Para qué se modula? Fundamentos de Modulación Digital Comunicación Digital Fabio G. Guerrero Universidad del Valle Para obtener tamaños de antena razonables en una radio transmisión. (Ej: las antenas para teléfonos celulares tienen típicamente longitud λ/4). Para compartir un mismo medio de transmisión, por ejemplo, el espectro electromagnético (FDM). Para minimizar los efectos de la interferencia. Para poner una señal en una banda de frecuencia donde los requerimientos de diseño (e.g. filtrado y amplificación) puedan cumplirse con mayor facilidad. Para aumentar la eficiencia espectral y aprovechar al máximo la capacidad de un canal. 1 Técnicas de Modulación Digital Pasabanda Propiedades deseables Densidad Espectral de Potencia compacta (eficiencia de ancho de banda). Lóbulo principal angosto y curva de caida de lóbulos laterales rápida. Buen desempeño BER (Bit Error Rate) en presencia de AWGN, interferencia cocanal, canales adyacentes, fading, ISI, etc. Propiedades de la envolvente. La envolvente de la señal modulada debe ser relativamente constante. 2 La modulación pasabanda se puede definir como el proceso mediante el cual la amplitud, frecuencia, o fase de una portadora de RF, o una combinación de estas, es variada de acuerdo a la información a transmitir. s t = At cos t t = 0 t t s t =Re [ At e 3 j 0 t ]=At cos [ 0 t t ] 4 Coeficiente de Amplitud Detección Coherente vs No coherente El coeficiente de amplitud que aparece en las expresiones analíticas siguiente se deriva así: Detección coherente: cuando el receptor explota el conocimiento exacto de la fase de la portadora para detectar las señales. Entre los esquemas de este tipo están: PSK, FSK, ASK, CPM, y combinaciones híbridas. Detección no coherente: cuando la demodulación se realiza sin usar el valor de la fase de la señal de entrada. Entre los esquemas de este tipo están: DPSK, FSK, ASK, CPM, e híbridos. s t = A cos t A es valor pico de la onda, por tanto s t = 2 Arms cos t= 2 A 2 rms cos t A2rms representa la potencia normalizada. Así: s t= 2 P cos t= 2E cos t T 5 Amplitude Shift Keying 6 OOK La expresión analítica general para ASK es: s i t = 2 E i t T cos 0 t 0t T i=1, , M ASK binario (a.k.a OOK) fue una de las primeras formas de modulación digital empleadas. 7 Fuente: Digital Communications. Glover&Grant. Prentice Hall, 1998 8 Frequency Shift Keying La expresión analítica general para la modulación FSK es: s i t = 2E T cos i t 0t T i=1, , M 9 Fuente: Digital Communications. Glover&Grant. Prentice Hall, 1998 10 Fuente: Digital Communications. Glover&Grant. Prentice Hall, 1998 12 Phase Shift Keying PSK se desarrolló a los inicios del programa deep-space. Hoy en día es ampliamente utilizado en sistemas de comunicaciones comerciales y militares. s i t = 2E T [ ] cos 0 t i t i t = 2i 0t T i=1, , M i=1, , M M 11 Amplitude Phase Keying Constelación de fase 8-PSK Q 0.0000 + 1.0000i -0.7071 + 0.7071i -1.0000 + 0.0000i -0.7071 - 0.7071i Es una combinación de ASK y PSK. La expresión analítica general es: s i t = 0.7071 + 0.7071i 2 E i t T [ cos 0 t i t ] 0t T i=1, , M 1.0000 + 0.0000i I 0.7071 - 0.7071i -0.0000 - 1.0000i 13 14 Mínima separación y BW en MFSK Detección de señales en AWGN El modelo pasabanda del proceso de detección es virtualmente idéntico al modelo banda base. Esto se debe a que una onda pasabanda recibida se transforma primero en una onda bandabase antes de que tenga lugar el paso final de detección. Para sistemas lineales, las matemáticas de la detección no cambian por un desplazamiento en frecuencia. Muchos sistemas de comunicación digital se describen y analizan como si fueran bandabase. 