ESTUDIO DE OPERACIONES URBANAS

ESTUDIO DE OPERACIONES URBANAS
MATERIAL DE CLASE DEL 26/9/2001
PROFESOR ARNOLD I. BARNETT
PREPARADO POR JAMES S. KANG
Problema de la división del palo
Imaginemos un palo de longitud 1. Supongamos que X1 y X2 son variables aleatorias
independientes que indican dos puntos en el palo en los que podemos dividir éste en tres
trozos. Supongamos también que X1 y X2 se hallan distribuidas uniformemente a lo largo
del intervalo [0,1].
Sabemos que XS = mín(X1, X2) y que XL = máx(X1, X2). Mediante L1, L2 y L3
indicamos las longitudes de los tres pedazos comenzando por el extremo izquierdo del
palo.
Figura 1: División en tres partes de un palo de longitud 1
Queremos calcular la probabilidad de que L1, L2 y L3 formen un triángulo.
Obviamente, las tres partes pueden formar un triángulo siempre que la longitud de
la parte más larga no supere la suma de las longitudes de las otras dos.
Analicemos la pregunta complementaria a la principal: ¿Cuál es la probabilidad de
que L1, L2 y L3 no puedan formar un triángulo?. Hay tres supuestos en los cuales
las tres partes no pueden formarlo:
•
Supuesto I: L1>L2+L3
Dado que L1+L2+L3 = 1, el valor de P (la imposibilidad de formar un triángulo según el
supuesto I) vendrá dado por
Obsérvese que P(Xs > ½ ) = P(X1 y X2 > ½ ). Al ser X1 y X2 variables independientes,
tendremos
•
Supuesto II: L2 > L1 + L3
El valor de P (la imposibilidad de formar un triángulo según el supuesto II) vendrá dado
por
No resulta difícil demostrar que
Geométricamente, es el área del evento
para un cuadrado con longitud de lado 1
•
Supuesto III: L3 > L1 + L2
P (la imposibilidad de formar un triángulo según el supuesto II) = ¼ por simetría con el
supuesto I.
Dado que los tres supuestos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que L1, L2 y
L3 no puedan formar un triángulo será
Por lo tanto, la probabilidad de que las tres partes sí puedan formar un triángulo será