Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Quantil S.A.S. Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Abril - 2015 Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Referencias Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas 1 Pronóstico de Secuencias Individuales Ejemplo Básico - Caso General Formalización - Decisiones Secuenciales 2 Predicciones Ponderadas Predicciones Basadas en un Potencial Potencial polinomial Potencial exponencial Potencial variable en el tiempo 3 Aplicación en Quantil 4 Referencias Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Aplicación en Quantil Referencias Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Introducción Problema: predecir secuencias individuales {y1 , y2 , ...} que son el resultado de algún mecanismo desconocido que puede ser: Determinı́stico. Estocástico. Resultado de una reacción o adaptación al comportamiento del individuo que está prediciendo la secuencia. Este análisis se aleja de la aproximación tradicional en la que la secuencia observada es la realización de un proceso estocástico. No tengo una distribución de probabilidad para la secuencia. Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Ejemplo Básico - Caso General Descripción problema: Predecir secuencia {y1 , y2 , ...} de bits yt ∈ {0, 1}. En cada momento t, N expertos hacen sus pronósticos: vector binario (f1,t , ..., fN,t ), donde fi,t ∈ {0, 1}. En cada momento t, el jugador hace su pronóstico pbt ∈ {0, 1}, basado en las recomendaciones de los N expertos. Objetivo: acotar el número de errores del jugador pbt 6= yt . Suponemos que hay un experto i que no comete errores: fi,t = yi , ∀i, t. No sabemos cuál experto es. El jugador empieza asignando un peso wj = 1 a cada experto j = 1, ..., N . En cada momento t, el jugador predice pbt = 1 si el número de expertos j con wj = 1 y fj,t = 1 es mayor que el de aquellos con wj = 1 y fj,t = 0. Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Ejemplo Básico - Caso General Al ser revelado yt : si pbt 6= yt , entonces el jugador asigna el peso wk ←− 0 a todos aquellos expertos k tales que fk,t 6= yt . El jugador predice teniendo en cuenta los expertos que, hasta el momento t, nunca se han equivocado. Sea Wm la suma de los pesos de los expertos después de que el jugador ha cometido m errores. En t = 0: m = 0 y W0 = N . Cuando el jugador comete su error mth , al menos la mitad de los expertos que no se habı́an equivocado, cometen su primer error. Por lo tanto: Wm ≤ Wm−1 /2. Esta desigualdad se mantiene ∀m ≥ 1 ⇒ Wm ≤ W0 /2m . Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Ejemplo Básico - Caso General Experto i no comete errores (wi = 1) ⇒ Wm ≥ 1. W0 = N ⇒ 1 ≤ N/2m . Solucionando para m se obtiene: m ≤ log2 N . Se obtiene una cota superior para el número de errores, la cual depende del número de expertos N que se consideren para hacer las pronósticos. Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Ejemplo Básico - Caso General Caso General Mismo problema pero sin el supuesto de tener un experto que no cometa errores. Nuevo objetivo: relacionar el número de errores que comete el jugador con el número de errores que comete el mejor experto. Y acotar errores. Ya no tiene sentido asignar un peso wk ←− 0 al experto k que cometa un error (no tengo la certeza de que hay uno que nunca se equivocará). Cambio: wk ←− βwk , cada vez que el experto k cometa un error, donde 0 < β < 1 (parámetro libre). Cada vez que un experto cometa un error, se reduce su peso en un factor constante β. Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Ejemplo Básico - Caso General En cada momento t, el jugador predice pbt = 1 si el peso asignado a los expertos j con fj,t = 1 es mayor que el de aquellos con fj,t = 0. Cuando el jugador comete su error mth , el peso de los expertos incorrectos es al menos Wm−1 /2; mientras que el de los expertos correctos es como máximo Wm−1 /2. El peso de los expertos incorrectos es multiplicado por β, mientras que el de los correctos permanece igual. Por lo tanto: Wm ≤ Wm−1 /2 + βWm−1 /2. Esta desigualdad se mantiene ∀m ≥ 1, por lo tanto: Wm ≤ W0 (1 + β)m /2m . Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Ejemplo Básico - Caso General Sea l el experto que ha cometido la menor cantidad de errores cuando el jugador comete su error mth . Su número mı́nimo de errores se denota por m∗ y, por lo tanto, su peso actual es ∗ ∗ wl = β m . Entonces, Wm ≥ β m . ∗ Esto lleva a la desigualdad β m ≤ W0 (1 + β)m /2m . Con W0 = N y resolviendo para m, se obtiene: m≤ log2 N + m∗ log2 (1/β) log2 (2/(1 + β)) Para un valor dado de β, esta desigualdad establece una relación lineal entre el número de errores m cometidos por el jugador, después de cierta cantidad de pronósticos, y el número de errores cometidos por el mejor experto después de esa misma cantidad de pronósticos. Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Formalización - Decisiones Secuenciales Parámetros: D: espacio de decisión convexo. Y: espacio de resultados . l : D×Y → R: función de perdida (no negativa). E: conjunto de expertos. Número finito de expertos (1, ..., N ). Para cada perı́odo t = 1, 2, ...: Los expertos hacen sus pronósticos {fE,t ∈ D : E ∈ E} y son revelados al jugador (agente). 2 El jugador hace su predición p bt ∈ D una vez conocidos los pronósticos de los expertos. 3 La naturaleza (adversario) escoge el próximo resultado yt ∈ Y. 4 El jugador incurre en una pérdida l(b pt , yt ) y cada experto E en una pérdida l(fE,t , yt ). 1 Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Formalización - Decisiones Secuenciales La pérdida acumulada del experto E hasta el perı́odo n (LE,n ) se define como: LE,n = n X l(fE,t , yt ) t=1 bn . Análogamente, la pérdida acumulada del jugador es: L El arrepentimiento (acumulado) o regret RE,n del jugador con respecto al experto E, hasta el perı́odo n, se define como: b n − LE,n RE,n = L Y el arrepentimiento instantáneo se define como: rE,n = l(b pt , yt ) − l(fE,t , yt ) ⇒ RE,n = n X rE,t t=1 Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Formalización - Decisiones Secuenciales Objetivo del jugador: minimizar el arrepentimiento acumulado RE,n respecto a cada experto E, para toda realización posible de resultados. Por ejemplo: el objetivo podrı́a ser que para toda secuencia de resultados: Ri,n =0 lı́m máx n→∞i=1,...N n O de forma equivalente: 1 b lı́m Ln − mı́nLE,n → 0 n→∞ n E∈E Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Predicciones Ponderadas Una estrategia natural del jugador para hacer sus predicciones es asignar un promedio ponderado a los pronósticos de los expertos: N P pbt = wi,t−1 fi,t i=1 N P wi,t−1 i=1 donde wi,t−1 ≥ 0 son los pesos que se le asocian a cada experto en el momento t. La notación hace referencia a que los pesos deben escogerse con base en la información revelada hasta t − 1. pbt ∈ D: combinación de fi,t ∈ D. Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Si Ri,t−1 es grande entonces el experto i tiene una pérdida acumulada pequeña, por lo tanto, su peso asignado (wi,t−1 ) debe ser grande. En particular (por conveniencia), vamos a suponer que: wi,t−1 = φ0 (Ri,t−1 ) donde φ : R → R es una función no negativa, convexa y creciente. N P ⇒ pbt = φ0 (Ri,t−1 )fi,t i=1 N P φ0 (Ri,t−1 ) i=1 Alternativamente, se definirán cierto tipo de predicciones basadas en una función potencial. Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Predicciones Basadas en un Potencial Definición (Predicciones Basadas en un Potencial) Definamos la función potencial Φ : RN → R de la forma: ! N X Φ (u) = ψ φ(ui ) i=1 donde φ : R → R es una función no negativa, convexa, creciente y dos veces diferenciable y ψ : R → R es una función no negativa, estrictamente creciente, cóncava y dos veces diferenciable. Una predicción basada en el potencial Φ es una predicción de la forma: pbt = ∇Φ (Rt−1 ) · ft ,donde Rt−1 = (R1,t−1 , ..., RN,t−1 ) . N P ∇Φ (Rt−1 )i i=1 Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Predicciones Basadas en un Potencial ! N X Φ(Rt−1 ) = ψ φ(Ri,t−1 ) i=1 ∂Φ(Rt−1 ) ⇒ ∇Φ (Rt−1 )j = ∂Rj,t−1 ∇Φ (Rt−1 )i = ψ 0 ! N X φ(Ri,t−1 ) φ0 (Rj,t−1 ) i=1 N P ⇒ pbt = φ0 (Ri,t−1 )fi,t i=1 N P → Independiente de ψ φ0 (R i=1 Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos i,t−1 ) Referencias Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Predicciones Basadas en un Potencial Lema (Condición de Blackwell) Si la función de pérdida es convexa en el primer argumento entonces: sup rt · ∇Φ (Rt−1 ) ≤ 0 yt ∈Y Prueba. N X sup rt · ∇Φ (Rt−1 ) ≤ 0 ⇔ sup ri,t φ0 (Ri,t−1 ) ≤ 0 yt ∈Y yt ∈Y i=1 Usar desigualdad de Jensen para llegar a la segunda expresión. Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Referencias Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Predicciones Basadas en un Potencial El siguiente teorema aplica a cualquier tipo de pronóstico que satisfaga la condición de Blackwell y no únicamente a pronósticos ponderados. No requiere que φ sea convexa. Sea rt = (r1,t , ..., rN,t ) el vector de arrepentimiento instántaneo. Teorema Supongamos que los pronósticos de un jugador satisfacen la condición de Blackwell para cierto potencial Φ, entonces: n Φ (Rn ) ≤ Φ(0) + 1X C(rt ) 2 i=1 donde, C(rt ) = sup ψ 0 u∈RN Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos ! N N X X 2 φ(ui ) φ00 (ui )ri,t i=1 i=1 Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Predicciones Basadas en un Potencial Una aplicación del Teorema 1 es: Supongamos que φ es invertible. Entonces, como ψ es invertible por definición de función potencial, entonces: ! N X ψ φ máx Ri,n ≤ ψ φ (Ri,n ) = Φ(Rn ) i=1,...,N ⇒ máx Ri,n i=1,...,N ≤ i=1 φ−1 ψ −1 (Φ(Rn )) y Φ(Rn ) se puede limitar por la cota que arroja el teorema. Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Potencial polinomial Ejemplo (Potencial Polinomial) Considere el siguiente potencial denominado el potencial polinomial: !2/p N X Φp (u) = (ui )p+ = kukp+ i=1 donde p ≥ 0. Si calculamos los pesos, podemos ver que la predicción satisface: N P pbt = (Ri,t−1 )p−1 + fi,t i=1 N P (Ri,t−1 )p−1 + i=1 Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Referencias Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Potencial polinomial Corolario (Cotas para predictor polinomial) Supongamos que la función de pérdida l es convexa en su primer argumento y toma valores en [0, 1]. Entonces para todo n ≥ 1, p ≥ 2 y realización y1 , ..., yn ∈ Y, el arrepentiemiento del predictor polinomial satisface: q b Ln − mı́n Li,n ≤ n(p − 1)N 2/p i=1,...N b n − mı́n Li,n ≤ Si p = 2 ⇒ L i=1,...N √ nN Optimizar esta cota superior para el predictor polinomial, sugiere usar p = 2ln(N ) p b n − mı́n Li,n ≤ n(2ln(N ) − 1)e ⇒L i=1,...N Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Potencial exponencial Ejemplo (Potencial Exponencial) Considere el siguiente potencial denominado el potencial exponencial: ! N X 1 ηµi e Φη (u) = ln η i=1 donde η > 0. Si calculamos los pesos, podemos ver que la predicción satisface: N P pbt = e−ηLi,t−1 fi,t i=1 N P e−ηLi,t−1 i=1 Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Referencias Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Potencial exponencial Ventajas: La predicción solo depende del rendimiento pasado de los expertos y no de las predicciones pasadas del jugador como sı́ es el caso con predictores basados en otro potenciales. Los pesos satisfacen una recursión simple. wi,t = wi,t−1 e−ηl(fi,t ,yi,t ) N P wi,t−1 e−ηl(fi,t ,yi,t ) i=1 Desventajas: La elección óptima del parámetro η depende de n (número total de rondas de predicción). Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Referencias Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Potencial exponencial Corolario (Cotas para predictor exponencial) Supongamos que la función de pérdida l es convexa en su primer argumento y toma valores en [0, 1]. Entonces para todo n ≥ 1, η > 0 y realización y1 , ..., yn ∈ Y, el arrepentiemiento del predictor exponencial satisface: b n − mı́n Li,n ≤ ln(N ) + nη L i=1,...N η 2 Optimizarqesta cota superior para el predictor exponencial, sugiere ) usar η = 2 ln(N n p b n − mı́n Li,n ≤ 2n ln(N ) ⇒L i=1,...N Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Potencial exponencial La cota óptima encontrada para el predictor exponencial, puede ser mejorada a través del siguiente teorema: Teorema Supongamos que la función de pérdida l es convexa en su primer argumento y toma valores en [0, 1]. Entonces para todo n ≥ 1, η > 0 y realización y1 , ..., yn ∈ Y, el arrepentiemiento del predictor exponencial satisface: b n − mı́n Li,n ≤ ln(N ) + nη L i=1,...N η 8 r Si η = 8 ln(N ) b n − mı́n Li,n ≤ ⇒L i=1,...N n Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos r n ln(N ) 2 Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Potencial variable en el tiempo “Double-tricking” La cota del predictor exponencial depende del parámetro η, por lo tanto no se mantiene uniforme para secuencias de resultados de cualquier longitud, sino para una longitud determinada n. Esta desventaja puede solucionarse a través de una técnica conocida como “double-tricking”: Dividir el tiempo en perı́odos cuyas longitudes sean crecientes exponencialmente. Dentro de cada perı́odo se tienen varias rondas de predicción. En cada perı́odo se optimiza η para la longitud correspondiente. Los pesos pueden hallarse recursivamente dentro de cada perı́odo. Al finalizar el perı́odo, se reinician los pesos y se vuelve a optimizar η para el intervalo correspondiente. Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Potencial variable en el tiempo Usando la técnica de “double-tricking”, para todo n ≥ 1 y realización y1 , ..., yn ∈ Y, el arrepentiemiento del predictor exponencial satisface: √ r 2 n b Ln − mı́n Li,n ≤ √ ln(N ) i=1,...N 2−1 2 Esta cota es mayor que la cota óptima encontrada en el Teorema 2, √ 2 √ por el factor 2−1 ≈ 3,41. Para mejorar esta cota, se evita la técnica de “double-tricking”, y se recurre a funciones potenciales cuyos parámetros varı́an en el tiempo. Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Potencial variable en el tiempo Potencial variable en el tiempo q 8 ln(N ) Cuando η = obtengo la mejor cota no-uniforme para el n predictor exponencial. Por lo tanto, una forma de escoger el potencial exponencial con parámetro variable en el tiempo es: r 8 ln(N ) ηt = t donde t es el número de la ronda de predicción en que nos encontramos. La cota óptima está dada por el siguiente teorema: Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Potencial variable en el tiempo Teorema Supongamos que la función de pérdida l es convexa en su primer argumento y toma valores en [0, 1]. Entonces para todo n ≥ 1, q ) y realización y1 , ..., yn ∈ Y, el arrepentiemiento del ηt = 8 ln(N t predictor exponencial satisface: r r n ln(N ) b n − mı́n Li,n ≤ 2 L ln(N ) + i=1,...N 2 8 Esta cota es menor que la encontrada a través de la técnica de “double-tricking”. Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Aplicación en Quantil Modelo de optimización de portafolio (CARM): generación de views como uno de los inputs fundamentales del modelo. Variable a pronosticar: precio objetivo de cada acción (view). Expertos: analistas (empresas) que reportan precios objetivos para cada acción. Por definir: Tipo de predictor. Función de pérdida para evaluar precisión de los pronósticos. Horizonte de evaluación de los pronósticos (¿Precio objetivo a cuánto tiempo?). Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Tipo de predictor Predictor exponencial con parámetro variable en el tiempo: El precio objetivo en cada ronda de predicción (pt ) estará dado por: N P pbt = e−ηt Li,t−1 fi,t i=1 N P r , ηt = e−ηt Li,t−1 8 ln(N ) t i=1 Donde, N : número total de analistas (empresas) por acción. fi,t : precio objetivo del analista i en cada ronda de predicción. Li,t−1 : pérdida acumulada del analista i hasta la ronda de predicción t − 1. Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Función de pérdida Según revisión de literatura, algunas medidas propuestas para determinar la precisión en los precios objetivos de los analistas son: Bilinski et al.(2012) - Target Price Accuracy: International Evidence. M et − Any: variable indicadora que es igual a 1 si el precio de la acción toca el precio objetivo en cualquier momento hasta un perı́odo de 12 meses. rev | aT P E = |T P −P , P0 donde T P :precio objetivo, P12 :precio de cierre en 12 meses, P0 :precio de cierre en fecha de emisión del precio objetivo. Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias M et − Any − rev: variable indicadora que es igual a 1 si el precio de la acción toca el precio objetivo desde la emisión del precio objetivo hasta el momento de la actualización. 12 | aT P E − rev = |T PP−P , 0 donde T P :precio objetivo, Prev :precio de cierre en fecha de actualización, P0 :precio de cierre en fecha de emisión del precio objetivo. Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Bradshaw et al.(2012) - Analyst Target Prices and Forecast Accuracy around the World. Clasifican los pronósticos de precio objetivo en: compra (si T P > P0 ) y venta (si T P ≤ P0 ). Acc12: porcentaje de dı́as, entre la fecha de emisión del precio objetivo y la fecha en la que se cumpla el horizonte de 12 meses, en los que el precio de la acción es mayor que el precio objetivo si es señal de compra (o menor si es señal de venta). También lo analizan para un horizonte de 3 y de 6 meses (para tener en cuenta las actualizaciones del precio objetivo). T P M et = M et − Any. Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Kerl (2010) - Target Price Accuracy. AM = |T P −P12 | TP |T P −P12 | TP AM − Adj = 1 − V olatility Estas medidas pueden ajustarse en caso de una actualización del precio objetivo del analista, según lo propuesto por Bilinski et al.(2012). Sugerencia: realizar ejercicio de pronóstico con las medidas: aT P E(Bilinski), AM y AM − Adj (Kerl), teniendo en cuenta el ajuste en caso de actualización del precio objetivo antes del horizonte de 12 meses, propuesto en Bilinski (2012). Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos Pronóstico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicación en Quantil Referencias Cesa-Bianchi N., Lugosi G., (2006). Prediction, Learning, and Games. Bilinski P., Lyssimachou D., Walker M., (2012). Target Price Accuracy: International Evidence. Kerl A., (2010) - Target Price Accuracy Bradshaw M., Huang A., Tan H., (2012) - Analyst Target Prices and Forecast Accuracy around the World Adrian Visbal - Quantil S.A.S. Pronósticos con Recomendaciones de Expertos