CAP ÍTULO 1 Métodos de Integración 2.7 Integrales impropias Hasta aquı́, al referirnos a la integral definida Z b f .x/ dx consideramos que f es una función continua a en un intervalo cerrado Œa; b, el cual tiene una longitud finita b a. Es decir, para la integral definida Z b f .x/ dx se exige el cumplimiento de dos requisitos escenciales: la continuidad de la función f en todo a el intervalo de integración y además que dicho intervalo sea cerrado. Son estas caracterı́sticas las que dan sustento a la definición de la integral de Riemann: Z a b f .x/ dx D lı́m jxj!0 n X f .ci /xi : i D1 La finitud del intervalo Œa; b nos permite obtener un número finito n de subintervalos Œxi 1; xi y todos de longitud finita xi D xi xi 1 ; y la continuidad de f en todo el intervalo cerrado Œa; b nos permite asegurar la existencia de cada número f .ci / para xi 1 ci xi ; con i D 1; 2; 3; : : : ; n. Entonces, tiene n X sentido hablar de la suma de Riemann f .ci /xi , ya que independientemente de la partición realizada, i D1 cada término f .ci /xi está bien definido. Aún más, si además de ser continua, f .x/ 0 para cada a x b, entonces la integral definida Z b f .x/ dx a puede ser interpretada como el área de la región del plano limitada por la curva y D f .x/ y las rectas y D 0, Z b x D a, x D b. En general, para f continua en Œa; b, la integral definida f .x/ dx puede interpretarse a como una suma algebraica de áreas (sumandos positivos); o bien, como una suma algebraica de números Z b (positivos o negativos) . En cualquiera de los casos, la integral definida f .x/ dx es un número real fijo. a canek.azc.uam.mx: 20/ 5/ 2015/ 597 1 2 Cálculo integral Ahora trataremos con integrales definidas en las que no se cumple la continuidad de la función f en un intervalo cerrado Œa; b; es decir, trataremos con integrales definidas donde no se cumplen al menos una de las dos condiciones: continuidad de la función en el intervalo de integración y finitud del intervalo de integración. Denominamos integrales impropias aquellas que cumplen: 1. El intervalo de integración tiene longitud infinita, sección 2.7.1. 2. El integrando f tiene una ası́ntota vertical en el intervalo de integración, sección 2.7.2 (pág. 7). 2.7.1 Las integrales impropias Z C1 f .x/ dx, a Z b Z f .x/ dx, 1 C1 f .x/ dx 1 Vamos a considerar cada uno de los casos. Z C1 i. ¿Cómo calcular f .x/ dx? a Suponiendo la continuidad de la función f en el intervalo Œa; 1/, se puede asegurar que f es continua en el intervalo cerrado Œa; r para r > a. Aquı́ procedemos de la siguiente manera. Primero, calculamos la integral definida Z r f .x/ dx, la cual resulta ser una función g.r /. a Segundo, se permite a r crecer indefinidamente y se calcula lı́m g.r / D lı́m r !C1 r !C1 Z r f .x/ dx: a Se concluye según sea el resultado del lı́m g.r /. r !C1 Z C1 a. Cuando lı́m g.r / D L, con L 2 R, se dice que la integral impropia f .x/ dx converge r !C1 a Z C1 a L y se escribe f .x/ dx D L. Es decir, en este caso se asigna un valor numérico .L/ a la aZ C1 integral impropia f .x/ dx. a b. Cuando lı́m g.r / D 1, se dice que la integral impropia r !C1 Z C1 aZ f .x/ dx diverge a 1. En este C1 caso no se asigna un valor numérico a la integral impropia f .x/ dx. Se puede escribir a Z C1 Z C1 diverge a f .x/ dx D 1, pero teniendo presente que f .x/ dx ! 