15 El BW de la señal en FSK significa la cantidad de espectro que debe estar disponible para el conjunto Mario completo de tonos (fi). Para tonos adyacentes el espectro de un tono tiene ½ 1/T de espectro en los tonos a cada lado. Por lo tanto el BW de señalización es igual al espectro que separa el centro de los tonos más ½ 1/T a cada lado. Para el caso M-ario entonces el BW para MFSK ortogonal con detección no coherente es M/T. 16 Separación entre tonos FSK coherente Se puede probar que el mínimo espaciamiento entre tonos para FSK coherente es f 1 f 2= Desempeño de Error Sistemas Binarios 1 La probabilidad de que el detector de un receptor tome una decisión incorrecta se denomina: probabilidad de error de símbolo (PE). Es conveniente especificar el desempeño de un sistema por su probabilidad de error de bit (PB) aun cuando las decisiones se tomen sobre símbolos para los cuales M > 2. 2T Por lo tanto para la misma rata de símbolos FSK con detección coherente puede ocupar menos BW y mantener todavía una señalización ortogonal. El conocimiento de la fase de la señal hace menos exigente el requerimiento de separación de tonos. El BW para el conjunto de señalización M-ario en este caso será M/2T. Para el caso binario, por supuesto, PB = PE . 17 Eficiencia Espectral C R = [bps/Hz ] W W E b SNR S W = = N0 N R Recordemos: RC 18 PB para BPSK Coherente Se asumen señales equiprobables y solamente degradación AWGN: P B=Q 2 Eb N0 Eb es la energía promedio de la señal por bit. Este resultado de BPSK pasabanda es igual a la ecuación de detección óptima para señalización antipodal en general. 20 PB FSK Binario Coherente PB FSK Binario No coherente Para el caso de señales ortogonales tales como FSK binario (BFSK): Se asume un conjunto {si(t)} de señales binarias FSK ortogonales igualmente probables: P B=Q Eb El detector tiene M = 2 canales de filtros pasabanda y detectores de envolvente. En este caso el mínimo BW de los filtros para que no exista ISI es Wf = R bps = 1/T. N0 Este resultado es igual al que se obtuvo en el caso de detección óptima binaria de señales ortogonales en bandabase (pulsos unipolares). Este resultado también aplica a la detección óptima de señales ASK puesto que los si(t) son ortogonales. 21 1 Eb P B= exp 2 2 N0 donde Eb = ½ A2T es la energía promedio por bit. 22 Bit Error Probability BEP BEP BFSK coherente BFSK no coherente BPSK coherente Eb/N0 23 Fuente: Digital Communications. B.Sklar. 2002 24 PB DPSK binario Se puede ver que para la misma PB (10-4 ), FSK no coherente requiere aproximadamente 1 dB más Eb/N0 que FSK coherente. Sea el conjunto de señales BPSK: Casi todos los receptores FSK usan detección no coherente porque es más fácil de implementar. x 1 t = La ecuación de PB descrita en la ecuación anterior es igual a PB para detección no coherente de señales OOK (ASK). x 2 t = 25 Con DPSK la información se codifica en la similitud o diferencia entre símbolos adyacentes. N0 cos 0 t ± 0tT 0 t 2 T s 2 t = x 1 , x 2 ó x 2 , x 1 0 t 2 T { { I: Q: s 2 t Algunas veces se usa codificación diferencial y detección coherente para evitar esto. En este caso: [ ] T 0tT s1 t = x 1 , x 1 ó x 2 , x 2 s 1 t Algunas veces las ondas del canal sufren inversión, por ejemplo cuando se usa una referencia coherente generada por un PLL. 1Q 2E cos 0 t 26 Se necesita un detector de energía sobre 2T donde las señales de referencia I y Q ocurren en pares: PB para DPSK Detección Coherente 2 Eb T En DPSK los datos van en la diferencia de fase entre señales recibidas sucesivamente, es decir realmente cada bit se transmite con el par de señales: En la próxima sección se verá que entre FSK ortogonal no coherente y DPSK no coherente existe la misma diferencia de 3 dB que existe entre FSK y PSK coherentes. P B=2 Q 2E I: Q: } 2 /T cos t , 2 /T cos t 2 /T sin t , 2/T sin t 2/ T cos t , 2 /T cos t 2 /T sin t , 2 /T sin t 0 0 0 0 0 0 0 0 } Este DPSK es un esquema de detección no coherente ortogonal, donde los si(t) tienen sobre 2T el doble de energía que una señal definida sobre T. Por tanto, 2 Eb N0 27 Eb 1 P B= exp 2 N0 28 BEP DPSK BEP Para PB 10-4 , DPSK requiere aprox, 1 dB más Eb/N0 que PSK. Es más fácil implementar un sistema DPSK que un sistema PSK ya que el receptor DPSK no necesita sincronización de fase. Por este motivo, aunque DPSK es menos eficiente, algunas veces se prefiere sobre PSK. La especificación Bluetooth define GFSK para R = 1 Mbps, (π/4-DQPSK) para R = 2, 8DPSK para R = 3 Mbps. DPSK coherente DPSK no coherente Eb/N0 29 30 