(rssN-0716-0348) Apuntesde Ingenieria47 (1993)29-38 OBSERVACIONESSOBRE LA ACTIVIDAD MATEMATICA Leopoldo Bertossi D. Dr. Mat. (*) RESUMEN Este articulo hace algunos alcancessobre la inserci6nde la y sobrela naturalezadel actividadmatemdticaen el contextoculturalgeneral "universalidad". Tambi6n conocimientomatemdtico,en especialsobre Su a los que se ven enfrentados muestraciertostiposde problemasmatem6ticos aquellosm 6s i n te re s a d o se n l o s fu n d a mentosde su 6rea de trabaj o. y las posibilidades discutenuevastendenciasen la matem6tica Finalmente con a trav6sde su disciplina, que hay para el matem6tico de comunicarse, y profesionales de otrasdreasdel conocimiento. cientfficos ABSTRACT sn the role of T h i s a r t i c l e p r e s e n t ss o m e c o n s i d e r a t i o n o and aboutthe natureof activityin the generdlculturalcontext mathematical In addition,some knowledge,speciallyaboutits "universality". mathematical in the problemsconfronted by thosewho are interested kindsof mathematical o f th e d i s c i p l i n ae re s h o w n . F i n al l y,new trendsi n mathemati cs loundat ions a n d t h e p o s s i b i l i t i e sf o r t h e m a t h e m a t i c i a tno c o m u n i c a t et h r o u g h of othprareasof knowledgeare with scientists and profesionals mathematics discussed. (*) Depto.Cienciade la Computaci6n.P. U. Cat6licade Chile. Casilla306, Santiago' Chile. I I ) ) ) ) I I , I a I I I l t ! u LU ? B Ll e a A 6 c tj F [J ilti p E l11 u. i, Itl, 08 sopesn sopolgulsol A sguode[un rod seyelqncsspspct]gula]pusapepra^ pcllguraler!pl sp pepllecI pepr]uecel retre^g.tpod'laersl segorad 'eprcnpo.rd sp Bcllgureleu ec!6gl ap Blencsae; I esacuerl ppplllqeqord ap elancse el uatslxaloq { 'ece;odelancsspl 'prueuralvua 'ua6uruaogap Blancsapl oruocsa lsv 'selancsa ap salue etseLluo.rarlsrxa lerpunureran6 epun6esel'seuol sol JPUPA u9jpod 'eusluJEl se salEluatro sepeurpllsel asopu9ur.rol I soedorne'souecuetle uelloiJBsepenb ectlgulalet! el 'peprlesJa^run eun ap ezo6 ectlguialeu e1lectst:tulel A ugt0tlate; ap Eurol Bclls1JalceJec 'efenOua; ouloc'spllgap seqcnu uoc elselluocua 'aluBlsqooN 'salelnlnc le sauorcelsalruet!sBJlo alqos rcap souapod oulsLu olsa aluaulalqeqold 'eseu uer O el rod Bprcouoc s apI orl druesgLl r o61e odnr0 u n l o d un rod epe^rllnc'lplnllncugtcelsalrueur epesn 'seuosradap odnrOoprcnpoJ Eun sa EcrlgulalEuBl 'oluauJouolupopesardxaol ap resad y 'agq;sod Bl Bu^asalpncsol ap e1:or{eu sa sal spuop elseq Bctlgualeu,J sol e unBsolsg allua opuaAn;cut Bl 'selcexasercuarcseJloua selsr;egcadsa 'ecrlgualeurBl e aluar.uerdord uecrpapas ou anb so; e alqrnbaseolsa opol JaceqllcJllpoptsBt{ a}uauileuotctperl'Bctucglege A se}cexasetcuatc 'sepeJluocua sel B pegllln uerOeun elserdBcrlgualeu El 'aluaulleuorcrpv ua l tu :a d apuop alqelo6euroual ial un uauarl'opol ai qos ' I se;rttqncsap JBproqEered seurol A ofeqerlap sopol?u satuesalalur se1enb seura;qord ap 'secrl-Buralpur sapepJoAsaluapuaJdrosA sesorlroq op salopeasod sol opuencune 'socrlglria]pul uos 'lenlcalalurpepeloselso ueluauruadxe 'leJnllncoluarurplsre s;1 alsa ua enrnBcrlgualeue; anb alqpluaurel 'uueunaNuo^ 'u aql tH' uueutatu' ssnec ap Je l q e q el opaog elalduoc sgru Bl ua uacauerlJad'sa;e1ap opro uer.lsolugn3? 