Prof. Enrique Mateus Nieves PhD in Mathematics Education Regla de la cadena para funciones multivariadas La regla de la cadena para funciones de una variable establece que si 𝑓(𝑥) = 𝑦 y 𝑥 = 𝑥(𝑡), entonces 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 , De manera análoga podemos definir la derivada por la regla de la cadena para funciones de dos o más variables. Regla de la cadena para funciones de dos variables Sea z f x, y una función de dos variables. Consideramos dos casos a saber: 1. Regla de la cadena caso 1. Suponga que z f x, y es una función de x e y diferenciable; donde x gt y y ht son funciones de t diferenciables. Entonces z es una función de t 𝜕𝑧 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦 diferenciable y: = ∙ + ∙ 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑡 2. Regla de la cadena caso 2. Suponga que z f x, y es una función de x e y diferenciable; donde x gs,t y y hs,t son funciones de s y t diferenciables. Entonces z es una función de t 𝜕𝑧 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦 diferenciable y: = ∙ + ∙ ; = ∙ + ∙ 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑡 𝜕𝑠 𝜕𝑥 𝜕𝑠 𝜕𝑦 𝜕𝑠 Ejemplo 1 Si 𝑧 = 𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 4 donde 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑡; y 𝑦 = cos 𝑡 determinar 𝜕𝑧 𝜕𝑡 cuando t 0 Solución: Como podemos ver el ejercicio, la regla de la cadena solicitada es de la forma 𝜕𝑧 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = ∙ + ∙ = 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑡 (2𝑥𝑦 + 3𝑦 4 )(2 cos 2𝑡) + (𝑥 2 + 12𝑥𝑦 3 )(−𝑠𝑒𝑛 𝑡 )⌋𝑡=0 ⇒ (0 + 3)(2 cos 0) + (0 + 0)(−𝑠𝑒𝑛 0 = 6) Esta derivada se puede interpretar como la razón de cambio de z con respecto a t cuando el punto x,y se desplaza por la curva C cuyas ecuaciones paramétricas son x sen 2t , y cost . En particular cuando t 0 , el punto (𝑥, 𝑦) = (0,1). Ejemplo 2 Si 𝑧 = 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦, donde 𝑥 = 𝑠𝑡 2 , y 𝑦 = 𝑠 2 𝑡 calcular 𝜕𝑧 𝜕𝑠 y 𝜕𝑧 𝜕𝑡 Solución: Como podemos ver el ejercicio es del caso 2, por tanto, la regla de la cadena 𝜕𝑧 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦 solicitada es de la forma 𝜕𝑡 = 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑡 + 𝜕𝑦 ∙ 𝜕𝑡 y 𝜕𝑧 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑠 + 𝜕𝑦 ∙ 𝜕𝑠 𝜕𝑠 Prof. Enrique Mateus Nieves PhD in Mathematics Education 𝝏𝒛 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦 2 𝝏𝒛 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦 2 2 i. Para 𝝏𝒔 = 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑠 + 𝜕𝑦 ∙ 𝜕𝑠 = (𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦)(𝑡 2 )+ (𝑒 𝑥 cos 𝑦)(2𝑠𝑡) = 𝑡 2 𝑒 𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛 (𝑠 2 𝑡) + 2𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑡 cos(𝑠 2 𝑡) ii. Para 𝝏𝒕 = 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑡 + 𝜕𝑦 ∙ 𝜕𝑡 =(𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦)(2𝑠𝑡)+ (𝑒 𝑥 cos 𝑦)(𝑠 2 ) = 2𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛 (𝑠 2 𝑡) + 𝑠 2 𝑒 𝑠𝑡 cos(𝑠 2 𝑡) 2 Nota: el caso 2 de la regla de la cadena contiene tres tipos de variables: s y t son variables independientes; x, y se llaman variables intermedias y z es la variable dependiente. Regla de la cadena versión general Suponga que u es una función diferenciable de n variables 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 , y cada 𝑥𝑗 es una función diferenciable de la m variables 𝑡1 , 𝑡2 , ⋯ , 𝑡𝑚 . Entonces u es una función de 𝑡1 , 𝑡2 , ⋯ , 𝑡𝑚 𝑑𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑢 1 1 2 2 𝑛 𝜕𝑥 y 𝑑𝑡 = 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑡 1 + 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑡 2 + ⋯ + 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑡 𝑛 𝑚 Ejercicios 𝒅𝒛 Aplique la regla de la cadena para hallar 𝒅𝒕 ó 𝝏𝒛 𝝏𝒔 , 𝝏𝒛 𝝏𝒕 según el caso: 1. 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥𝑦 , 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑦 = 𝑒 𝑡 2. 𝑧 = 𝑥 3 𝑦 3, 𝑥 = 𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑦 = 𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑦 = 2𝑡 3. 𝑧 = √1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑥 = ln (𝑡) , 4. 𝑧 = 𝑥 2 ln(𝑦) + 𝑦 ln(𝑥) 𝑥 = √𝑡 + 𝑠, 𝑦 = (2𝑠 + 𝑡)2 5. 𝑧 = cos(𝑥 + 4𝑦) , 6. 𝑧 = 4𝑦 − 𝑥 2 𝑦, 𝑥 = 5𝑡 4 , 2 𝑦=𝑡 𝑥 = 3𝑠𝑡, 𝑦 = −2𝑠 2 𝑡 3 7. 𝑧 = 3𝑥𝑦 − 3(𝑥 − 𝑦), 𝑥 = 3𝑡 + 2𝑡; 𝑦 = 𝑠 − 2𝑡 4 8. 𝑧 = √𝑥 + 3√𝑥 − 𝑦, 𝑥 = 𝑠𝑡 3 , 𝑦 = √2𝑠𝑡 9. 𝑧 = 𝑒 2𝑥 √𝑦 + 𝑥𝑦 2, 𝑥 = ln(2𝑡) + 3𝑠 , 𝑦 = ln(3𝑦) − 2𝑠 10. 𝑧 = (𝑥 3 𝑦 − 𝑦 3 𝑥), 𝑥 = 4√2𝑠 + 𝑡, 𝑦 = (𝑠 2 )(𝑡 2 )−3 Prof. Enrique Mateus Nieves PhD in Mathematics Education Algunas respuestas 1. 2. 𝝏𝒛 𝝏𝒕 𝜕𝑧 𝜕𝑠 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 𝑒 𝑡 cos 𝑡 + 2𝑒 2𝑡 + 𝑒 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 = 3𝑠 5 𝑠𝑒𝑛3 𝑡 𝑐𝑜𝑠 3 𝑡 + 3𝑠 5 𝑠𝑒𝑛3 𝑡 𝑐𝑜𝑠 3 𝑡 Referencias: • Stewart, J. (2010). Cálculo de varias variables. “Trascedentes Tempranas”. Sexta edición. Edamsa Impresiones S.A. de C. V. Iztapalapa, México, D. F. • Leithold, L. (1998). El cálculo. Traducción de la séptima edición en inglés de: THE CALCULUS 7. ISBN 0-673-46913-1. Printed in Mexico. Grupo Mexicano MAPASA, S.A. DE C.V. Referencias de apoyo y complementarias: • Apóstol, Tom M. (1967). Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd edición). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-00005-1. • Bourbaki, Nicolas (2004). Integration I. Springer. ISBN 3-540-41129-1.. En particular los capítulos III y IV.