31 32 Resumen PB esquemas binarios Curva ideal de PB Para PB = 10-4 existe una diferencia de 4 dB entre el mejor esquema (PSK coherente) y el peor (FSK no coherente ortogonal). En algunos casos 4 dB es un precio bajo que se paga por la simplicidad de la implementación. En otros casos, aún un ahorro de 1 dB vale la pena. Se ha visto que las curvas típicas de PB vs Eb/N0 para distintos esquemas de modulación digital binarios en AWGN tienen forma de cascada. Cuál debería ser la curva ideal de PB vs Eb/N0? Además de PB y la complejidad del sistema existen otras consideraciones. Por ejemplo, en canales con fading es más deseable un receptor no coherente porque puede ser difícil establecer y mantener una referencia coherente. La característica ideal se conoce como el límite de Shannon. El límite representa el umbral de Eb/N0 debajo del cual no se puede mantener una comunicación confiable. 33 34 Señalización M-aria Eb El procesador toma k bits a la vez e instruye al modulador para producir una de M = 2k ondas. La señalización M-aria mejora o degrada el desempeño de error? (la respuesta a esta pregunta no es simple). Para esquemas de detección coherente M-arios ortogonales (e.g. MFSK) a medida que k (o M) aumenta las curvas se mueven en dirección de la curva ideal. Para esquemas de señalización de fase múltiple con detección coherente (e.g. MPSK) las curvas se mueven en dirección opuesta a la curva ideal. 2 1 N0 2 1 =ln 2 lim 0 35 36 PB señalización ortogonal M-aria detección coherente PB señalización fase múltiple detección coherente E b SNR S W = = N0 N R 37 38 Vista vectorial de MPSK Es/N0 fijo n es el mínimo vector de ruido que haría que el detector tome una decisión errónea. 39 Al aumentar M el sistema se vuelve más vulnerable al ruido, se necesita menos energía para causar un error. 40 trade-off básico en MPSK: juntar más vectores en el espacio de señal es similar a aumentar la rata de datos sin aumentar el BW del sistema. Es decir, aumenta la eficiencia en BW a expensas del desempeño de error. Vista vectorial de MFSK Como se puede recuperar el desempeño de error? Rta./ Aumentando el tamaño de los vectores. En resumen: al aumentar M aumenta la eficiencia en BW a expensas del desempeño de error, o, si no se desea degradar PB , a expensas de Eb/N0. 41 En MFSK, al aumentar M las señales NO se vuelven más vulnerables a vectores de ruido cada vez más pequeños como en MPSK. A medida que M aumenta la distancia entre un vector de señal prototipo y cualquier frontera de decisión permanece constante. 42 Probabilidad de error de símbolo vs SNR para señalización FSK coherente Entender cómo aumenta PB al aumentar M se facilita observando la curva de probabilidad de error de símbolo (PE) vs SNR sin normalizar. Se ve que al aumentar M las curvas se desplazan en dirección opuesta a la curva ideal. (Hay algo anormal aquí?) Las señales no se vuelven más vulnerables a vectores de ruido más pequeños pero al aumentar M se introducen más regiones de decisión. 43 44 Al aumentar M, el número de formas en que se puede cometer un error aumenta. Existen (M-1) formas de cometer un error de símbolo. Una SNR fija significa una cantidad fija de energía por símbolo. Al aumentar M esta energía debe dividirse entre un mayor número de bits. El mejor desempeño de error al aumentar M se manifiesta cuando se considera Eb/N0. PE vs SNR señalización ortogonal En este caso, estando SNR fija, al aumentar M la Eb/N0 requerida (para una PB dada) se reduce. 