1, y que 1 … R. a Ejemplo 2.7.1 Calcular la integral impropia a Z tiende a C1 e x dx. 0 H La función f .x/ D e x es continua en todo R, luego es continua en el intervalo Œ0; C1/ y por lo mismo es continua en el intervalo cerrado Œ0; r para r > 0. 2 2.7 Integrales impropias 3 Calculamos la integral definida r Z x e dx. 0 r Z x dx D Œ e e x dx D g.r / D 1 0 ) x r 0 e r D e e0 D e r Z 0 r e : r C1D 1 e r ) Ahora calculamos lı́m g.r /. r !C1 ) e r / D lı́m lı́m g.r / D lı́m .1 r !C1 r !C1 Z r lı́m e x dx D 1: r !C1 r !C1 1 er 1 D1 0D1 ) 0 Entonces, la integral impropia C1 Z x e dx converge a 1. 0 Z C1 x e dx D 1: 0 En este caso se asigna el valor numérico 1 a la integral impropia Z C1 e x dx. 0 Ejemplo 2.7.2 Calcular la integral impropia Z C1 1 dx p . x 1 La función f .x/ D p es continua en todo su dominio Df D .0; C1/, por lo que es continua en x el intervalo cerrado Œ1; r para r > 1. Ahora, H Z 1 r dx p D x Z r 1 2 x 1 Es decir, Z 1 r 2 dx D 2x r 1 1 p dx p D g.r / D 2 r x Luego, lı́m g.r / D lı́m r !C1 r !C1 Entonces, p 2 r lı́m g.r / D lı́m r !C1 Z 1 1 r !C1 1 r 1 Ejemplo 2.7.3 Calcular la integral impropia Z 2: 2: 2 D C1: dx p D C1: x dx p diverge a C1. x 1 Z 1 dx diverge a dx p p D 1. ! C1 y podemos escribir x tiende a x 1 Por lo tanto, la integral impropia Es decir, Z Z p p 2 1D2 r p D2 r 1 xe 2x dx. 0 3 4 Cálculo integral Por ser f .x/ D xe 2x una función continua en todo su dominio R, podemos asegurar Z r su continuidad en el intervalo cerrado Œ0; r para r > 0. Determinaremos la integral definida xe 2x dx, 0 Z calculando primero la integral indefinida xe 2x dx mediante integración por partes. H Z 2x š uDx xe & du D dx & dx dv D e vD 2x 1 e 2 Dx D 1 xe 2 1 e 2 2x Z 1 e 2 2x 1 xe 2 dx D 2x C 1 2 1 e 2 2x CC D dxI 2x : 2x 1 C e 4 2x CC D 1 e 4 2x .2x C 1/ C C: Luego, r 1 1 2x xe dx D .2x C 1/e D .2r C 1/e 4 4 0 0 Z r 2r C 1 1 ) xe 2x dx D g.r / D 1 : 4 e 2r 0 Z r 2x 2r 1 0 1 C e D 1 4 4 2r C 1 e 2r ) Entonces, aplicando la regla de L’Hôpital, 1 2r C 1 1 .2r C 1/0 1 2r C 1 lı́m g.r / D lı́m D lı́m D lı́m D 2r 2r r !1 r !1 4 4e 4 r !1 4e 4 r !1 .4e 2r /0 1 2 1 1 D lı́m D 0D ) 2r 4 rZ!1 8e 4 4 r 1 ) lı́m g.x/ D lı́m xe 2x dx D : r !1 r !1 0 4 Z 1 1 En este caso, la integral impropia xe 2x dx converge a . 4 0 Z 1 Por lo tanto, en este caso, la integral impropia xe 2x dx tiene un valor numérico asignado, que es 0 Z 1 1 xe 2x dx D . 4 0 Z b ii. ¿Cómo calcular la integral impropia f .x/ dx? 1 Generalmente la expresión algebraica r es asociada mentalmente con un número negativo, lo cual es debido a la presencia explı́cita del signo negativo . / y sabemos que esto es cierto . r < 0/ cuando r > 0. Por simplicidad haremos uso de esta relación. Considerando que r > 0 podemos asegurar que r < 0 y además que r ! 1 cuando r ! C1. Z b Hecha esta aclaración procedemos a calcular la integral impropia f .x/ dx bajo el supuesto de que 1 la función f sea continua en el intervalo . 