2010 - Universidad de los Andes

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
CURSO DE CÁLCULO DIFERENCIAL - CÓDIGO: MATE-1203-1204
EXAMEN FINAL - NOVIEMBRE 2010
NOMBRE:
Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que puedan conducir a la
trampa o al fraude en las pruebas académicas.
FIRMA:
PARTE I
Tema B
Tiempo: 75 minutos
15 preguntas
Encierre la respuesta correcta en un círculo. Haga sus cálculos en este cuadernillo de examen
 1
1  x 2
1. Considere la función definida a trozos: f ( x)  
 1 x

2
si x  1
si x  1
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la única verdadera?
a)
b)
c)
d)
f ( x)
f ( x)
f ( x)
f ( x)
no es continua ni diferenciable en a  1 .
es continua pero no es diferenciable en a  1 .
es continua y diferenciable en a  1 .
es diferenciable pero no es continua en a  1 .
2. El dominio de la función g ( x) 
x 2  10
 3 es:
x2
a) (,1)  [2,4)
b) [1,2]  [4, )
d) [1,2)  [4, )
e) [1,4]
c) R  {2}
Espacio de borrador
3.
lim
x 0
a) 1
sin(2 x)

x
b) 0
e) 
d) 1 2
c) 2
4. Suponga que la gráfica de y  f ( x) es:
y
x
Entonces, la gráfica de y  f ( x  1)  2 es:
a)
b)
y
y
x
c)
x
d)
y
y
x
x
5. La ecuación de la recta tangente a la curva y  x3  4 x en el punto
(1, 3) es:
1
5
a) y   x 
2
2
b) y  x  4
d) y  2 x  1
e) y  3x
c) y   x  2
6. Si 3x  f ( x)  x3  2 para todo x [0,2] , entonces lim f ( x) 
x 1
b) 
a) 0
c) indeterminado
d) 3
e) 2
7. La derivada de y  ln  sec(2 x)  tan(2 x)  es:
a) y  2tan 2 (2 x)
b) y  2sec2 (2 x)  tan 2 (2 x)
c) y  sec(2 x)  tan(2 x)
d) y  sec3 ( x)
e) y  2sec(2 x)
8. Si se deriva implícitamente la ecuación x  sin y  y 2  cos x , se encuentra
que la derivada dy dx cuando x  0 y y   2 vale:
a) 1 
b) 0
c) 2 3
d) Indefinido
e) 2
1
1 x
9. lim   
x  x
 
a) e
b) 1 e
c) 0
d) 
e) 1
10. Sea f ( x)  x con x [1,4] . De acuerdo al teorema del valor medio
para derivadas, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es la única correcta?
a) Existe c [1,4] tal que f (c) 
1
.
3
1
b) Para todo c [1,4] es cierto que f (c)  .
3
1 1
c) Existe c [1,4] tal que
 .
3c 2
f (4)  f (1) 1
d) Existe c [1,4] tal que f (c) 
 .
4 1
3
e)
Ninguna afirmación es correcta.
11. Si g ( y ) 

y2
sin t dt , entonces g ( y) 

a) 2 y cos( y 2 )
b) 2 y sin( y 2 )
d) y 2 cos( y)
e) 2 y sin( y)
c) 2 y cos2 ( y)
12. El área de la región delimitada por las curvas y  xe x y y 
2
x
en el
e
primer cuadrante (véase la gráfica adjunta) es:
a)
1
2e
b)
1
e
c)
1 1

2 2e
d)
1 1

2 e
y
x
e)
1
2

n
13. lim
n 
i 1
 1  4i  1 

  
 n  3n 
a) 1 3
14.

b) 4 3
c) 2
d) 1 2
e) 2 3
cos(ln x)
dx 
x
a) cos(ln x)  C
b)
 sin(ln x)
C
x
d) ln(sin x)  C
e)
 sin(ln x)  cos(ln x)
C
x2
c) sin(ln x)  C
15. La región delimitada por las gráficas de y  Ae x , y  0 , x  0 y x  ln3
se hace girar alrededor del eje x, lo que genera un sólido de revolución.
El valor positivo de la constante A para que dicho sólido de revolución
tenga un volumen de 16 es de:
a) 3
b) 2
c) 1 4
FIN PARTE 1
d) 2
e) 1 2
U NIVERSIDAD DE LOS A NDES
D EPARTAMENTO DE M ATEM ÁTICAS
MATE1203 Cálculo Diferencial
Examen Final — (26/07/2010)1
Nombre:
.
Código:
1. Calcule los siguientes lı́mites
√
√
x + 2 − 2x
a) lı́m
x →2
x2 − 2x
b) lı́m
x →∞
x
−
2
r
.
x2
+x
4
!
2. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación
y + cos( xy2 ) + 3x2 = 4
en el punto (1, 0).
3. Se desea construir una lata (con tapa) con capacidad para un litro, con la
forma de un cilindro circular recto. ¿De qué dimensiones debe ser la lata
para usar la menor cantidad posible de material?.
x2 − 2x + 4
4. Bosqueje la gráfica de la función f ( x ) =
, teniendo en cuenta:
x−2
a) Dominio.
b) Simetrı́as.
c) Cortes con los ejes.
d) Ası́ntotas.
e) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
f ) Máximos y mı́nimos.
g) Intervalos de concavidad y puntos de inflexión.
5. Considere la región limitada por las curvas y = x2 , x + y = 2, y = 0.
a) Halle el área de la región.
b) Encuentre el volumen del sólido de revolución que se obtiene al rotar
la región alrededor de la recta x = 4.
1 El
juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en
actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro
acto que perjudique la integridad de mis compañeros o de la misma Universidad”