ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES DIFERENCIALES
INTRODUCCION
Una Ecuación Diferencial , es una ecuación donde la incógnita es una función ( escalar
o vectorial) que aparece bajo un signo de derivada o diferencial.
Se distinguen dos grandes tipos de Ecuaciones Diferenciales:
• La Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) que es una ecuación que contiene derivadas
ordinarias de una función respecto a una sola variable independiente.
• La Ecuación Diferencial en Derivadas Parciales (EDP) es una ecuación que contiene
derivadas parciales de una función que depende de varias variables.
• Ejemplos:
— Son Ecuaciones Diferenciales Ordinarias,
dx
= kx2 ,
dt
x2
dy d2 y
+ x + x2 − 1 y = 0,
2
dx
dx
— Son Ecuaciones Diferenciales Parciales,
∂ 2u
∂u
=2 2
∂y
∂x
,
∂ 2u ∂ 2u
+
=0 ,
∂x2 ∂y 2
2
x + y 2 dy − 2xy dx = 0
∂ 2u
∂2u
∂ 2u
+
tx
−
=t+x
∂t2
∂t∂x
∂x2
Cuando una Ecuación Diferencial contiene una o más derivadas respecto a una variable en
particular, esa variable es una variable independiente y una variable es variable dependiente
si una derivada de esa variable aparece en la Ecuación diferencial.
• Ejemplos:
— En la Ecuación Diferencial
x2
dy 2
d2 y
+
x
−
1
y=0
+
x
dx2
dx
y es variable dependiente y x es variable independiente.
— En la Ecuación Diferencial
dx
− 2x = t
dt
x es variable dependiente y t es variable independiente.
— En la Ecuación Diferencial
∂ 2u ∂ 2u
+
=0
∂x2 ∂y 2
u es variable dependiente mientras que x e y son variables independientes.
— La Ecuación Diferencial
x2 + y 2 dy − 2xy dx = 0
se puede escribir de dos formas, a saber como
1
dy
∗ (x2 + y 2 )
− 2xy = 0 , en tal caso y es variable dependiente y x es
dx
variable independiente.
dx
= 0 , en tal caso x es variable dependiente e y
∗ (x2 + y 2 ) − 2xy
dy
es variable independiente.
El concepto de Ecuación Diferencial aparece con en el siglo XVII con el Cálculo Diferencial
e Integral y en el siglo XVIII este concepto es precisado con el desarrollo de estas disciplinas.
La teorı́a de las Ecuaciones Diferenciales es una de las mas amplias ramas de la matemática
actual y es también una de las que más se relaciona con las aplicaciones.
Al tratar de entender cualquier fenómeno fı́sico, entendido este como un evento bajo
estudio que presente la variación de una variable respecto a otras, la mente crea una idealización y la plasma en un modelo matemático, en donde tomando el aspecto central del
fenómeno,estudia sus causas y lo describe en forma matemática ; con frecuencia la expresión
matemática o ley emanada del estudio se expresa en forma de una Ecuación Diferencial.
El objeto principal en las Ecuaciones Diferenciales son sus soluciones . Esto es, funciones
que verifican la Ecuación Diferencial dada. Existen varias formas de encontrar una solución,
como ser los métodos analı́ticos, los que llevan a obtener una expresión matemática exacta de
la solución. Sin embargo, se sabe que, en proporción son pocas las Ecuaciones Diferenciales
que poseen una solución analı́tica expresable por funciones usuales. En ausencia de una
solución analı́tica, se recurre a una solución numérica. Existen varias técnicas de resolución
numérica pero, al igual que los métodos analı́ticos, no hay ninguno universal. También
hay métodos intermedios entre los puramente analı́ticos y los puramente numéricos, su uso
depende del problema que se desee resolver .
Otra forma de ver las soluciones de una Ecuación Diferencial es a través de sus propiedades
cualitativas. Esto es, a través de propiedades intrı́nsecas (analı́ticas y geométricas) que conlleva la forma de la Ecuación Diferencial, la cual usualmente, describe un proceso de evolución
determinista. Esto permite en cierta medida, conocer el comportamiento de una solución,
sin necesariamente conocerla .
2
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
(EDO´s)
• GENERALIDADES:
El término Ecuación Diferencial Ordinaria de
tablecer una relación funcional del tipo,
dx d2 x
F t, x, , 2 , . . .
dt dt
Orden n , es normalmente usado para esdn x
, n
dt
=0
(1)
de n + 2 variables, una variable independiente t , una
dx d2 x
dn x
función desconocida x = x (t) y sus n primeras derivadas x, ,
, . . . , n respecto
dt dt2
dt
a la variable independiente t .
dk x
Si denotamos por x(k) =
a la derivada k − ésima de x = x (t) con t ∈ I ⊆ R
dtk
y si U ⊆ Rn+1 es un abierto entonces, definida la función
involucrando una función F
F :I ×U →R
la relación
F t, x, x′ , x′′ , . . . , x(n) = 0
(2)
describe una EDO de orden n .