'peprJncsqo ns Bue6auarpeusalencsol E 'socllgulaler!sapuel0ap sa.tquiou ugrcrpuoc 'oO requaurS ' ocr lgural eui uanq un anl ug rqrl elanb oerc el uau;e u o sta d 'une sgur 'oc rsJ luerO un anl ural sutf 'p pnp ul S ' utol sutf e au o tcu a u l enb sa alqeqordsgur ol 'ocrlguraleuuer6 un e eJqlrlouanb ecr]guia]eur ua o6al uarnO;ee ep;d al as r s ' anb Jp cel sapal upsal al ursf 'eJnllnc el ap aUed plrilol ou elsg ',,18Jn11nc' elsrnap olundla apsap'ectlgulalBue1tod oladsat eytlauoa6 alueredeun alsrxaanb ep resad V 'Bclsgqerqa6lgI legueruapa 'leJnilnco:icadsaalsa uf el aceredeou aluautaldurs etarnbrsru :ecrlgLualeur '(peprnrlelar gleto)EurapouecrsJlop seaptseun6;erezoqsoepend,{ 'ettolstq 'ugrOq; ar ap o61eoqes ' ol afuer lx aeul otptuq6;eeutuop ' sguape ' ts B l l n c 'e11oso1r; ,( soldacuoc I elOolocrsd ua soJqruou Anu eraprsuoc aS 'ejurouoca ap sogcadseuatq aluauJentlela.l soun6;eecrqn lernlurd'ecrstr.lr'eJnlEJaltl os Euos radeu n anb rel ou E l seq ' e;te rca td e eco uoc r s el l nc E Joprs uoc elsf sepeurellseuosJad se; uoc pp as ugtqtuelugtcectunuocut BJed'.,spilnc,, 'lBnlcalalur pPprunuroc uglsa 'pepl^llceap el ap olsal la uoc sopeclunuocul o1qLugor;due ns e olarloras enb ol ua 'soctlgulateusol 'olcola uf 'alualpuacsapuoc psuuos peptpoulocur o opetOesap uoc eun 'olso aluV ore6r;ns Jelnursrpelualur ocrlgrrioleu,t ic ollEnc uos sop la sgrx sop ardurarsrs reOrlsanurapend es gnb oted ? | :opualclpadunllelu! ua e6tlsenutanb opuatctp olerpauurap anb uetnQep1el ecunuiecrggtueleu pl ap sogesolauud sogap saleluouialo sosJnc ezarduaopuenC'peplsJonrun eJloe ectpap eceq 9nb 'eutgdtcstp socrdjlsol Jelclpsp eronl aluaullBuotsalo.rd as anb euosradBun e recr;dxallclllp sa octlgtuoleuun eJBd Ll te rd alvunllnc Nolcvrs3JtNvn :vclrvvlSlvul? -'l para descubrirlas y demostrarlasserAn aceptados por un m.atem6tico Siemprees posibleque uno de ellos no se americano,y reciprbcaments. intereseporios reiultadosdel otro,o que estimeque-los m6todosempleados no son 6s m5.shermosos(siemprehay una evaluaci6nest6ticade resultados y'maiem6tic6 m6todos).En todo caso, la verdad matemAticaencontradapor cualquier matem6ticos pasar6a formarpartedel c0mulode conocimientos universalmehtecompartidos.Esta es una caracteristicainteresantede la actividadmatemdticd:la matem6tica,en contrastecon otras disciplinasdel es acumulativa. conocimiento, o, p.orlo Se ha llegadoa este caracteruniversalde la matemAtica, claramente,no s6lo por la naturalezadel conocimiento menos,a reconocerlo ha.cambiado; matem6ticoque, desde el puntode vista epistemol6gico,.no y organizadorde aquelladrea de por el pbpelclarificador sino especialmente la matdm{ticallam'adafJndamentosde la matemdticaque se desarrolla desde fines del siglo pasadoy cuyos objetosde estudio persistentemente en'general mismas,las estructurasmatem6ticas bon las teorfasmatemAticas y las demostracionesmatem6ticas.Es interesantedeslacar_aqui.que se Esta situaci6n los objetosy m6todosmatemdticos. 