Tema 4 Series numericas 4.1 Denicion y propiedades Denicion 4.1. Sea f n g una sucesion de numeros reales o complejos formamos una a nueva sucesion fSn g tal que S1 S2 S3 n S = = = .. . = .. . a1 + a2 a1 + a2 + a3 a1 a1 + a2 + : : : + an Se denomina serie al par de sucesiones (fan g fSng). A los elementos de fan g se les denomina terminos, mientras que a los elementos de fSn g se les llama sumas parciales. Se dene entonces la suma a1 que se nota 1 X n=1 a n + a2 + a3 + : : : an + : : : = nlim !1 Sn = a1 + a2 + a3 + : : : an + : : : = nlim !1 Sn : Pueden, como sabemos, ocurrir tres cosas, que limn!1 Sn 2 R, que limn!1 Sn = 1 o que limn!1 Sn no exista. En el primer caso diremos que la serie converge, en el segundo que diverge y en el tercero que oscila. Algunos autores llaman sumables a los dos primeros y no sumable el tercero, otros no distinguen entre los dos ultimos llamandoles a ambos divergentes, nosotros adoptaremos el criterio se~nalado. Proposicion 4.1. (AsociatividadPde1 la suma de terminos) Si en una serie convergente n=1 n (divergente) se agrupanPlos terminos sin cam0 biarlos de orden, segun una ley cualquiera, la serie que resulta 1 n=1 n es convergente a a (divergente). Si es convergente la suma de la nueva serie coincide con la de la serie original. Proposicion 4.2. P (Intercalacion y supresion de un numero nito de terminos) 1 Si en una serie n=1 an se intercalan (suprimen) un numero nito de terminos, cuya suma sea B , la nueva serie tiene el mismo caracter que la primera, y si esta era convergente y de suma S , la nueva serie tiene por suma S + B (S ; B ). Proposicion 4.3. (El producto por una constante es distributivo respecto de la suma innita) P Sea 2 R o C, 6= 0, y sea 1 n=1 n una serie, entonces: a i) ii) iii) P1 n=1 P1 n=1 P1 P1 ( n=1 P 1 n es divergente ) n=1 ( P es oscilante ) 1 ( n a es convergente ) a a a n=1 an n=1 convergente y se cumple que 1 X n=1 n) n) a Proposici de series) P on 4.4.es (suma P Si 1 convergente y 1 n=1 n n=1 a n ) es convergente y b P1 n=1 (an ) = es oscilante. 1 X (an + bn ) = n=1 an . es divergente. es convergente, entonces n P1 n=1 n+ a 1 X n=1 P1 n=1 (an + bn ) es n b : 4.2 Condicion necesaria para la convergencia Teorema on necesaria pero no suciente para la convergencia) P 4.1. (condici Sea 1 una serie convergente, entonces n=1 an lim a n!1 n = 0: 4.3 Divergencia de la armonica. Serie geometrica 1 1 X Proposicion 4.5. La serie n=1 n es divergente a +1. Proposici on 4.6. (serie geometrica) P 1 Sea n=1 1 n;1 , con 1 2 R, entonces se cumplen: P n;1 = i) Si j j 1 entonces 1 1 (1 ; ). n=1 1 P n;1 es divergente. ii) Si 1, entonces la serie 1 n=1 1 P n;1 es oscilante. iii) Si ;1, entonces la serie 1 n=1 1 a r r a r < a r r a = r a r r a r 4.4 Series de terminos no negativos: criterio de comparacion, criterio de la ra z y del cociente Proposicion 4.7. La serie P1 con 0, 8 2 N, es convergente, si y solo si, la n=1 an a n n sucesion fSn g de las sumas parciales esta acotada superiormente. TeoremaP4.2. (criterio on) P1 de comparaci Sean 1 y tales que n n n n 0, 8 2 N, y existe 0 2 N (frecuentemente n=1 n=1 a b a b n n 1) tal que 8n n0 , se cumple an bn , entonces se verica: P b es convergente ) P1 a es convergente. i) 1 n=1 n n=1 n P a es divergente ) P1 b es divergente. ii) 1 n=1 n n=1 n P P Denicion 4.2. Dadas 1n=1 an y 1n=1 bn tales que an bn P01, 8n 2 N, si existe n0 2 N tal n0 , se cumple an bn se dice que la serie P1queb 8,no tambi P1 an=1. an es minorante de la e n que esta u ltima es mayorante de la n n=1 n=1 n 2 CorolarioP14.1. (criterio de comparacion en el l mite) P 1 Sean n=1 n y n=1 n series de terminos positivos, y tales que a b an = c 6= 0 (c 2 R) lim n!1 b n entonces ambas convergen o divergen simultaneamente. Teorema 4.3. (criterio del cociente o de D'Alembert, 1768) P 1 Sea n=1 an una serie tal que an 0 8n 2 N, y sea 8 L < 1 la serie converge, < an+1 lim = L entonces si serie diverge, n!1 an : LL >= 11 lael criterio no decide. Teorema 4.4. (criterio de Cauchy o de la ra z, 1821) P 1 Sea n=1 an , con an 0, y sea 8 L < 1 la serie converge, < p n a = L entonces si serie diverge, lim n n!1 : LL >= 11 lael criterio no decide. Teorema de Raabe-Duhamel, 1832) P 4.5.a (criterio Sea 1 con an 0, y sea n n=1 8 L > 1 la serie converge, an+1 < = L entonces si serie diverge, lim n 1 ; n!1 : LL >= 11 lael criterio an no decide. 4.5 Serie armonica generalizada. Criterio de Pringsheim Denicion 4.3. Llamaremos serie armonica generalizada de exponente 2 R, a la serie Proposicion 4.8.1 (convergencia de la armonica generalizada) Sea la serie X n=1 1 X 1. n=1 n 1 , se cumplen: n i) Si 1, entonces la serie es divergente. ii) Si > 1, entonces la serie es convergente. Teorema de Pringsheim) P 4.6.a (criterio Sea 1 con a 0, 8n 2 N, se cumplen los siguientes apartados: n n n=1 P a es i) Si existe 2 R, > 1 tal que lim n!1 n an < +1, entonces la serie 1 n=1 n convergente. P a es divergente. ii) Si existe un 1 tal que lim n!1 n an > 0, entonces la serie 1 n=1 n iii) Si no existe un que satisfaga i) o ii), entonces el criterio no decide. Denicion 4.4. Llamaremos series alternadas a aquellas que tienen los termino alternativamente positivos y negativos, o si se preere a aquellas cuyo termino n-esimo puede escribirse como an = (;1)n+1 jan j o an = (;1)njan j. 3 4.6 Series alternadas. Criterio de Leibnitz Teorema 4.7. (criterio dePLeibnitz, 1784) 1 Si una serie alternada , cumple la condicion n=1 an ja1 j > ja2j > ja3 j > : : : > jan j > jan+1 j > : : : entonces se verica lim a = 0 () n!1 n 1 X n=1 n a converge. 4.7 Convergencia absoluta y condicional Denicion 4.5. Sea la serie P1 , si converge P1 n=1 an n=1 jan j diremos que la primera es una serie absolutamente convergente. De una serie que converja, pero no lo haga absolutamente (como la armonica alternada) diremos que es condicionalmente convergente. Teorema 4.8. (de la convergencia absoluta) 1 X n=1 jan j es convergente =) 1 X n=1 n a es convergente. Referencias 1] Emanuel Fischer, Intermediate Real Analysis, Spriger-Verlag, 1980. 2] Miguel de Guzman y Baldomero Rubio, Analisis Matematico (numeros reales, sucesiones y series), Ediciones Piramide, Madrid 1990. 3] Konrad Knopp, Innite Sequences and Series, Dover Publications Inc., New York 1956. 4] Konrad Knopp, Theory and application of innite series, Dover Publications, Inc., 1947, 1951, 1990. 4