos xn = . x2n 2 Calcular el lı́mite de las siguientes sucesiones: a) nsen (3/n) b) tan(an ) , |a| < 1 an c) n2 (1 − cos(1/n)). 5. a) Probar que si {an } es una sucesión de números reales no nulos tal que lı́m an = 0, entonces: lı́m log(1 + an ) = 1. an b) Sean {xn } {yn } dos sucesiones de números reales verificando: xn 6= 1, ∀n ≥ n0 ; xn −→ 1, yn −→ ∞, yn (xn − 1) −→ a. Demostrar que (xn )yn −→ ea . 1 6. Calcular los lı́mites de las sucesiones de términos generales: !n √ n2 + 2n √ , n2 − 1 (1 + √ n− √ log(n + 2) log(n + 1) √ n + 1) 7. Calcular a sabiendo que lı́m n n , n2n , (1 + n2 )n 1 + sen 4 1/(1+2 log n) , (2 + 3n ) log(n + a) log n n 1 , n , n+1 2 n +n+5 a+n a+n−1 n . 1/(1+log n) . n log n = 2. 8. Demostrar que ∀a ∈ R existen sucesiones (xn ) e (yn ) tales que lı́m xn = lı́m yn = a n→∞ n→∞ siendo xn ∈ Q e yn ∈ R \ Q ∀n ∈ N. 9. Sea la sucesión recurrente definida por u1 = 0; un+1 = 1/(un + 1). a) Calcular el posible lı́mite l. b) Demostrar que se tiene |un+1 − l| < 23 |un − l| ∀ n ∈ N. c) Demostrar que efectivamente lı́mn→∞ un = l. 10. Considérese la sucesión definida por recurrencia de la siguiente forma: 3 an+1 = 2 + a3n , a1 = − 3 . 2 Pruébese que tal sucesión es monótona creciente y acotada superiormente por K = 1. Calcúlese su lı́mite. 11. Se define la sucesión {xn }, por recurrencia, como: a) x1 = 1, xn+1 = c) x1 = 0, xn+1 = √ 6 + xn 1 2 − xn 3(1 + xn ) 3 + xn 1 =2− , con a > 1 xn b) x1 = 2, xn+1 = d) x1 = a, xn+1 Demostrar, utilizando argumentos de monotonı́a, que {xn } es convergente, y calcular su lı́mite. 12. Sea a > 0 y sea {xn } la sucesión definida por recurrencia: x1 = a, √ Probar que xn ≥ 2 xn+1 = x2n + 2 , n∈N 2xn ∀n ≥ 2, independientemente del valor de a. ¿Es convergente la sucesión {xn }? Caso de serlo, calcular su lı́mite. 2 13. Se define la sucesión a1 = a y an+1 = a2n − 2an + 2 donde a ∈ (1, 2). Demostrar que es monótona convergente y calcular su lı́mite. 14. Calcular los lı́mites de las sucesiones: log n , n √ nnn−1 , log n log(n!) , log n r n k+1 1X k log( ), n k−1 1 + 2 2 + 3 2 + · · · + n2 , 1 + n + n2 + n3 n 1 X π sen( ), log n k k=2 n √ , n n! k=1 1 a1 a2 an Si an −→ a , + + ··· + log n 1 2 n 1 n r n (1! + 2! + 3! + · · · + n!) . n! (2n)! , n! √ n X 1 k √ . k + 1 n + 1 k=1 n n n + 2 + ··· + 2 , 2 n +1 n +2 n +n ((3n + 1)(3n + 2) · · · (3n + n))1/n , n √ s 3n 2n n . n n √ √ 1 + 2 + ··· + n √ . (n + 1) n 15. Sea A ⊂ N cuyo complementario es finito. Demostrar que una sucesión {xn } converge si y sólo si converge la subsucesión asociada a A, y en ese caso tienen el mismo lı́mite. 16. Sea (an ) una sucesión acotada de números reales y sea σn = a1 + · · · + an . Demostrar que entonces n lı́m inf an ≤ lı́m inf σn ≤ lı́m sup σn ≤ lı́m sup an . n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ an = 0. Indicación: Si n > 2a entonces n→∞ n! 17. Probar que si a > 0 entonces lı́m an+1 a an 1 an = · < · (n + 1)! n + 1 n! 2 n! 18. Sea (an ) una sucesión de números positivos. Demostrar que entonces se tiene lı́m inf n→∞ √ √ an+1 an+1 ≤ lı́m inf n an ≤ lı́m sup n an ≤ lı́m sup . n→∞ an an n→∞ n→∞ an+1 = e. Usar el problema 18 para concluir que n→∞ an 19. Sea an = nn /n!. Probar que lı́m n lı́m √ = e. n n! n→∞ 20. Demostrar que lı́m sup(xn + yn ) ≤ lı́m sup xn + lı́m sup yn n→∞ n→∞ y dar un ejemplo en el que no se dé la igualdad. 3 n→∞ 21. Calcular los lı́mites de oscilación de las siguientes sucesiones indicando para cada lı́mite una subsucesión que converja hacia él: (−1)n ; e−1/n 1 nπ + sen ; n 2 sen(1/n) ; (−1)n + 2 3n 3n − [ ]. 4 4 22. Se dice que una sucesión {xn } de números reales es contractiva de constante α ∈ (0, 1) si |xn+2 − xn+1 | ≤ α|xn+1 − xn | para todo n ∈ N. Demostrar que toda sucesión contractiva es una sucesión de Cauchy. 23. Dada una sucesión, demostrar que el conjunto formado por sus términos y sus lı́mites de oscilación es cerrado. 24. Construir una sucesión que tenga 10 lı́mites de oscilación. Y otra que tenga infinitos. 4