6studiamatematicamente los aparentementeparad6jicase iesuelvedistinguiendocuidadosamente nivelesde lenguaje. PRINCIPIOSDISCUTIBLES precisamenteel 6rea de los fundamentosde la matem6tica,es un ejemplo para ilustraralgunasde las aseveracioneshechas m6s arriba, aiguriosiipos de problehas a los que siempre.se estd enfrentandoun mitemAticb,y la fdrmaen que los definey aborda. Adem6s,este.ejemplo muestra que ta aludida universalidaddel conocimientomatem6ticono siempres6 na dado o, por lo menos,ha.parecidono existir,al formarse con distintasfilosofiasde la grup6sfuertementeanta!6nicosde matem6ticos ir aiem 6t ic a. E l e j e m p l o p ro v i e n ed e l a teori a de conj untos,.campo nuevo,de unos cien afios de antiguedad,y sus matem6ticorelativamenie sin ser los objetosson susceptiblesde ser estudiadosmatemdticamente como los n0merosenteroso las figurasgeom6tricas. tipicamenteexhibid'os, abstractoscomo para que Adem6s,los conjuntosson objetossuficientemente algunosles nieluen la calidhdde objetosreales.. No obstante,para los realesy, de hecho,susceptiblesde ser mitem6ticosson completamente abordadoscon la intuici6n. un 6mbitode objetos,como Cuandose estudiamatemAticamente las relacionesentreellos el de los coniuntos,se desiacansus propiedades.y que son de inter6s. En seguida,con apoyoen la.intuici6ny/o experiencia soOreestos objetos,se estdblecenlos liamadosaxiomaso postulados,que que se dan en e! univerScde ion las verdadesbAsicas,fundamentales, posible en la elecci6nde estos lo mes austero ser intenta Se objetos. ariomas.Y esto no s6lo porquees mAseleganteprocederde este modo,sino tambi6n porque es dedeabletener un sistema de verdadeso. hip6tesis sometera revisi6n.Una bAsicasq'uedea f6cil de maneiary, eventualmente, se intentaobtenerlas demAs uei etegidoslos principiostuhddmentales, verdadei a partir de l6s axiomas. Otras afirmacionessobre los obietos, aunquetengin una validezevidente,son aceptadascomo verdaderasen la meOiCaqud se encuentrepara ellas demostracionesmatem6ticascuyas hip6tesisse encuentranenire los axiomas.Entonces,estas afirmaciones ze sounqe eJed uaqrlH,rod sEppp BzarE.rnlBu elsa ap sauorcBJlsourap salueoa;a elue 'oldr,uafe ro3 'ugllsanc.u6otaldola JrnJlsuoc urs ,Ercualsrxa Bl eJcatqplsa aluaur'los uglcprlsoruap plsa opupnc ocllgulatpu oratqo uaole "p "iJr'rr.rrc Bl ueqernoasea1b sBuaroal ap seuojcerlsouapuorpzeqcar ecodg e; ap salu'uodru;socllgual'r! sounbleanb reublcuaul apand ag .soluaua,a ,eni1rul1ap .salercrur ap ugrccalapl Jacpqanb {eq oulgc acrp ou u3 solunfuoc s or ep rrped e 'ernoaseas erc uals rxb ernc.;dri ni uoco^anu ra ,Jrn Jl su o c o 'raualqo pclpu! erBd ounOle opolgur ou o1o;cu1rd'irm anb u6rerrJrnore sollS 'upqesno1anb sauorcerlsouap sellanbe,a1uarn6puo" -;-;elsa ep zaprrE^er uorezeqcarecodg Br ap socrtgru6teu ,oJ-,t oio,ruuo soun6;y uglc c at3 ap o; d;c uy d tJ I V U nC tJ tll'lol aluarnorsq op as,p,lsnr!apendJoualueordrcuud ,oluourec[gJc ra 'se;euror.ro qotun[uocsor op oun epgc op oluauale un roij alra,retcere opEurJolglsa anb olunluoc o.r10alsrxa ,uBlcosJaluras ou anb solcen ou solunluocap ETJEJITqJE ugrccaloc Bun (=a) epp,p : ugrccalS ap ordrcuu6 opeupll lsolunluoc sol e onrlilar or]_caq a1ue1n6gs osn eJceqas tjF_-o'pru.npeur sBcrlgualEur sauolcerlsouapseun6;eua ,opesed 616rilap saurlBISBH se{e, p.c,o,1i'""*!3tHi::?i!i3i'tr:1'$i? il}q'.,oo?'