[E(X)] 2 - Gigliola Oyarzo

Curso: Inferencia estadística
Profesor: Gigliola Oyarzo.
Existen dos aspectos que caracterizan de forma simple el comportamiento de la
distribución de probabilidad, porque proporcionan una descripción completa de la
forma en que se comporta: la medida de tendencia central y la de dispersión.
Valor esperado
En una distribución de probabilidad al promedio se le llama “ Valor esperado” o
“Esperanza” y se determina de la misma forma que en una distribución de
frecuencias relativas
El valor esperado o esperanza es muy importante, ya que es uno de los
parámetros que describen una variable aleatoria.
Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidades f(x). Entonces,
el valor esperado de la variable aleatoria X, el cual se representa por E(X), está
definido por:
E(X) =  xi f(xi)
El valor esperado representa el valor promedio que se espera suceda, al repetir el
experimento en forma independiente una gran cantidad de veces
Ejercicio
Si se lanzan dos dados legales, encontrar el valor esperado.
Varianza
La variancia o por la desviación estándar, evalúan la dispersión de la distribución
de probabilidad o grado en que se separan del promedio los valores de la variable
aleatoria X.
Para calcular la varianza
Primero debemos calcular
E( X2)
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 xi2 f(xi) = E( X2)
Y la varianza es
V(X) = Var (X) = E( X2) - E(X)2 = E( X2) - 2
Y la desviación estándar es:
La desviación estándar de una variable aleatoria X se define y simboliza como:
=
Ejercicio
1. Consideremos la distribución de probabilidad de las ventas semanales de
unidades de alta fidelidad de la marca A, en la ya vimos que:
X = xi
0
1
2
3
4
5
f(x)
0.1
0.1
0.2
0.3
0.2
0.1
Encontrar la varianza y la desviación estándar.
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La distribución binomial o de Bernoulli
La distribución binomial está asociada a experimentos del siguiente tipo:
- Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos sólo la
posibilidad de ´éxito o fracaso.
- La obtención de éxito o fracaso en cada ocasión es independiente de la
obtención de éxito o fracaso en las demás ocasiones.
- La probabilidad de obtener éxito o fracaso siempre es la misma en cada ocasión.
Definición de distribución binomial:
Si realizamos n veces un experimento en el que podemos obtener ´éxito, E, con
probabilidad p y fracaso, F, con probabilidad q (q = 1 − p), diremos que estamos
ante una distribución binomial de parámetros n y p, y lo representaremos por
Bin(n;p). En este caso la probabilidad de obtener k ´éxitos viene dada por:
Media
Varianza
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Ejercicios
1. Tiramos un dado 7 veces y contamos el numero de cincos que
obtenemos. ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres cincos?
2. Supongamos que la probabilidad de que una pareja tenga un hijo o una
hija es igual. Calcular la probabilidad de que una familia con 6
descendientes tenga 2 hijos.
3. La probabilidad de que un alumno de 2º de Bachillerato apruebe las
Matemáticas es de 0,7. Si consideramos un grupo de 8 alumnos. ¿Cuál
es la probabilidad de que cinco de ellos aprueben las Matemáticas?.
.¿Cuál es la probabilidad de que aprueben como mucho 2 alumnos?.
.¿Cuál es la probabilidad de que aprueben entre 3 y 6 alumnos (inclusive)?.
4. Los alumnos de cierta clase se encuentran en una proporción del 67%
que estudian inglés y el resto francés.
Tomamos una muestra de 15 alumnos de la clase, calcular:
a) Probabilidad de que al menos encontremos tres alumnos de
inglés.
b) Probabilidad de que los 15 alumnos estudien inglés.
c) Probabilidad de que estudien inglés entre 7 y 10 alumnos.
5. Todos los días se seleccionan de manera aleatoria 15 unidades de un
proceso de manufactura con el propósito de verificar el porcentaje de
unidades defectuosas en la producción. Con base a la información, la
probabilidad de obtener una unidad defectuosa es 0,05.
La gerencia ha decidido detener la producción cada vez que una
muestra de 15 unidades tenga dos o mas unidades defectuosas ¿Cuál es la
probabilidad de que la producción se detenga?