• Ejemplos:
d2 x
dx 2
2
+
t
+
t
+
λ
x = 0 , t = 0 es una EDO de segundo orden.
dt2
dt
√ d3 x 2
—
t
+ 8t − cos t = 0 , t > 0 es una EDO de tercer orden.
dt3
dx
dx
= t x + t es una EDO de primer orden.
— 6x
dt
dt
— t2
Para una EDO de orden n , si de la relación (1) que la define, podemos resolver la
dn x
ecuación respecto a la n − ésima derivada
(lo cual se puede hacer localmente si
dtn
estamos bajo las hipótesis del Teorema de la Función Implı́cita), obtenemos la forma explı́cita
o normal,
dx d2 x
dn−1 x
dn x
= f t, x, , 2 , . . . , n−1
(3)
dtn
dt dt
dt
forma que representa a la EDO de orden n , resuelta respecto a la n − ésima derivada.
Las EDO’s en la forma normal (3) siempre pueden ser escrita en la forma (1), basta
tomar
dn x
dn x
dx d2 x
dn−1 x
dx d2 x
F t, x, , 2 , . . . , n = n − f t, x, , 2 , . . . , n−1 = 0
dt dt
dt
dt
dt dt
dt
Sin embargo EDO’s en la forma (1) pueden llevar a más de una EDO en la forma (3)
3
• Ejemplo :
— La EDO
dx
dt
2
− 4x = 0 , para x > 0 , da orı́gen a las dos EDO’s
√
dx
= −2 x o
dt
√
dx
=2 x
dt
resueltas respecto a la derivada.
• GRADO :
En la EDO de orden n , definida por la relación (2), si F t, x, x′ , x′′ , . . . , x(n) es un
polinomio en las variables x, x′ , x′′ , . . . , x(n) el grado de la EDO definida por esta relación,
es el grado algebraico de la derivada de mayor orden.
• Ejemplos:
— x′′ + 2kx = 0 es una EDO nde segundo orden y grado 1.
√ d2 x 3 dx
d2 x
—
+
t
= sen t es una EDO de segundo orden y grado 3.
dt2
dt
dt2
— El grado de la EDO
2 2 32
dx
d2 x
φ (t) 2 = 1 +
dt
dt2
no se determina cuando aparece de esta forma pero la EDO siguiente, que es
definitivamente diferente
2 2
2
4 6
dx
dx
dx
dx
2
=1+3
+3
+
[φ (t)]
2
dt
dt
dt
dt
obtenida de la anterior por procedimientos algebraicos, es de grado 2
Si F t, x, x′ , x′′ , . . . , x(n) no es un polinomio entonces (2) define una EDO trascendente .
• Ejemplo :
dx
— sen
= x es una EDO trascendente y por lo tanto, no posee grado.
dt
Sin embargo podrı́amos escribir, para valores adecuados que
dx
= arcsen (t)
dt
y pensar que es de grado 1 . Pero, por otro lado, también podemos escribir
dx
sen
dt
1
dx
−
=
dt
3!
dx
dt
3
1
+
5!
dx
dt
5
1
−
7!
dx
dt
7
+ ··· = t
dx
no está definido.
dt
La ambiguedad producida por estos argumentos es justamente la que nos asegura
que la EDO dada, no posee grado.
la cual es una EDO en que el grado de
4
• ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
De la relación (2) que define a una EDO, si F es una función lineal en las variables
x, x′ , x′′ , . . . , x(n) esto es, si
F t, x, x′ , x′′ , . . . , x(n) = an (t) x(n) + . . . + a1 (t) x′ + ao (t) x − b (t)
entonces esta relación define una Ecuación Diferencial Lineal (EDL). Si b (t) = 0 , (2) representa una Ecuación Diferencial Lineal Homogénea . Caso contrario es no Homogénea .Si
los coeficientes aj (t) = aj ∈ R j = 0, 1, . . . , n son constantes, la EDO se dice con
coeficientes constantes . Caso contrario es con coeficientes variables .
• Ejemplos :
d2 x
dx
◦
— t2
+ 2 − tx = tg t es una EDL de 2 orden, no homogénea, con coefi2
dt
dt
cientes variables.
d3 x
dx
er
—
+ 5 + 3x = 0 es una EDL de 3 orden, homogénea, con coeficientes
3
dt
dt
constantes.
dx
dx
—
= x2 no es EDL, es una EDO de 1er orden, mientras que la EDO
= t2
dt
dt
es una EDL de 1er orden, no homogénea, con coeficientes constantes.