.iJ::,,nm: 'o;duafa 'sa1eu;01ro sol souraual rog. 1s sdtuntlbc sol op soluoul.r"'1-oI sopol opueruneJ suerlqoes anb olunluocorlo aldrxe,erarnbse;enc soxinlroi sopBp acrp EurorxBoJlo- 'reldace ap llcgl sa euorxe els:l .(soluaua;a olun[uoc ;e sa.6) 'sd'soiJnrrolcqns ib','{e"-,;;r le}: tia';rlf;1se 'gret '9y en-b'o1cg1 !a) {za ' le} ' te,"}' lzel-; { le}f sns alueuesrcard -bp"p uos soluauareso{nc o}unfuoc un ,tga . za , ial orunlubc 're/lsnlrerBd 'teu1611o J. olunluoc soi uo, sotuauala sornc 'olunfuoc tap sotuh'i.uocq-ni olunfuoc orto alslxg epdc'ered ario aciiqeG ano ouiil"q r"itrr" 'sPlrlolxE solsoa.rluo'oldura[a_.rod ,lensnsa ap ugrccaloc e]sep Jz eluprpauJ orloc 'euorsep os 'sailplapso1uererluaurs .loruaerl,r-6rJ,urel roo'6ibr,"p ordrcuud E soprcelq'lse erueulel;c11dxe uoiSnj e'nu sdperdece seuiotxpsoyerc{eq solunluocap ElJoelel ep osec eluaulpsro^run lo u3 sorap osra^runrapBJroalq ap s'rlaJoalap Bls*Brap "r""ao#ir"r"ti"Tl*: -----------------------._ 15 D B 6 p f f" t e s s s s nuevosteoremas,algunosmatemdticosexpresabanque aquelloeso no era m at em dt ic as i n o te o l g g i ao q u e d e c i a n q ue el mbtodo' erami steri oso, siniestro(unheimlich) (Reid,1970). En cuantoal principiode elecci6n,en algunasdemostraciones fue posibleeliminarsu uso, en otras,no fue posiblehacerlo.Esta imposibilidad se ilustramedianteun ejemplo.Al aceptarel principiode elecci6n,se puede demostrarel llamadoprincipiode buenaordenaci6n(pBo) que afirmaque cualquierconjuntopuedeser bien ordenado,es decir,los elementosde un conjuntoarbitrarioA, puedenser dispuestosordenadamente en una linea orientada,(de menora mayor)de modotal, que cada subconjuntono vaclo de A, digamosS, tieneun elementomenorque todossus otroselementos. a s A o a a ' b 0 0 A el menor elemento de S FIGU R A2 E l P ri n c i p i o d e Buena Ordenaci 6n Entonces, ZF y PE ===> PBO (implican) (1) A h o ra ,ta m b i 6 ns e p u e d ed e m o s trarque ZF y pB O i mpl i can pE es P E , es dec i r,s i PB O e s v e rd a d e ro ,e n tonces,necesari amente, verdadero.En consecuencia, con respectoa los axiomasZF de la teorlaoe c onjunt ose, l p ri n c i p i od e e l e c c i 6 ny e l p ri n ci pi ode buenaordenaci on son equivalentes. Luego,en la formulaci6n(o la demostraci6n) del principiode buenaordenaci6n est6 esencialmente contenidoel principiode eleccion. Actualmente la mayorlade los matemAticos aceptael principiode elec c i6nc omo v e rd a d e ro a , rg u m e n ta n dque, o si bi en este pri nci pi ono ent r ega una ma n e ra g e n e ra l , u n i fo rm e ,de hacer l as el ecci onesde elementos,en cada caso concreto,por muy arbitrarioque sea, se puede te t",rfi ta rod es'd anb et B etetp/ed,elcarBunalsrxa,elcar";T:B :f?:-lrg 'aluaurlbrcuds5 olundun opepenb ,olurnb prlrl' ap sop'lnlsod 1a';r"p,1cn3 sor ep oun .ocllJluerc ouqurg uo uerpnlse es enb'sorjrql"r-IJilrrrrp sol P eluaulPcrlglrl8leur re osJeulxorde ep eurJol el sgruuneo .seJpsoi]sanu elsBl'l sPcllgtualeul se.!loal sBl sepol JelloJjesep ap BtuJol Bl 'aluaulEsrcatd 'gururralep opel'it alsa 'seuolccejreoL, r"ri"lJ ap resad y ,or.iZl opuerued pJroar aluarpuoqsorroc Er.