Estad´Istica

Estadı́stica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . septiembre 2002
P1.— Una empresa de software que diseña juegos para ordenador somete los diseños preliminares de sus productos a la evaluación previa de un grupo seleccionado de clientes.
Según muestra la experiencia, el 95% de los productos que tuvieron un gran éxito en
el mercado recibieron buenas evaluaciones, el 60% de los de éxito moderado recibieron
buenas evaluaciones y sólo el 10% de los que tuvieron escaso éxito fueron valorados favorablemente. Además, globalmente el 40% de los productos de la empresa han tenido
mucho éxito, el 35% un éxito moderado y el 25% una baja aceptación.
i) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto, elegido al azar entre la producción de
la fábrica, obtenga una buena evaluación previa?
ii) Si un nuevo producto obtiene una buena evaluación ¿cuál es la probabilidad de que
se convierta en un producto de gran éxito?
iii) Si un producto no obtiene una buena evaluación ¿cuál es la probabilidad de que se
convierta en un producto de gran éxito?
Solución
Sean los sucesos
G = {el producto tiene mucho éxito} M = {el producto tiene éxito moderado}
E = {el producto tiene escaso éxito} B = {el producto tiene buena evaluación}
Se tienen las probabilidades
P (M ) = 00 35
P (E) = 00 25
P (G) = 00 4
0
0
P (B | G) = 0 95 P (B | M ) = 0 4 P (B | E) = 00 1.
i)
P (B) = P (G) · P (B | G) + P (M ) · P (B | M ) + P (E) · P (B | E)
= 00 95 · 00 4 + 00 6 · 00 35 + 00 1 · 00 25
= 00 615.
ii)
P (G | B) =
³ ´
P (G) · P (B | G)
00 4 · 00 95
=
= 00 6179.
P (B)
00 615
³
´
iii) Puesto que P B = 1 − 00 615 = 00 385 y P B | G = 1 − 00 95 = 00 05, se tiene
³
´
P G|B =
³
´
P (G) · P B | G
³ ´
P B
=
00 4 · 00 05
= 00 0519.
00 385
P2.— De una urna que contiene 3 bolas blancas y 2 negras se extraen las bolas una a
una sin reemplazamiento, hasta que hayan salido 2 bolas blancas. Si X es la variable que
mide el número total de bolas extraidas e Y el número de bolas negras extraidas, hállese
la función de cuantı́a conjunta de (X, Y ). ¿Son independientes?
Solución
La siguiente tabla muestra los casos posibles con los valores de X e Y , y las probabilidades
X
2
3
3
4
4
4
bb
bnb
nbb
nnbb
nbnb
bnnb
Y
0
1
1
2
2
2
p
3
= 10
3 2 2
1
5 · 4 · 3 = 5
2 3 2
1
5 · 4 · 3 = 5
1
· 14 · 33 · 22 = 10
3 1 2
1
· 4 · 3 · 2 = 10
1
· 24 · 13 · 22 = 10
3
5
2
5
2
5
3
5
·
2
4
Como, obviamente, es Y = X − 2, hay dependencia funcional entre ambas. Las funciones
de cuantı́a son
X
f1
2
3
4
3
10
2
5
3
10
Y
f2
0
1
2
3
10
2
5
3
10
La función de cuantı́a conjunta aparece en la siguiente tabla
Y
2
1
0
0
0
0
3
10
0
3
2
5
2
3
10
0
0
4
X
La tabla confirma la dependencia entre las variable; por ejemplo:
f (2, 0) =
3
9
6= f1 (2) · f2 (0) =
.
10
100
P3.— La duración en minutos de una llamada telefónica de larga distancia, se asocia a una
variable aleatoria X cuya función de distribución es
x
F (x) = 1 − e− 3 ,
para x ≥ 0.
Calcúlese:
i) La función de densidad.
Derivando la función de distribución
f (x) =
1 −x
e 3
3
para x ≥ 0.
ii) La duración media de una llamada.
E (X) =
+∞
Z
x f (x) dx =
0
+∞
Z
0
1 −x
x e 3 dx = 3.
3
Luego las llamadas tienen una duración media de 3 minutos.
iii) La probabilidad de que la duración de una llamada esté comprendida entre 2 y 5
minutos.
5
2
P (2 < X < 5) = F (5) − F (2) = 1 − e− 3 −1 + e− 3 = 00 3245.
P4.— Un juego consiste en lanzar dos dados; el jugador gana 3 euros si la suma de los dos
dados es 7 ó 9, y paga uno en otro caso. Tras 200 lanzamientos ¿cuál es la probabilidad
de que el saldo de ganancias sea positivo?
Solución
5
La probabilidad de sacar 7 ó 9 al lanzar dos dados es
(hágase!). El número X de
18
Ã
!
5
éxitos en 200 lanzamientos tiene una distribución binomial X ∼ B 200,
; el número
18
de fracasos es 200 − X y la ganancia es G = 3X − (200 − X) = 4X − 200. Para que G > 0
ha de ser X > 50; por tanto hemos de calcular P (X > 50). Aproximamos por la normal
X − 200 ·
Por tanto,
5
18
Z≈v
=
u
u
t200 · 5 13
18 18
X − 550 56
60 33
Ã
50 − 550 56
P (X > 50) = 1 − P (X < 50) = 1 − P Z <
60 33
= 1 − Φ(−00 88)
= Φ(00 88)
= 00 8106.
!