• SOLUCIONES :
En términos generales, una solución de una EDO es una función que al sustituirla en
la EDO junto a todassus derivadas, reduce a esta a una identidad. Especı́ficamente, una
dx d2 x
dn x
solución de EDO F t, x, , 2 , . . . , n = 0 , donde F : I × U → R con t ∈ I ⊆ R
dt dt
dt
n+1
y U ⊆R
es un abierto, es una función φ : I → R , n veces derivable tal que ;
• S1: t, φ (t) , φ′ (t) , φ′′ (t) , . . . , φ(n) (t) ∈ I × U
S2: F t, φ (t) , φ′ (t) , φ′′ (t) , . . . , φ(n) (t) = 0 .
La condición S1 establece que para cada t ∈ I , las n primeras derivadas de la solución
están en el Dominio de definición de la EDO y S2 establece que al sustituir x = φ (t) y
todas sus derivadas en la EDO, esta se reduce a una identidad.
• Ejemplo :
dx
= 2x es definida en todo R2 .
dt
La función x = e2t es una solución ya que como
— La EDO
entonces
d 2t dx
e = 2e2t
=
dt
dt
y 2x = 2e2t
dx
= 2x ⇔ 2e2t = 2e2t
dt
que es una identidad válida para todo R .
5
Una EDO puede tener muchas, inclusive infinitas soluciones
• Ejemplo :
Las funciones,
√
1
2 cos t , x = cos t , . . . . . .
2
3
x = sen t , x = −0, 17sen t , x = sen t , . . . . . .
2
3
x = −2 cos t + 5 sen t , x = cos t − 6, 42 sen t , . . . . . .
5
d2 x
son todas soluciones de la EDO
+x=0 .
dt2
Todas estas soluciones se pueden representar mediante la expresión
x = cos t ,
x = − cos t ,
x=
x = c1 cos t + c2 sen t
donde c1 , c2 ∈ R son constantes arbitrarias.
Se dá el nombre de solución general de la EDO a la solución cuya expresión representa
una relación entre las variables t y x y que contiene constantes arbitrarias.
Si a o a las constantes arbitrarias se les asignan valores determinados, se obtiene un
miembro de la familia de soluciones que se denomina solución particular de la EDO.
• Ejemplo :
Del ejemplo anterior,
x = c1 cos t + c2 sen t
con c1 , c2 ∈ R , es la solución general de la EDO
d2 x
+x=0
dt2
mientras que
√
2 cos t , x =
3
x = sen t , x = −0, 17sen t , x = sen t , . . .
2
3
x = −2 cos t + 5 sen t , x = cos t − 6, 42 sen t ,
5
son soluciones particulares.
x = cos t ,
x = − cos t ,
x=
1
cos t , . . . . . .
2
...
... ...
Geométricamente, la solución general de una EDO representa una familia de curvas
llamadas curvas integrales y una solución particular representa a una de estas curvas.
Esta relación entre las variables que contiene además, en general n constantes arbitrarias se denomina una primitiva .
Vale decir, una primitiva serı́a lo que nosotros llamamos solución general de la EDO.
Es interesante observar que si una EDO da orı́gen a una primitiva (solución general), una
primitiva también origina una EDO, libre de constantes arbitrarias.
En general, una primitiva ( solución general ) que contenga n constantes arbitrarias
esenciales ( en el sentido que estas n constantes no se pueden sustituir por un número
menor de ellas ), da orı́gen a una EDO de orden n y viceversa, es decir, una EDO de orden
n tiene como solución general a una primitiva que contiene n constantes arbitrarias
esenciales.
6
• Ejemplo :
1. La primitiva x = at2 + bt + c contiene a, b, c ∈ R tres constantes arbitrarias
dx
d2 x
d3 x
entonces
esenciales.Puesto que como
= 2at + b y
=
2a
=0
dt
dt2
dt3
d3 x
Esto establece que x = at2 + bt + c es la solución general de la EDO
=0 .
dt3
d3 x
Ası́ la primitiva x = at2 + bt + c da orı́gen a la EDO
=0 .
dt3
Observemos que la primitiva contiene 3 constantes arbitrarias esenciales y la EDO
que genera es de orden 3.
dx
2. Para la primitiva x = a sen t se tiene que
= a cos t y por mas que se siga
dt
derivando, la constante no desaparecerá. Por lo demás sólo se debe derivar una
sola vez, puesto que el orden de la EDO que se obtenga debe ser uno.