-oi1o:res'ap ,t'etrierube6 ;r-; ,lrrJr-r'r'rrro, 'sopernrsod o 'seuorxeza^ braurud i6o qrr-ir"rJ'-llJrr"r"tr olucsaosourp, ns ua 'saprrcnf 'olsrJcap salui sog' .SeAAnU soruarcaJl UOSOU,Oqcaq ep 'r 'e[eqer1 enb ue,eJJoal el ap socr]gtuolxe so]uatuepunl sol rod asare]uras ,roialue anb ocrleuraleur rarnblbnc.e La'ons ai "1 o16" se1un0ar6 'aluepunpai eurorxeun ap opuplqeqglsa as ,enrlrsod e1s-andsar eun ap os'c la uf <=== L ugl?gclldrur Jd ei Jz epllg^ eras ou? ,sorirr"t sojlo u3 eserlorxesorlo sol ap gc!6ptercuancasuoc Bun sa ugrccalaap ordrcuud anb oprruas 1a ua :iolurru;;t:J;;;f;iil 1e Jz serlotxesorlo sol eldace as anb ua oluaurour opritodc" ra.apsap "q'"-d (uorceuopro e{ euanq ,o) ap ordrcurd 'aluaruaruar'^rnb6 ;a ,prclJrJ-ap-o-,Jcuuo 1aanb 9.rasou? : oluaul elnl euaOlnsel un6atdB un ,J otJal ue u gtsnosl ap p znl el V SfINVONn03H SOtdtcNtud _.ilt 'ugrcecr;dr"ul eullln elsa ap aluancosuoc -"ro"t l a u a r u a l u a p a c a l u el a u a r u e a J c o u a n b u n e( s o t u n [ u o c ' a p el ap sPurorxesorlo sol €p aseq el arqos) ogd <=== 3d uorcecrJduri el eprlg^oruocgreldace(ugrceuapro Buanqap ordrcuud1a-u-a ,ri'ugo""1. ap ordrcurd ua ea,c, ou anb 1a ocrie'oleur un ,.relniryed,3 :1"c,-J91c'ec1o91 el souour|e aldeceanb) ocrlgL!alerrr rarnb;encrod epetdaJe!.,rs 1I "rsq r (e) (oga <=== :ld) <-== JZ ugrcecr;drut El e alua;enrnbaaluauecrOglsa ugrcecr;drur egsa otad Q) Ogd <=== S d A t z tiffi ,3Io 1eI reqo,'oo,"q1?1'"r1 5t "?r'r"r?,"ff #,Tl ;: ;ig'3;jffJ i'?l ajqos ellenbe 'Jaqps e 'so1uBoqcnu eqcaq ugrcEJanasE eun opuorcrpe.rluoc relse ap ugrcesuas el eOuel es enb ,ugrciala ep ordrcuud' u o c e r s J o ^ o J l u o cp l s a J E U O T C U aeup s g n d s a p , o g e J l x o s a o1Ne ' o i c a d s a l o.!gcacrpou:ugrccora.ap roraceq o;d;cu;ro.nu?YJrtJ;iJ3t"[T,f ;ru3 r, .ugrcEuap.ro sa ugtcEuap.lo Euanq ap ordrcur.rd anb Jelou osrced s3 1a euanq ap ordrcuud1eugrcellsouapns ua aluaulolqeunaur ,anb so;;anbe uer5nlorrur seuaroal sns oJlua_ugreldace,ru ugrpuolqoou ;uezeqcard| ano socrlgureleu sollenby 'o;drcu;rd;e ese.rdxeerib ol'opol se enb ,ugrccalasei raceLl F IG U R A3 E l Pri n c l p l o d e l as P aral el as A trav6s de los siglos se intento demostrar el quinto postulado partiendode los otros postuladosde la geometria. Sin embargo, reci6n en el s i g l o p a s a d o s e d e m o s t r o q u e e s t e p o s t u l a d o n o e s c o n s e c u e n c i ad e l o s ctros. aHay alg0n metodo para demostrarque un determinadoaxioma de una teoria no se deduce de los otros axiomas de la teoria? Por ejemplo, volviendo al universo de los conjuntos, lcomo demostrar que PE no es c o n s e c u e n c i a d e Z F ? L a s i m p l e o b s e r v a c i o nd e n u e s t r o u n i v e r s o d e c o n j u n t o sn o b a s t a ,p u e s , e n e l , t a n t o a l o s a x i o m a sd e Z F c o m o a P E s e v e n como verdaderos,pero nada mds. Se ven solo los hechos y no las relaciones d e i m p l i c a c i o ne n t r e e l l o s .E s t e n o e s u n p r o b l