Guía de ejercicios - Facultad de Matemáticas

EJERCICIOS PARA MAT 2225: TEORÍA DE NÚMEROS
RICARDO MENARES
Muestre que ac|bc ⇒ a|b.
Muestre que (a, b) = [a, b] ⇒ a = b
Calcule (n, n + 1) y [n, n + 1] para todo natural n ≥ 1.
(Coates) Calcular d = (a, b) y encontrar enteros x, y tales que d = ax + by en los
siguientes casos:
(i) a = 841, b = 160;
(ii) a = 2613, b = 2171;
(iii) a = 8991, b = 3293
(b) Encuentre enteros (x, y, z) tales que
(1) (a)
(b)
(c)
(2) (a)
6x + 10y + 15z = 1.
(3) Pruebe que existen infinitos pares de enteros (x, y) con x + y = 100 y (x, y) = 5.
(4) Encuentre todos los enteros no nulos (m, n) tales que
1
1
1
+ =
.
m n
143
(5) Sea n ≥ 2 y k un entero positivo. Pruebe que (n − 1)2 |nk − 1 si y sólo si n − 1|k.
(6) Sea n ≥ 2. Muestre que
1
1 1
1 + + + ··· +
2 3
n
no es un entero.
(7) Sean a, b, n > 1 enteros. Muestre que an − bn - an + bn .
√
(8) Sea n > 3 un entero no primo. Muestre que existe un primo p|n tal que p ≤ n.
(9) Sea p1 = 2 < p2 = 3 < p3 < · · · la sucesión de los números primos. Sea ω(m) el número
de divisores primos de m. Por ejemplo, ω(6) = ω(12) = 2 y ω(pn ) = 1 para todo n.
(a) Muestre que log pn = O(log n), n → ∞
(b) Muestre que ω(n) ≤ log(n)/ log 2
(c) Justifique la estimación
∑ log p
p|n
p
( ω(n)
∑ log pi )
=O
,
pi
n → ∞.
i=1
Indicación: la función log x/x es decreciente para x ≥ e.
log p
(d) Muestre que ω(n) · p ω(n) = O(1), n → ∞.
ω(n)
(e) Concluir que
∑ log p
= O(log log n), n → ∞.
p
p|n
Indicación: use integración por partes.
(10) Sea
n
∑
S(n) =
j2.
j=1
(j,n)=1
(a) Muestre que
n(n + 1)(2n + 1) ∑ 2 ∑ 2 ( n ) ∑ n2
=
j =
d S
=
S(d).
6
d
d2
n
j=1
(b) Deduzca que
d|n
d|n
( 2n
S(n)
1∑
d)
=
µ(d)
+
3
+
.
n2
6
d
n
d|n
Indicación: use la fórmula de inversión de Möbius.
1
(c) Concluir
∑ S(n)
x2
=
+ O(x log x).
n2
π2
n≤x
(11) Sea d(n) el número ∑
de divisores de n (incluyendo los divisores 1 y n). Muestre que
d = 1 ∗ 1 y concluya n≤x d(n) = x log x + O(1).
(12) (a) Sea f una función multiplicativa tal que
f (pα ) → 0 si pα → ∞.
Muestre que f (n) → 0 si n → ∞.
(b) Justifique que d(·) es una función multiplicativa y muestre que para todo ε > 0, se
tiene
d(n) = Oε (nε ), n → ∞.
(13) Dé un ejemplo de un par de funciones aritméticas totalmente multiplicativas f, g tales
que f ∗ g no sea totalmente multiplicativa.
∑
6
(14) (a) Mostrar que n≤x ϕ(n)
x→∞
n = π 2 x + O(log x),
∑
3 2
(b) Deducir que n≤x ϕ(n) = π2 x + O(x log x), x → ∞.
∑
≤1
(15) Muestre que para todo x ≥ 1, se tiene n≤x µ(n)
n
(16) Densidad de los enteros libres de cuadrados.
(a) Muestre que L(µ2 , s) =
∑ζ(s)/ζ(2s), para todo s suficientemente grande
(b) Deduzca que µ2 (n) = d2 |n µ(d)
(c) Concluya que
∑
√
6
µ2 (n) = 2 x + O( x), x → ∞.
π
n≤x
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