1; b. El procedimiento es análogo al efectuado en el caso anterior. Con f continua en el intervalo . 1; b se asegura la continuidad de f en el intervalo cerrado Z b Œ r; b para r < b y calculamos la integral definida f .x/ dx, la cual resulta ser una función g.r /. r Luego permitimos que r ! C1, para ası́ lograr que r ! 1, y calculamos lı́m g.r /. r !C1 Se concluye, como en el caso anterior, diciendo si la integral impropia converge o diverge. 4 2.7 Integrales impropias 5 Ejemplo 2.7.4 Calcular la integral impropia H Z 0 e x dx. 1 Considerando r > 0 aseguramos que r < 0 y además que r ! 1 cuando r ! C1. La función f .x/ D e x es continua en toda la recta real, por lo que es continua en el intervalo cerrado Z 0 Œ r; 0. Calculamos la integral definida e x dx. r 0 Z r Es decir, 0 e x dx D e x D e 0 e r Z Entonces, 0 r e x dx D g.r / D 1 lı́m g.r / D lı́m r !C1 r !C1 1 er 1 Esto es, lı́m g.r / D lı́m r !C1 Por lo tanto, la integral impropia Z r r !C1 0 Z 1 : er D1 1 : er D1 0 D 1: 0 r e x dx D 1: x e dx converge a 1 y escribimos 1 En este caso se asigna un valor numérico .1/ a la integral impropia Ejemplo 2.7.5 Calcular la integral impropia H Z 1 1 Considerando r > 1 aseguramos que r < Z 0 Z 1 e x dx D 1. 0 e x dx. 1 dx p . 3 x 1 y además que r ! 1 cuando r ! C1. 1 La función f .x/ D p es continua en el intervalo cerrado Œ r; 1. 3 x Z 1 dx Calculamos la integral definida p . 3 x r Z 1 Z 1 1 i 1 dx 3 2 1 3 hp 3 2 3 dx D x 3 p D x D x 3 D x 2 2 r r r r i i p p 3 hp 3 hp 3 3 3 3 3 2 2 2 D . 1/ . r/ D 1 r D 1 2 2 2 Es decir, Z Luego, 1 r dx 3 p dx D g.r / D 1 3 x 2 3 1 r !C1 2 lı́m g.r / D lı́m r !C1 Esto es, lı́m g.r / D lı́m r !C1 r !C1 p 3 r2 : 3 p 3 r2 D 2 Z 1 r p 3 r2 : 1D 1: dx p D 1: 3 x 5 6 Cálculo integral Se tiene en este caso que la integral impropia 1 dx p Expresado de otra manera, 3 x 1 sente que 1 no es valor numérico. Z iii. ¿Cómo calcular la integral impropia 1 Z 1 diverge a dx p diverge a 1. 3 x 1, y podemos escribir ! tiende a Z 1 1 dx p D 3 x 1 teniendo pre C1 Z f .x/ dx? 1 Por supuesto, se supone que f es una función continua en toda la recta real R D . 1; 1/. Teniendo presente los dos casos anteriores, podemos generar el intervalo . 1; C1/ a partir Z del interr valo Œ r; r para r > 0 y haciendo que r ! C1. Calcularemos primero la función g.r / D f .x/ dx, Z r Zr 1 para luego obtener lı́m g.r / D lı́m f .x/ dx. Concluiremos para la integral impropia f .x/ dx r !C1 r !C1 r 1 como en los casos anteriores: la integral converge a un valor numérico o bien la integral diverge. Ejemplo 2.7.6 Calcular la integral impropia Z 1 1 2x dx. 1 C x2 2x dx es continua en todo R, por lo que se puede asegurar su 1 C x2 continuidad en el intervalo cerrado Œ r; r para r > 0. Z r 2x Calculamos la integral definida dx. 1 C x2 r Z r r 2x 2 dx D ln 1 C x D ln 1 C r 2 ln 1 C . r /2 D ln 1 C r 2 ln 1 C r 2 D 0: 2 r 1Cx r La función racional f .x/ D H En este caso: g.r / D Por lo cual, lı́m r !1 Es decir, la integral impropia numérico asignado: Z Z r r C1 1 Z r r 2x dx D 0: 1 C x2 2x dx D lı́m g.r / D lı́m .0/ D 0: r !1 r !1 1 C x2 2x dx converge a 0. Esto es, la integral impropia tiene un valor 1 C x2 Z C1 1 2x dx D 0: 1 C x2 Ejercicios 2.7.1 Integrales impropias. Soluciones en la página 13 1. Z 1 Z 1 1 2. 