e m ar e l a t i v oa u n s o l o d o m i n i o , e n e s t e c a s o , e l d e l o s c o n j u n t o s ,s i n o q u e e s u n p r o b l e m al o g i c o . S e d i c e q u e P E e s c o n s e c u e n c i ad e l o s a x i o m a s d e Z F s i e m p r e y c u a n d o e n t o d o d o m i n i o d o n d e s o n v d l i d o s l o s a x i o m a s d e Z F , n e c e s a r i a m e n t et a m b i e n e s v d l i d o P E . L u e g o , s e g f n e s t a d e f i n i c i o n ,p a r a d e m o s l r a r q u e P E n o e s c o n s e c u e n c i ad e Z F , b a s t a c o n d e m o s t r a rq u e e x r s t eu n d o m i n i o d o n d e l o s a x i o m a s d e 7 F s o n v e r d a d e r o sy P E n o l o e s . E s n e c e s a r i oe x p l i c a rq u e , a l v e r i f i c a rl a v a l i d e z d e l o s a x i o m a s e n u n d o m i n i o d i s t i n t od e a q u e l q u e l o s motivo, los objetos, propiedades y relacionessobre los que hablan los axiomas, deben ser reinterpretadosadecuadamente como objetos, p r o p i e d a d e sy r e l a c i o n e se n e s t e n u e v o d o m i n i o . En 1964, P.J. Cohen demostro,usando este m6todo, que el principiode eleccion no se puede deducir de los axiomas de ZF. Este r e s u l t a d o ,d e e n o r m e i m p o r t a n c i a ,r e s o l v i ou n p r o b l e m a a b i e r t o p o r m u c h o l i e m p o , q u e s e r e f i e r ea u n p r i n c i p i ot a n d e t e r m i n a n t ee n l a f o r m a d e h a c e r matem6tica,como el principiode eleccion,e rntrodujoconceptos relevantesy t 6 c n i c a si n g e n i o s a sp a r a c o n s t r u i rm o d e l o sq u e e s t a b l e c e nl a i n d e p e n d e n c i a d e a x i o m a s ( C o h e n ,1 9 6 6 ) . P r e g u n t a sd e e s t e t i p o s o n i n t e r e s a n t e se n s l m t s m a s y , a v e c e s , tanto ellas como sus respueslas pueden tener consecuencias i n s o s p e c h a d a s .P o r e j e m p l o , p a r a r e s p o n d e r n e g a t i v a m e n t ea l a p r e g u n t a cldsica sobre la posibilidadde deducir el quinto postuladode Euclides sobre l a b a s e d e l o s o t r o s p o s t u l a d o sd e l a g e o m e t r i a , h u b o q u e d e m o s t r a r l a existenciade un espacio geom6tricodonde son v6lidos todos los axiomas de Euclides excepto el de las paralelas.Hay espacios, entonces,donde, dados una recta y un punto fuera de ella, no hay rectas que pasen por el punto que sean paralelas a la recta. Tambi6n hay espacios donde se pueden lrazar 'sraqrv)'"srrrerqord 98 ,&nlfsij 6urn;os lo _supo,e.lsnrro, B':l!;:"?t5ff;?x suqyloQy'rasllsc!lPutaqlPulaoueqc o1,(gj1rg'^i", si-r""iqrirrrqr, :relleuaqleur puelecoq';ecrqdosq;qd_q :;;6i"d;;;; leqla6ue1lbqc e pelferceneri,inoirerrr6<i?q sarullqP Ourryos-ua1qo.rd aq1 ,buatsibliqrueu{petcettubreud,, uoarn}car ^^ocsoyr srq ttuolt fu.c:e;e - "srs{;eup lpcrrauranu ,tirxeicilrioc" lo s'pedse ri6lrnrrqaqlrtu/r^ sraleads tueuep uaoullo dnau;1 rettols aql16par'(996rinoosoniisrrepen qalr u*o s,rale4rag 'sreurs 'No a^ols cor ArrvNr^J sNvrcrlvn:Hlvn paqjpde{ saurrrro^ ^ aNaql 'acuatcs relndtuoo uosrseqdr.re oursedrcu't ueiq'FGhE[iit#" aql. ilasussarouoc enenuBlsa