Si escribimos
1
cos t
1 dx
=
a cos t =
x dt
a sen t
sen t
se tiene que
dx
= x ctg t
dt
es la EDO, libre de constantes arbitrarias, cuya solución general es x = a sen t
En general, para obtener una EDO de orden n a partir de una primitiva que contiene n
constantes arbitrarias, se procede a eliminar estas n constantes de las n + 1 ecuaciones
representadas por la primitiva misma y las n ecuaciones obtenidas de sus n primeras
derivadas.
Por otro lado, cabe destacar que hay EDO’s que admiten soluciones que no están contempladas en la solución general. Es decir, existen EDO’s que tienen soluciones que no
pueden obtenerse de la solución general dándole valores determinados a las constantes arbitrarias.Este tipo de soluciones se llaman soluciones singulares .
• Ejemplo :
— La EDO
dx
dt
2
−t
dx
+x=0
dt
tiene como solución general a la expresión
x = ct − c2
donde c ∈ R es una constante arbitraria.
En efecto, como
dx
=c
dt
entonces sustituyendo en la EDO se tiene que
x = ct − c2 ⇒
c2 − tc + ct − c2 = 0
7
dx
t
t2
es una solución puesto que como
Pero, también ocurre que x =
=
dt
2
4
entonces
2
2
dx
t t2
t
dx
−t +x =
−t +
dt
dt
2
2
4
t2 t2 t2
=
− +
4
2
4
=
t2 t2
−
2
2
= 0
Esta expresión no se puede obtener de la solución general al asignarle valores a la
t2
constante c . En consecuencia x =
es una solución singular de la EDO.
4
Desde el punto de vista geométrico se reafirma aún más esta idea, ya que la
solución general representa a una familia de rectas mientras que la solución singular representa una parábola, por lo tanto no pertenece a la familia.
La o las constantes arbitrarias que aparecen en la solución general de una EDO permite
que en esa expresión se incluyan sus soluciones particulares, las cuales se obtienen al asignarle
valores a estas constantes arbitrarias. En muchos casos se pide una solución particular de
la EDO, la cual sólo se podrá obtener si se conocen algunos datos adicionales que permitan
determinar valores especı́ficos de las constantes arbitrarias. Si los datos se dan en un punto
en particular se dice que se tiene un problema con condiciones iniciales . Si los datos se
dan en más de un punto se tiene un problema con condiciones de contorno .
• Ejemplos :
1. Para la EDO
dx
− x = 2 (1 − t)
dt
su solución general es x (t) = 2t + cet .
Hallemos la solución particular que satisface la condición inicial x (0) = 3 .
Entonces como
x (0) = 2 · 0 + ce0 = 3
se tiene que c = 3 .
Luego x = 2t + 3et es la solución particular pedida.
Geométricamente la condición x (0) = 3 establece, determinar de la familia de
curvas x = 2t + cet aquella cuya imágen en 0 vale 3 esto es, aquella curva
de la familia que pasa por el punto (0, 3) .
2. Para la EDO
d2 x
= 6t
dt2
su solución general es x (t) = t3 + c1 t + c2 .
Hallemos la solución particular que satisface las condiciones de contorno x (−1) = 0
y x′ (1) = 1 .
Entonces, como x′ (t) = 3t2 + c1 se tiene, al aplicar las condiciones dadas que,
x (−1) = −1 − c1 + c2 = 0 y x′ (1) = 3 + c1 = 1
8
de donde se obtiene que c1 = −2 y c2 = −1 .
Luego, la solución particular que satisface las condiciones dadas es x = t3 − 2t − 1 .
Geométricamente, la condición x (−1) = 0 establece determinar la curva que
pasa por el punto (−1, 0) mientras que la condición x′ (1) = 1 establece determinar aquella curva cuya recta tangente tiene pendiente 1 cuando la abscisa del
punto es t = 1 .
Las soluciones de una EDO pueden encontrarse dadas en la forma explı́cita x = x (t)
o su solución general en la misma forma explı́cita x = x (t; c1 , . . . , cn ) ( dependiendo de las
constantes arbitrarias c1 , . . . , cn ).
Otras veces la solución de una EDO pueden encontrarse dadas en la forma implı́cita
ϕ (t, x) = 0 o ϕ (t, x; c1 , . . . , cn ) = 0 cuando se trate de su solución general.
• Ejemplos :
1. Para la EDO
forma explı́cita.
2. Para la EDO
implı́cita.
d2 x
− x = 0 , x (t) = cosh t + senh t es una solución dada en
dt2
dx
t
= − , t2 + x2 = c2 es su solución general,dada en forma
dt
x
En virtud a todo lo anterior, resolver una EDO significa entonces encontrar todas sus
soluciones; general, particular o singular, ya sea en forma explı́cita o en forma implı́cita.
ecuaciones diferenciales
==========
==========
ingenierias
R.B.B.-UTA - I Semestre 2012
9