45 Eb N0 = S W R= N R log 2 M = T 46 k T W es el BW de detección y T es la duración de un símbolo. Entonces: Eb N0 = S W N R = S WT N log 2 M = S WT N k Para FSK, W (en Hz) es típicamente igual en valor a la rata de símbolos 1/T, es decir WT 1. Por tanto: Eb N0 S 1 Eb N k N0 47 S N 1 k = 20 1 10 = 2ó 3 dB 48 En sistemas de comunicación digital el desempeño de error se considera casi siempre en términos de Eb/N0, ya que esto permite una comparación útil entre sistemas. La curvas de PE vs SNR se ven muy raras veces. Una analogía para señalización ortogonal puede ser: al comprar al por mayor, el precio del contenedor (SNR) aumenta, pero el precio por bit (Eb/N0) disminuye . PE para MPSK Para razones energía-ruido grandes, PE(M) para PSK M-ario detección coherente se puede aproximar por: P E M 2 Q 2 Es M sin N0 Es = Eb (log2M) es la energía por símbolo. En la señalización ortogonal al usar símbolos que contienen más bits se necesita más potencia (más SNR) pero el requerimiento por bit (Eb/N0) disminuye. Para DPSK M-ario con Es/N0 grande: P E M M 1Q 49 Es N0 50 PE para MFSK PE para señalización equiprobable ortogonal M-aria con detección coherente está limitada por: PE(M) MPSK detección coherente P E M M 1Q Es N0 Es = Eb (log2M) es la energía por símbolo. PE para señalización equiprobable ortogonal M-aria con detección no coherente está dada por: P E M = 51 1 M exp E s N0 M 1 j j=2 m exp j Es j N0 52 M! m = j! M j ! j es el coeficiente binomial estándar el cual da el número de formas en las cuales j de M símbolos pueden estar erróneos. PE señalización M-aria ortogonal con detección coherente Para el caso binario la expresión general se reduce a : Eb 1 P B= exp 2 2 N0 Al comparar PE(M) MFSK no coherente con su equivalente coherente se puede ver que para k > 7 la diferencia es despreciable. 53 54 PB vs PE para señales ortogonales Se puede mostrar que la relación entre PB y PE para un conjunto de señales ortogonales M-ario es: PE señalización M-aria ortogonal con detección no coherente PB PE = 2 k 1 k 2 1 = M /2 M 1 Cuando k aumenta, en el límite se tiene: lim k 55 PB PE = 1 2 Con OS (como FSK) un error de decisión transforma una decisión correcta en una de (M-1) señales incorrectas con igual probabilidad. 56 PB vs PE para MPSK Que un símbolo esté erróneo no significa que todos los bits sean erróneos. Por ejemplo, si el símbolo 011 es confundido con 111, sólo un bit será erróneo. En este caso los vectores de señal no son equidistantes entre sí como el caso anterior: Para M > 2, PB será siempre menor que PE. En este ejemplo: PB PE = 2 k 1 k 2 1 = 4 7 57 De ocurrir un error, un vector de señal será confundido con más probabilidad con sus vecinos más cercanos. (Ej: 011 010 ó 100). 58 Efectos de ISI La probabilidad de que 011 sea confundido con 111 es relativamente remota. En esquemas no ortogonales como MPSK se usa con frecuencia el código Gray de modo que un símbolo erróneo afecte la menor cantidad de bits. Hasta ahora en este análisis siempre se ha asumido que no existe ISI, solamente AWGN. En la práctica, ISI es con frecuencia una segunda fuente de interferencia. Esta puede ocurrir, por ejemplo, por el uso de filtros limitadores de banda en la cadena T/C/R. Usando el código Gray se puede mostrar que: P B BPSK: PE = PB QPSK: PE 2 PB PE log 2 M para P E 1 59 El resultado es una degradación de PB, tanto en detección coherente como no coherente. Calcular PB en presencia de ISI es mucho más complicado porque involucra hc(t). 60 BPSK 180o 61 62 63 64 PSD 8-PSK PSD para GMSK 65 66 16-QAM QAM Q Los sistemas QAM muestran una ventaja definitiva en potencia sobre los sistemas PSK cuando el número de bits por símbolo debe ser mayor que tres (3). -3 + 3i Desde el punto de vista de la capacidad del canal los sistemas QAM hacen un uso más eficiente del canal para relaciones señal a ruido moderadas a grandes. -3 + 1i Es uno de los esquemas de modulación más ampliamente usados en la actualidad. Por ejemplo, Los estándares IEEE 802.11n, IEEE 802.16e definen: BPSK, QPSK, 16QAM y 64-QAM. 3GPP2 C.S0084-001-0 v2.0: QPSK, 8-PSK, 16-QAM, and 64-QAM modulation. -3 3 1 I -1 1 3 -1 -3 67 68 Pb QAM Ejemplo 4-QAM >> qammod(0,4) -1.0000 + 1.0000i >> qammod(1,4) Pb= -1.0000 - 1.0000i Para una constelación QAM rectangular, asignación Gray: >> qammod(2,4) 2 1 1 Q k M 3k E b M 1 N 0 1.0000 + 1.0000i >> qammod(3,4) 1.0000 - 1.0000i 69 70 Porqué QAM? 71 72 El concepto de modulación adaptativa Referencias Codificación Modulación Canal Fading Detección B. Sklar. Digital Communications: Fundamentals and Applications. 2nd Edition. Prentice Hall. 2001. Estimación canal Adaptación Rate/Power Predicción canal 73 74