aruarlpprtJu gcreur9961,{ala1ragap rJ .oluauiour #[ir"#l] rap el ep salueuodtul ,r erueia.ro'izuatno 'socrlgr'rjaleul sPLusBlcu€puat,( seurattoi u-atncs,p sol e u€urrar r soge oJlBnc pcrlgujaleLu epec uEtucala as ap .996l soleuorceuJolur soso.r6uoc sauJJoue sols3 ua',{a;a1rag ap ecr}erleley\ ap lpuor cpura lul os ar6uo3la ua al uaurerel Jepanb" 1en 1 ce . eprc alqel sa PCrl9ruoleu pBpr^rlce el ua ugrcelnduocpl ap ercuanllur ouanl el 'opunuJ lap sapeplsJa^run sarofaursel ap uglcelndruoc ap sotueu.reuedap sol ua s aunuioc s apepr^r lc Euos ugrc elnc i uroc E l e bpecr;debcro d r ua Ercuocopel I ugrceorlse^ur el 'rou? solrE^acpq apsao ejno 6ctipr"t", Br'uBll as aluaujunuJoc-enb o1ap serdord 'ua uarqsgr! uos_anbsaleluaurepunl ocod I sec rl l cedsaInur seJ r' oal uqti eOrr' sanut B l erceq se;eur0 r.ro sapEpr^rlce sns oper^sop uejqEqalueureinaJd.socrlJluerc sopolgr!sol ap soleuorcepunl r secrlgsolll sacJPr sns uoc ase.rluocuaar socrleueleu soc16i1 sol E oprtruradueq ugrcelnduocel ap Brcuarc et ap eued iiio rer-l-ecioqi Pl e sopeluasard seura;qord sol 'une sgyl .ug1c'eyiauioc pl ap olloirpsaple ope6arluaeq ecr691e; enb seuodriserir-euooruiioL ap ,t e'ctti:rujre, L-croqr el P olsand eq ugrcelnduoc .opellnsar e1 anb sorlesap soluesaralur sol op or loc 'ugrc elnduocel ap B rc uarcpl ercE qs ocrtgrl al erusbcj oqt' i ;r "p sosa,oluro sapEpt^rlce irn olsr^eq as 'ugrcelnduoc s'r ap oqon^ alueuorsa.rdur er ap soluaurepu nl r{ pep;1a|duic,, leuoice}nduroc arpmgos 'seruet00rd pnlrpalloc ap souorcBcr;rcedsa ep ap sauorcejr60irrap ,{ sa;eturol 'lBuorcunlr souorce^rJap ecr69lua ugrcetler60rd,solEpap saseq ,lercuruE ercuaorlelur ouloc searg ue aiueurenr's'euu uea;de as'sbpo19,.u ,t doiobiuoc soAnc 'Bcllguereur eciogl el ouarral gp ua { elarcsrpBcrrgruareu., ;a el 'lercadsa ap ollqurgofa;dr,uoc u3 '9on;icerle lo ua A saiueuodursgtu sortesop sol ecrlguralBr!el e opeluoserdeq anb 1aepecrlde,{ eilrgei ugrceiliburoc ' ua 'es ualur el ap ollo. uesop s a s gLr,t z an l a epi c euroi [' ,sepecg p 'pp seujrlltr pJ^ppol sop serua_gl_ad a: ercuapuadop auanlelso ,olsandns .ro6 'erlo el ap ugrcrsodsrp e eurld;cs^1p eun eluodanb seluelurerreq,{ seuralqord iod seque ua sacue^esapuerOuorafnfordas r seplianurrr" ,rr"r"iirn, uojar^as ecrlgrualEu,r El { ecrs1lBl 'a}sg ap pellLueraurudpl ua r opesed olOrs;e ua 'rprncruedu3 'eqipruaieurd| ,{'"brslreilrrua aluaureuororppr} oplqeLleq anb ugrcceJalu!ouanl El Erlsanr!JorJalue otoruileE'---'-' SVICN:ION3I SVA30N -'n I soratqo uossoueao,,""""3llu$?i3Hr:' :3,i""",:',ii"",tffiir"fTJg;[,f;:i?t:; eJJOAI el aluaruBctlgtlelBur lelapourered operdoldeocleu lo ,oluatultJqncsop ns ep s.gndsap seppc?p sBrJe^ 'uorbubgcrodord 'sogelye ecrlgr!aleur BJJoal eluarpuodssJJoc e;. r socr.rlguoaosorcedse solsa op prcuolsrxa Bl 'Blle ep EJenlo[;101und|e rod BpBpe]cer Bl B se;e;eredse1"er'se1ir,lr, La ne su ila OS cc ra s los |'= /cs ca les de rnc t a I\JU l a rcs lres des u 'a ,e1 ics lca de lles ps, Un alto porcentajede las conferenciasplenariasdel congreso de Berkeleytuvo que ver con aspectosmatem6ticos d6 la computacion. Algunas tendenciasactuales en la actividad matem6ticason discutidas en mayordetalle por Bertossi(19g9). v.