1 6 dx . x4 dx p . 4 x 3. Z 1 Z 1 1 4. 1 dx p . x3 ln x dx. x 5. 6. Z Z 1 9e 3x dx. 0 0 1 x dx. x2 C 1 2.7 Integrales impropias Z 7. 1 e Z 8. 7 ln x dx. x2 4xe 2x 1 13. Z Z 1 x2e dx. 0 Z 1 Z 1 2.7.2 1 12. Z 1 e 10. 1 1 dx . x.ln x/2 x dx .x 2 C 3 1/ 2 x dx. 0 0 9. Z 11. 0 . 14. 0 Integrales impropias Z arctan x dx. x2 C 1 ex dx. x e C1 ex dx. 1 C e 2x Z 0 15. 1 16. Z 1 17. Z Z 18. 1 1 x dx. e x2 dx . x2 C 1 2x 3 .x 2 C 1/2 0 0 1 dx. x2 dx. x2 C 1 a f .x/ dx con ası́ntota vertical b Aquı́ consideramos integrales impropias del tipo: i. Z a Z a Z a f .x/ dx, con f continua en .a; b y con x D a ası́ntota vertical. b ii. f .x/ dx, con f continua en Œa; b/ y con x D b ası́ntota vertical. b iii. b f .x/ dx, con f continua en Œa; b, excepto en c 2 .a; b/ donde f tiene una discontinuidad infinita. ¿Cómo proceder para calcular estos tipos de integrales impropias? En general, para calcular estas integrales impropias, se propone evitar al punto problemático x D a en las integrales de primer tipo; x D b en las de segundo tipo; x D c en las de tercer tipo. ¿Cómo evitar el punto problemático? Guardando una sana distancia de él. Dicha distancia será lograda considerando un número real positivo , que servirá para denotar una separación del punto problemático. Es decir, el número > 0 será utilizado para evitar el punto problemático: i. x D a, considerando el intervalo cerrado Œa C ; b en vez del intervalo semiabierto .a; b: a bc aC bb b >0 ii. x D b, considerando el intervalo cerrado Œa; b en vez del intervalo semiabierto Œa; b/: a b b b bbc >0 iii. x D c, considerando los intervalos cerrados Œa; c a b c y Œc C ; b en vez de los intervalos Œa; c/ y .c; b: b c >0 bc c C b bb >0 7 8 Cálculo integral Ya sabemos cómo evitar el punto problemático. Ahora procedemos a calcular la integral definida de una función continua en un intervalo cerrado. Z b i. Calculamos f .x/ dx, con f continua en un intervalo cerrado ŒaC; b. Aquı́ se obtiene una función: aC g./ D ii. Calculamos función: Z b Z f .x/ dx: aC b f .x/ dx, con f continua en un intervalo cerrado Œa; b . Aquı́ se obtiene una a g./ D iii. Calculamos las integrales definidas Z Z b f .x/ dx: a c f .x/ dx & a Z b f .x/ dx en los intervalos cerrados Œa; c cC & Œc C ; b, respectivamente. También aquı́ se obtiene una función: Z c Z b g./ D f .x/ dx C f .x/ dx: a cC Para cada caso tenemos una g./. Ahora proponemos ! 0C y calculamos lı́m g./. Finalmente, con!0C cluimos aclarando si la integral impropia converge o diverge, ası́ como en los casos anteriormente ejemplificados. Esto es, Si lı́m g./ D L, con L 2 R, entonces la integral impropia correspondiente converge a L; !0C Si lı́m g./ D 1, entonces la integral propia correspondiente diverge a 1. !0C Ejemplo 2.7.7 Calcular la integral impropia Z 5 1 dx p . x 1 dx es continua en todo su dominio Df D .1; C1/ y además la recta x D 1 es La función f .x/ D p x 1 1 una ası́ntota vertical