Universidad Nacional Autónoma de México

Universidad
Nacional Autónoma
de México
- Facultad de IngenieríaAnálisis de Sistemas y Señales
Sistemas lineales y no lineales
Profesora: M. I. Elizabeth Fonseca
Alcaráz Herrera Hugo Israel
Martínez Sánchez Ana María
Ramírez Ríos Fermín
Román Guadarrama José Roque
Grupo: 4
Ejemplos:
Ejemplo 1
Considere un sistema S cuya entrada x(t) y salida y(t) estén relacionadas mediante
y(t)=tx(t)
Para determinar si S es o no lineal, consideramos dos entradas arbitrarias x1(t) y x2(t)
x1(t) => y1(t)= tx1(t)
x2(t) => y2(t)= tx2(t)
Sea x3(t) una combinación lineal de x1(t) y x2(t). Esto es,
x3(t)= a x1(t)+ b x2(t)
donde a y b son escalares arbitrarias. Si x3(t) es la entrada a S, entonces la salida
correspondiente se expresa como
y3(t)= tx3(t)
= t (a x1(t)+ b x2(t))
= at x1(t)+ bt x2(t)
= a y1(t)+ b y2(t)
Entonces concluimos que el sistema S es lineal
Ejemplo 2:
Se puede verificar fácilmente que la ecuación representa la relación entrada-salida de un
sistema. Suponga que se tienen dos entrada separadas i1(t) e i2(t). Las salidas
correspondientes son:
e1 (t) = Ri1(t)+ 1/C ∫t-∞ i1(t’)dt’
e2 (t) = Ri2(t)+ 1/C ∫t-∞ i2(t’)dt’
Si ahora la entrada es (i1(t) + i2(t)), la salida correspondiente será e3(t), dada por
e3 (t) = R(i1(t)+ i2(t)) + 1/C ∫t-∞ (i1(t’) + i2(t’))dt’
= Ri1(t)+ 1/C ∫t-∞ i1(t’)dt’ + Ri2(t)+ 1/C ∫t-∞ i2(t’)dt’
= e1(t) + e2(t)
Por lo tanto es lineal.
Ejemplo 3:
Considere el voltaje de un circuito paralelo con dos resistencias R1 y R2, siendo las dos
iguales, la relación de entrada-salida puede ser escrita explícitamente como:
1
y  L  x   x.
2
Aquí el sistema solo involucra una multiplicaci+on por una constante. Para probar al
linealidad podemos escribir las excitaciones para x1 y x2 como:
1
y1  x1 ,
2
1
y2  x2 .
2
Para la excitación x  1 x1   2 x2 tenemos que:
1
y  1 x1   2 x2  .
2
Lo que puede ser simplificado para probar que:
y  1 y1   2 y2
Para cualquier 1 ,  2 , x1 y x2 . Por lo tanto el sistema es lineal.
Ejemplo 4: Considere un sistema S cuya entrada x(t) y salida y(t) estén relacionados
mediante y(t) = tx(t).
Considerando dos entradas arbitrarias x1(t) y x2(t).
x1(t)y1(t) = tx1(t)
x2(t)y2(t) = tx2(t)
Y sea x3(t) una combinación lineal de x1(t) y x2(t). Esto es:
x3(t)=ax1(t) + bx2(t)
Donde a y b son escalares arbitrarias. Si x3(t) es la entrada a S, entonces la
salida correspondiente se expresa como:
y3(t)=tx3(t)
=t(ax1(t) + bx2(t))
=atx1(t) + btx2(t)
=ay1(t) + by2(t)
Concluimos que S es lineal.
Ejemplo 5: Considere el sistema
y[n] = 2x[n] + 3
Este sistema no es lineal, como puede verificarse de varias formas. Por
ejemplo, el sistema viola la propiedad de aditividad: si x1[n]=2 y x2[n]=3,
entonces
x1[n] y1[n]=2 x1[n] + 3 =7
x2[n] y2[n]=2 x2[n] + 3 =9
Sin embargo, la respuesta a x3[n]=x1[n] + x2[n] es
y3[n]=2[x1[n] + x2[n]] + 3 = 13
la cual no es igual a y1[n] + y2[n] = 16.
Ejercicios:
1.- Considere un sistema discreto con entrada x[n] y salida y[n] relacionada mediante
y(t) = x(sen(t))
¿El sistema es lineal?
y(t)=x(sen(t))
x1 ( t ) 
 y1 (t )  x1 ( sen ( t ))
x 2 ( t ) 
 y1 (t )  x2 ( sen (t ))
x3 (t )  ax1 (t )  bx 2 ( t )
y3 (t )  x3 ( sen ( t ))
 ( ax1 ( t ) bx 2 (t ))( sen ( t ))
 ax1 (t ) sen ( t )  bx 2 ( t ) sen ( t )
 ay1 ( t ) sen ( t ) by2 ( t ) sen ( t )
Por lo tanto el sistema si es lineal
2 Determine si es lineal o no el sistema y(t) = t2x(t-1)
Planteamos dos entradas cualesquiera:
x1(t)y1(t) = t2x1(t-1)
x2(t)y2(t) = t2x2(t-1)
Y sabemos que
x3(t) = ax1(t) + bx2(t)
Entonces si x3 es la entrada, la salida será:
y3(t) = t2x3(t-1)
=t2(ax1(t-1) + bx2(t-1))
=at2x1(t-1) + bt2x2(t-1)
=ay1 + by2
Por lo tanto, el sistema es lineal.
3. Determine si es lineal o no el sistema y[n] = x2[n-2]
Se plantean dos entradas cualquiera:
x1[n]y1[n] = x12 [n-2]
x2[n}y2[n] = x 2 2 [n-2]
Se sabe que
x3[n]=ax1[n] + bx2[n]
Entonces la salida será:
2
y3[n] = x 3 [n-2]
= (ax1[n] + bx2[n])2[n-2]
=(ax1[n])2 + 2abx1[n]x2[n] + (bx2[n])2 [n-2]
Aparece el término cruzado, por lo tanto no es lineal el sistema.
4.Y(t)= a(t)x(t) + b(t)w(t)
Y1(t)= a1(t)x1(t) + b1(t)w1(t)
Y2(t)= a2(t)x2(t) + b 2(t)w2(t)
Y1(t)= α1a1(t)x1(t) + α1b1(t)w1(t)
Y2(t)= α2a2(t)x2(t) + α2b 2(t)w2(t)
Y3(t)= α1Y1(t) + α2Y2(t)
Y3(t)=[ α1a1(t)x1(t) + α1b1(t)w1(t) ] + [ α2a2(t)x2(t) + α2b2(t)w2(t) ]
Y3(t)= α1[a(t)x1(t) + b1(t)w1(t)] + α2[a2(t)x2(t) + b 2(t)w2(t)]
Por lo tanto es lineal
Bibliografía
 OPPENHEIM, Alan
Señales y sistemas
Prentice Hall
México 1994
 NEEF, JR Herbert P.
Continuous and discrete linear systems
Kriegere Publishing Company
Malabar, Florida 1991
 MAYHAN, Robert J. The Ohio State University
Discrete-time and continuous-time linear systems
Addison Wesley Publishing Company
Menlo Park, California 1984