- CO NC L USIO N ES A la luz.de los aspectosde la actividadmatemdticaque se han mostrado,se.puede intentaridentificaralgunosde los factoresque influyen en el aislamientode esta actividadcon respectoa otras maniiestaciones culturalesy aun con respectoa otras cienciaexactas.Con seguridad,un factor que obstaculizaesta comunicaci6n es el hecho que el iratemdtico descubreverdadessobre.objetos que, con frecuencia,son abstractos,pero a los c ual e s 6 1 ,e n s u tra b a j o ,n o a tri b uyeuna exi stenci adi sti ntaa' l a de cualquierobjeto material. Por otro lado, el car6cteracumulativode la matemdticahace, por la gran cantidadde conceptosy resultadosque 6sta ha or igi n a d o ., q u e a u me n tee l n i v e rd e compi ej i daddel l enguaj ' e. E ste lenguajees.de p9r en.extremo precisoy carentede relievesjubjetivos,y li: puede ayudara facilitarla comunicacion, por lo menosen el seniidomal masivoque se echade menos. A p e s a r d e l o s fa c to re sq u e i nfl uyenen l a di fi cul tadde l a c o m u n i c a c i 6dne l a m a t e m d t i c ae, s t a c o m u n i c a c i oens p o s i b l e ,y e l l a dependefuertementedel inter6sdel matem6ticopor establ6certa.Si este tieneconocimientos ampliosy profundos, y es capazde evitaruna abstrusa teminologiay notacionmatem6ticas, entoncesgran partede los obstdculos se superan. Finalmente, otro elementoesencialpara mejorarla comunicacion ent r e el m a te m 6 ti c oy e l re s to d e l a comuni dad,es l a busquedade l a interaccion interdisciplinaria. En el 0ltimotiempopodemosobservaravances importantes en ese terreno:disciplinas del conocimiento, como la economia, la ps ic o l o g fal ,a s o c i o l o g i al,a b i o l o g i a,y l a mi smacomputaci 6n, ti enden sostenidamente a un mayorgradode matematizaci6n. El 6reade fundamentos de la matemdtica es vastae interesante y solo se ha tocado en este articulounos pocos ascpectos. otros temas r elac ion a d o sc o n l o s fu n d a me n to sd e l a matem6ti cay l a acti vi dad puedenser encontrados matem6tica en los excelentes libros(Crossleyet al., 1972;Davisy Hersh,1981; Nidditch,1983y Wilder,1965) REFERENCIAS t t 2 eva 1. r€e. nale, nary lrom ltcs ano trms ters. 2. 3. A L B E R S ,D . J . , A L E X A N D E R S O N G,. L . , R t E D . C . ( 1 9 8 7 ) Internatlonal Mathematlcal congresses, springer-verlag, NuevaYork. BERTossl, L. (1988)AlgunasTendenciasen la Matemdtica Actual, Revista universitaria, vol 23, PontificiaUniversidadcatolica de Chile, Santiago. COHEN, P.J. (1966) Set Theory and the Continuum Hypothesis,Benjamin,NuevaYork. 88 I I l,.:-: E:= a-a-- ua .= u'=-\ 7-€'- s€t-, sc-. uaraPSe: unsc '),uo^B^onN'suos pue AallMuL{o|scllBllaqleyl 'u3ollM l ( s g o l ) ' u 'c' cl:llu l o s u o l l B p u n o l e q l o l u o l l c n p o r l u'uaqllH 'IroA (ozol) B^anN'6e1la1-ta6uuds 'pupey\'Erpal9csauolclpS 'Bcllpualen ec!6gt Bt op ollorlesoo 13 (e861) 'H'd 'HCllOOlN 'uolso8'JasneLllJ!8 'U 'HSH3H ,{ 'C'a 'SlnVCl 'acuauadx3 lEclleulaqlByllaql (|'86|') 'prolxo'ssard'^!un plolxo 't 'ASISSOUC 'lB }o ';,c;6o1 lBclleuaqlgytt sl lBt{l Qrcr) '8 'L '9 '9 'v