para f ya que lı́m f .x/ D lı́m p D C1. C C x!1 x!1 x 1 Z 5 dx p Entonces, la integral es impropia con f continua en el intervalo .1; 5. Evitamos el punto prox 1 1 blemático x D 1 tomando un número > 0 y considerando el intervalo cerrado Œ1 C ; 5 donde f es continua. Z 5 dx p Calculamos la integral definida . x 1 1C 5 Z 5 Z 5 p 1 1 5 dx 2 2 p D .x 1/ dx D 2.x 1/ D 2 x 1 D x 1 1C 1C 1C 1C p p p p D 2 5 1 2 1 C 1 D 2.2/ 2 D 4 2 : p Se tiene aquı́ la función g./ D 4 2 . H Calculamos lı́m g./: !0C lı́m g./ D lı́m !0C 8 !0C h 4 2 p i D4 2.0/ D 4: 2.7 Integrales impropias 9 Es decir, lı́m g./ D lı́m !0C !0C 5 Z 1C dx p D 4: x 1 5 Z dx p converge a 4 y escribimos x Z1 1 5 dx p es, se asigna el valor numérico 4 a la integral impropia . x 1 1 Se tiene en este caso que la integral impropia Ejemplo 2.7.8 Calcular la integral impropia 4 Z .x 2 H La función f .x/ D 1 2/2 .x 1 una ası́ntota vertical para f ya que lı́m f .x/ D lı́m Z 1 5 dx p D 4. Esto x 1 dx . 2/2 es continua en todo su dominio Df D R x!2C Z x!2C .x 2/2 f2g y además la recta x D 2 es D C1, ası́ como lı́m f .x/ D C1. x!2 4 dx es impropia con f continua en el intervalo .2; 4. Evitamos el punto .x 2/2 2 problemático x D 2 tomando un número > 0 y considerando el intervalo cerrado Œ2 C ; 4 donde f es continua. Ahora bien, Z 4 Z 4 dx .x 2/ 1 4 1 4 2 D .x 2/ dx D D D 2/2 1 x 2 2C 2C .x 2C 2C 1 1 1 1 1 1 D C D C D : 4 2 2C 2 2 2 Entonces, la integral Veamos la función g./ D 1 1 . 2 Esta función cumple: lı́m g./ D lı́m !0C !0C Es decir, lı́m g./ D lı́m !0C !0C Z Entonces, en este caso, la integral impropia 2 esta integral impropia. 4 .x Z 1 4 2C 1 D C1: 2 dx D C1: .x 2/2 dx diverge a C1, y no se asigna un valor numérico a 2/2 Ejemplo 2.7.9 Calcular la integral impropia Z 1 2 dx p . 3 2 x 1 La función g.x/ D p es continua en todo su dominio Dg D R f2g y además la recta x D 2 es 3 2 x 1 una ası́ntota vertical ya que lı́m g.x/ D lı́m p D C1. 3 x!2 x!2 2 x Z 2 dx p Entonces, la integral es impropia, con g continua en el intervalo Œ1; 2/. Evitamos el punto 3 2 x 1 problemático x D 2 tomando un número > 0 y considerando el intervalo cerrado Œ1; 2 donde g es H 9 10 Cálculo integral continua. Ahora, Z 2 dx p 3 2 1 D x Z 3 2 .2 1 3 x/ 3 Œ2 2 2 3 / 3 C .2 2 .2 lı́m h./ D lı́m !0C !0C 3 2 2 1 ./ 3 D Es decir, Z lı́m h./ D lı́m !0C Por lo tanto, la integral impropia 2 Z p 3 1 !0C dx 2 Ejemplo 2.7.10 Calcular la integral impropia 1 .3 x/3 1 D 3 2 3 ./ 3 C : 2 2 2 1/ 3 D x Z 2 1 3 .3 3 p 3 2 D : 2 3 lı́m 1 2 !0C dx 3 p D : 3 2 2 x converge al número 0 La función f .x/ D 3 2 ./ 3 . 2 Entonces: H 2 2 x/ 3 3 .2 2 dx D 1 D Se tiene aquı́ la función h./ D 2 3 y escribimos 2 x!3 x!3 1 p 3 dx 2 x D 3 . 2 f3g y además la recta x D 3 es una D C1. x/3 .3 1 2 dx . x/3 es continua en su dominio Df D R ası́ntota vertical ya que lı́m f .x/ D lı́m Z 3 dx es impropia, con f continua en el intervalo Œ0; 3/. Evitamos al punto .3 x/3 0 problema x D 3 tomando un número real > 0 y considerando el intervalo cerrado Œ0; 3 donde f es continua. Ahora bien, Entonces, la integral Z 3 0 Z dx D .3 x/3 D Tenemos aquı́ la función g./ D 3 Z .3 x/ 3 0 1 .3 2Œ3 1 2 2 .3 dx D 1 /2 0/2 2.3 x/ 2 D 2 3 0 1 2 2 D 1 : 18 1 2.3 3 2 x/ 0 D 1 . 