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6. La probabilidad que un satélite después de colocarlo en orbita funciones
de manera adecuada es de 0,9. Supóngase que de estos 5 que se
colocan en orbita y operan de manera independiente ¿Cuál es la
probabilidad de que por lo menos el 80% funcione adecuadamente?
7. Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a
errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5
accidentes, determine la probabilidad de que;
a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos
b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo
humano
c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos.
8. Si la probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio
de cubierta delgada a 10 atm de presión es de 0.40, si se prueban 12
tubos de ese tipo y bajo esas condiciones, determine la probabilidad de
que:
a) el vapor se condense en 4 de los tubos
b) en más de 2 tubos se condense el vapor
c) el vapor se condense en exactamente 5 tubos.
9. La probabilidad de que el nivel de ruido de un amplificador de banda
ancha exceda de 2 dB (decibeles) es de 0.15, si se prueban 10
amplificadores de banda ancha, determine la probabilidad de que
a) en solo 5 de los amplificadores el nivel de ruido exceda los 2 dB
b) por lo menos en 2 de los amplificadores, el ruido exceda de 2 dB,
c) que entre 4 y 6 amplificadores no se excedan de los 2 dB
d) Encuentre el número esperado de amplificadores que se exceden de
un nivel de ruido de 2dB y su desviación estándar.
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Distribución de Poisson
Existen fenómenos o experimentos en los que los eventos ocurren en intervalos
continuos de tiempo o espacio (áreas y volúmenes), donde sólo importa la
ocurrencia del fenómeno, ya que la no ocurrencia no tiene sentido. Por ejemplo,
si en cierta región ocurren en promedio 2 terremotos por año, la variable aleatoria
será el número de terremotos por año y es claro que no tiene sentido hablar del
número de no terremotos por año.
La distribución de Poisson ha sido aplicada a muchos procesos en los que
ocurren determinados sucesos por unidad de tiempo, espacios, volumen,
longitud etc.
o n° de accidentes por semana
o n° de personas que llegan aun banco a solicitar servicios
o n° de defectos de una tela por m2
o n° de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto.
o n° de bacterias por cm2 de cultivo
o n° de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto,
o n° de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes.
La distribución de Poisson está caracterizada porque sus respuestas
están orientadas a darle solución a problemas que se refieren al n° de
éxitos esperados por unidad de tiempo o espacio.
Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo,
área, o producto, la fórmula a utilizar sería:
Esperanza: E(X) = λ.
Varianza: V(X) = λ.
donde:
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p(x, λ) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio
de ocurrencia de ellos es l
l = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto
e = 2.718
x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra
Ejercicios
1. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son
las probabilidades de que reciba,
a) cuatro cheques sin fondo en un día dado,
b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?
2. En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo,
se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las
probabilidades de identificar
a) una imperfección en 3 minutos
b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos
c) cuando más una imperfección en 15 minutos.
3. La probabilidad de tener un accidente de tráfico es de 0,02 cada vez que se
viaja, si se realizan 300 viajes, ¿cual es la probabilidad de tener 3
accidentes?
4. La probabilidad de que un niño nazca pelirrojo es de 0,012. ¿Cuál es la
probabilidad de que entre 800 recien nacidos haya 5 pelirrojos?
5. Cierta enfermedad tiene una probabilidad muy baja de ocurrir, p=1/100.000.
Calcular la probabilidad de que en una ciudad con 500.000 habitantes haya
más de 3 personas con dicha enfermedad. Calcular el número esperado de
habitantes que la padecen.
6. Un entomólogo examina una planta de algodón y cuenta el número
de huevecillos de un insecto por planta. De estudios anteriores se sabe que
bajo las condiciones del experimento el número de huevecillos por planta
puede representarse por una distribución de Poisson con  = 0.9. Si se
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selecciona una planta al azar, calcular la probabilidad de que se encuentren
cuando mucho 3 huevecillos.
7. Suponga que el n° de llamadas que llegan a una central es de 0,5 por
minuto en promedio. Halle la probabilidad de que
a) En 1 minuto no lleguen llamadas
b) En 1 minuto lleguen mas de tres llamadas
c) En 3 minutos lleguen menos de 3 llamadas
d) Cuantas llamadas se espera que lleguen en 5 minutos.
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