Examen Parcial 2 Cálculo 2 Problema 1 (18 puntos). Calcula las siguientes integrales. Z tan x sec3 xdx 1. Solución. Z 3 Z tan x sec xdx = tan x sec x sec2 xdx = 1 sec3 x + C, 3 porque la derivada de sec x es tan x sec x. Z x √ 2. dx x−1 Solución. Consideramos el cambio de variable u = x = u2 + 1 y √ x − 1. Entonces dx = 2u, du por lo que entonces Z 2 Z Z 1 x u +1 2 3 √ dx = · 2udu = 2 (u + 1)du = 2 u + u + C u 3 x−1 √ 2 = (x − 1)3/2 + 2 x − 1 + C. 3 Z 3. 3 (x2 − 6x + 10)−3/2 dx 0 Solución. Observamos que x2 − 6x + 10 = (x − 1)3 + 1, por lo que entonces, si x = 3 + tan θ, x2 − 6x + 10 = (x − 1)3 + 1 = tan2 θ + 1 = sec2 θ, y Z Z Z 2 −3/2 2 −3/2 2 (x − 6x + 10) dx = (sec θ) sec θdθ = cos θdθ = sen θ + C x−3 =p + C, (x − 3)2 + 1 y por lo tanto Z 3 2 −3/2 (x − 6x + 10) 0 x−3 3 3 dx = p =√ . 2 10 (x − 3) + 1 0 1 Problema 2 (6 puntos). Escribe la ecuación r= 1 cos θ + sen θ en coordenadas rectangulares, e identifica la curva que describe. Solución. La ecuación es equivalente a r cos θ + r sen θ = 1, y, como x = r cos θ y y = r sen θ, tenemos la ecuación x + y = 1, la cual describe una recta que cruza los ejes en (1, 0) y (0, 1). Problema 3 (6 puntos). Escribe la ecuación x4 + 2x2 y 2 + y 4 + 2x2 y + 2y 3 = x2 en coordenadas polares, e identifica la curva que describe. Solución. Notamos que la ecuación es equivalente a (x2 + y 2 )2 + 2(x2 + y 2 )y = x2 y, entonces, en coordenadas polares es r4 + 2r2 · r sen θ = r2 cos2 θ. r = 0 representa sólo un punto en el origen, ası́ que tenemos r2 + 2r sen θ = cos2 θ. Completamos el cuadrado sumando sen2 θ en ambos lados de la ecuación, y obtenemos r2 + 2r sen θ + sen2 θ = cos2 θ + sen2 θ, la cual es equivalente a (r + sen θ)2 = 1, que tiene dos soluciones r = 1 − sen θ r = −1 − sen θ. y Ambas ecuaciones describen una cardioide soportada sobre el eje y, con su depresión en la parte superior. 2