18 De lo que se obtiene lı́m g./ D lı́m !0C !0C 1 D C1: 18 1 2 2 Es decir, lı́m g./ D lı́m !0C Por lo tanto, la integral impropia Z 0 3 .3 !0C 3 .3 0 dx D C1: x/3 dx diverge a C1. x/3 Ejemplo 2.7.11 Calcular la integral impropia Z 0 10 Z 3 p 3 dx x 1 . 2.7 Integrales impropias 11 1 La función g.x/ D p es continua en todo su dominio Dg D R f1g y además la recta x D 1 es 3 x 1 1 1 una ası́ntota vertical de g ya que lı́m g.x/ D lı́m p D 1 & lı́m p D C1. 3 3 C x!1 x!1 x!1 x 1 x 1 Z 3 dx p Entonces, la integral es impropia, con g continua en el intervalo Œ0; 3 excepto en x D 1 donde 3 x 1 0 tiene una discontinuidad infinita. H Aislamos el punto problemático x D 1 tomando un número > 0 y considerando los intervalos cerrados Œ0; 1 & Œ1 C ; 3 donde la función g es continua. Ahora bien, por la propiedad de aditividad respecto al intervalo: Z Z Z 3 0 donde las integrales Z 1 0 dx p & 3 x 1 1 g.x/ dx D Z 3 3 g.x/ dx C 0 g.x/ dx; 1 dx p son impropias. 3 x 1 1 Por esta razón calculamos la suma de las integrales Z 1 0 p 3 dx x 1 C Z 3 1C dx p D 3 x 1 1 Z .x 1 3 1/ 0 dx C Z 3 .x 1/ 1 3 1C dx D 2 1 2 3 3 3 .x 1/ 3 C .x 1/ 3 D 2 2 0 1C 2 2 2 3 3 3 3 .1 1/ 3 .0 1/ 3 C .3 1/ 3 .1 C D 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 2 D . / 3 . 1/ 3 C .2/ 3 ./ 3 D 2 2 2 2 i p p p 3 hp 3 3 . /2 . 1/2 C 3 .2/2 3 ./2 D D 2 i p i p p 3 hp 3 hp 3 3 3 3 D 2 1 C 4 3 2 D 4 1 : 2 2 D Para luego calcular lı́m !0C "Z 0 1 dx p 3 x y debido a que, cuando ! 0C , "Z 0 1 1 C Z 3 1C dx p 3 x podemos decir que la integral impropia 1 Z Z 0 3 3 p 3 D lı́m 4 C 2 !0 1 x C 3 0 Es decir, p 3 # dx p 3 Z 3 1C dx x 1 p 3 dx x 1 # ! converge a dx 3 p 3 p D 4 3 2 x 1 Z 0 3 1 D 3 p 3 4 2 1 : dx p ; 3 x 1 3 p 3 4 2 1 : 2 1/ 3 D 1 . Ejercicios 2.7.2 Integrales impropias. Soluciones en la página 13 11 12 Cálculo integral Z 5 1. 5 2. Z Z 3 3 4. Z 2 5. Z e 6. Z 1 1 3. 1 1 12 dx . .x 1/2 dx p . 3 x dx . .3 x/3 p 3 0 0 dx p . x 1 dx 2 x ln x dx. . 7. Z e x ln x dx. 0 1 8. Z 4 9. Z x2 0 0 e 10. Z 1 11. Z 12. Z 1 0 0 1 ex 2 dx. dx . .x 1/2 dx . x ln x dx p . 1 x2 tan x dx. 13. Z 14. Z 15. Z 16. Z 17. Z 18. Z 3 1 dx p . 3 x 2 1 x 2 ln x dx. 0 1 0 x 1 dx . 1 x2 2 x dx . x2 1 2 x dx p . 4 x2 0 1 0 e x p 1 e dx. 2.7 Integrales impropias 13 Ejercicios 2.7.1 Integrales impropias. Preguntas, página 6 1 1. Converge a . 3 2. Diverge a 1. 3. Converge a 2. 4. Diverge a 1. 5. Converge a 3. 6. Diverge a 1. 2 7. Converge a . e 8. Converge a 1. 14. Converge a . 4 9. Converge a 1. 1 . 2 10. Converge a 0. 15. Converge a 11. Converge a 2. 16. Converge a . 12. Converge a 2 8 13. Diverge a 1. . 17. Diverge a 1. 18. Diverge a 1. Ejercicios 2.7.2 Integrales impropias. Preguntas, página 11 1. Converge a 4. 2. Diverge a 1. p 3. Converge a 2 2. 4. Diverge a 1. 3 5. Converge a p . 3 2 6. Converge a 0. e2 . 4 1 Converge a . e Diverge a 1. Diverge a 1. Converge a . 2 Diverge a 1. 7. Converge a 8. 9. 10. 11. 12. 13. Converge a 0. 1 . 9 p 15. Converge a 2 1 14. Converge a e 1. 16. Diverge a 1. 17. Diverge a 1. 18. Converge a 2. 13