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AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS
EXAMEN 2/SEPTIEMBRE/06
NOTA: La nota obtenida en esta parte se corresponde con el 75% de la nota
final correspondiente a la asignatura de Ampliación de Matemáticas. Para
aprobar es preciso tener una nota mayor o igual que 4 en cada una de las
partes.
PRIMER EJERCICIO
1.
(a)
Representar gráficamente los siguientes conjuntos de números complejos:
A : { z / Im( z + 2i ) ≥ Re( z − 3)}
B : { z / 2 Im( z ) ≥ z − 2i
(b)
(c)
2
}
¿Para qué valores de z es real cos(z)?. Justificar la respuesta.
Si z= 1+i, hallar : e1/ z y eiz .
(d)
2.
Demostrar que si f(z) = u(x,y)+iv(x,y) es una función entera, entonces:
∂u ∂v ∂u ∂v
⋅ + ⋅ =0
∂x ∂x ∂y ∂y
(3.5 puntos)
(a) Enunciar el teorema de convolución para la transformada de Fourier.
(b) Resolver la siguiente ecuación integral utilizando la teoría de la transformada de
Fourier:
∫
∞
−∞
g ( y) ⋅ e
− t− y
dy + g (t ) = e
−t
Nota:
2a
−a t
 ⎡⎣e ⎤⎦ = 2
a + ω2
(3 puntos)
3. Representar gráficamente en el intervalo [-2π, 2π] la extensión periódica de periodo
2π de f(x) : fT(x):
⎧⎪π ⋅ x − x 2 , x ∈ [0, π )
f ( x) = ⎨ 2
⎪⎩ x − π ⋅ x , x ∈ [π , 2π )
∞
∞
a
Sea ϕ ( x) = 0 + ∑ an cos(nx) + ∑ bn sen(nx) el desarrollo en serie de Fourier de fT(x).
2 n =1
n =1
Calcular la serie de cosenos que forma parte de ϕ(x). A partir de este resultado
calcular la siguiente serie numérica:
∞
1
S =∑
2
n = 0 (2n + 1)
Nota:
cos(ax) x ⋅ sen(ax)
2 x ⋅ cos(ax) (a 2 ⋅ x 2 − 2) ⋅ sen(ax)
2
; ∫ x ⋅ cos(ax)dx =
+
∫ x ⋅ cos(ax)dx = a 2 + a
a2
a3
sen(ax) x ⋅ cos(ax)
2 x ⋅ sen(ax) (a 2 ⋅ x 2 − 2) ⋅ cos(ax)
2
x
⋅
sen
(
ax
)
dx
=
−
;
x
⋅
sen
(
ax
)
dx
=
−
∫
∫
a2
a
a2
a3
(3.5 puntos)
Tiempo : 1 h.15m.
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS
EXAMEN 2/SEPTIEMBRE/06
SEGUNDO EJERCICIO
1.
(a)
(b)
(c)
2.
Calcular, utilizando la teoría de residuos, la siguiente integral:
2π
⎛π
⎞
I = ∫ sen 2 ⎜ + 4eiθ ⎟dθ
0
⎝6
⎠
Enunciar el teorema de Gauss.
Comprobar el resultado del apdo. (a) mediante el teorema de Gauss.
(6 puntos)
Sean f(z) y g(z) funciones analíticas en z0 , siendo z0 un cero de orden 2 de f(z), y un
⎡ f ''( z ) ⎤
, z0 ⎥ en términos de los coeficientes de
cero de orden 3 de g(z). Calcular Re s ⎢
⎣ g '( z )
⎦
los desarrollos de f(z) y g(z) en potencias de (z- z0) :
∞
∞
n=0
n =0
f ( z ) = ∑ an ( z − z0 ) n y g ( z ) = ∑ bn ( z − z0 ) n
(4 puntos)
Tiempo : 1 h.
TERCER EJERCICIO
1.
Demostrar que el Re s [ f ( z ), z0 ] es igual al coeficiente de (z-z0)-1 en el desarrollo en
serie de Laurent de f(z).
(2 puntos)
2.
3.
dz
.
C ( z − z )( z − z )
1
2
Deducir, utilizando la teoría de residuos, que el valor de la integral es independiente
de z1 y z2. Obtener dicho valor.
(3 puntos)
Sea F(z) una función entera y C la curva : z = R . Sea z0 tal que z0 < R , F(z0)=a,
Sea C una curva cerrada que contiene en su interior a z1 y z2, e I = v∫
F(-z0)=b y F’(0)=c. Obtener en términos de a, b y c, y utilizando la teoría de residuos,
F ( z)
dz en los siguientes casos:
el valor de I = v∫ 2
C z −z 2
0
a) z0=0,
b) F(z) par,
c) F(z) impar,
d) F(z) ni par ni impar.
(5 puntos)
Tiempo : 1 h.