Universidad de la República Facultad de Ingenierı́a - IMERL Geometrı́a y Álgebra Lineal 1 Primer semestre 2016 Examen Miércoles 13 de Julio 2016 Número de Examen Cédula Nombre y Apellido En todo el examen, el espacio de los polinomios de grado menor o igual que n con coeficientes reales se nota como Rn [x]. Primera parte: múltiple opción. Total: 56 puntos. En la tabla siguiente debés indicar tu vector de respuestas a los ejercicios 1 a 7. Respuesta correcta: 8 puntos, respuesta incorrecta: −2 puntos, no responde: 0 punto. RESPUESTAS MO 1 2 3 4 5 6 7 PARA USO DOCENTE. Ej 1(a) Ej 1(b) Ej 1(c) Ej 2(a) Ej 2(b) Ej 2(c) Total Total múltiple opción: Total examen: 1. Sean A = {v1 , . . . , vn } y B = {w1 , . . . , wn } dos bases de un espacio vectorial V . Considere las siguientes afirmaciones: j=i P (I) La transformación lineal determinada por T (vi ) = wj para todo 1 ≤ i ≤ n es un j=1 isomorfirmo. (II) Dada una transformación lineal T : V → V entonces A ((T ))A es semejante a (III) El conjunto {v1 + w1 , v2 + w2 , . . . , vn + wn } es una base de V . Indique la opción correcta: a) sólo (II) y (III) son verdaderas. b) sólo (I) y (II) son verdaderas. c) sólo (I) y (III) son verdaderas. d ) sólo (II) es verdadera. e) sólo (III) es verdadera. 1 B ((T ))B . 2 2. Sea la recta r dada por la intersección de los planos 2x + y = 5 y y + z = 1. Consideremos el plano π definido por r y el punto P = (1, 1, 1). Entonces la intersección de π con el eje de coordenadas de las x es: a) el punto (7/2, 0, 0). b) el punto (−7/2, 0, 0). c) el punto (7, 0, 0). d ) el eje de las x. e) ninguna de las opciones anteriores es correcta. 3 , A = {x2 , x, 1} base de R [x] y B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} base de 3. Sea T : R2 [x] → R 2 1 2 α R3 con B ((T ))A = α −1 3 con α ∈ R. 0 1 2 Para el valor más grande de α que hace que T no sea invertible se cumple que: a) {−x2 − 2x + 1} es base de N(T) y {(1, 5, 0), (2, −1, 1)} es base de Im(T). b) {−x2 − 2x + 1} es base de N(T) y {(6, 6, 1), (2, 1, 2)} es base de Im(T). c) {x2 − 2x − 1} es base de N(T) y {(1, 5, 0), (2, −1, 1)} es base de Im(T). d ) {x2 − 2x − 1} es base de N(T) y {(6, 6, 1), (2, 1, 2)} es base de Im(T). e) {−x2 − 2x − 1} es base de N(T) y {(6, 6, 1), (2, 1, 2)} es base de Im(T). 4. Sean A y B dos matrices reales n × n tal que AB − A2 = O siendo O la matriz nula de tamaño n × n. Considere las siguientes afirmaciones: (I) Si A 6= O, entonces A = B. (II) Si B 6= A, entonces A = O. (III) Si A es invertible, entonces A = B. Indique la opción correcta: a) Todas son verdaderas. b) La (II) y la (III) son verdaderas. c) Sólo la (III) es verdadera. d ) Sólo (I) es verdadera. e) Sólo la (II) es verdadera. a b c g + 2h 2h 2i − g 5. Sean A = d e f y B = d + 2e 2e 2f − d . g h i a + 2b 2b 2c − a Sabiendo que det(A) = 4, entonces det(2B) vale: a) 32. b) 64. c) −128. d ) 128. e) −64. 3 6. Sea la transformación lineal T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (3y + z, 4x + 6y + 2z, 8x). La distancia de A = (1, 2, 3) a S = Im(T ) es: r 95 a) . r7 11 . b) r 21 3 . c) 7 d ) 0 ya que A pertence a S. 1 e) . 7 7. Se consideran los subespacios S1 = {p ∈ R3 [x] : p00 (0) = 0 y p(−1) = 0}, S2 = {p ∈ R3 [x] : p(1) = 0 y p(0) = 0} y S3 = {p ∈ R3 [x] : p0 (0) = 0}. Entonces: a) dim(S2 ) = 2, dim(S3 ) = 1, dim(S1 ∩ S2 ) = dim(S1 ∩ S3 ) = 1. b) dim(S3 ) = 1, S1 ∩ S2 = {o}, dim(S1 ∩ S3 ) = dim(S2 ∩ S3 ) = 1. c) dim(S3 ) = 3, dim(S1 ∩ S2 ) = dim(S1 ∩ S3 ) = dim(S2 ∩ S3 ) = 1. d ) dim(S3 ) = 3, S1 ∩ S2 = {o}, dim(S1 ∩ S3 ) = dim(S2 ∩ S3 ) = 1. e) dim(S2 ) = 2, S1 ∩ S3 = {o} y dim(S1 ∩ S2 ) = dim(S2 ∩ S3 ) = 1. Segunda parte: problemas de desarrollo. Total: 44 puntos. Ejercicio 1 (22 puntos) a) Sea A = {u1 , . . . , un } un subconjunto de un espacio vectorial V . Defina que A sea linealmente independiente (LI). b) Pruebe que A es linealmente dependiente si y sólo si algún vector de A se escribe como combinación lineal de los demás. c) Sea B = {u, v, w} un conjunto LI. Estudie la dependencia lineal de C = {u − 2v, u + v, w}. Justifique su respuesta. Ejercicio 2 (22 puntos) a) Sea T : V → W una transformación lineal. Defina que T sea inyectiva. b) Pruebe que T : V → W es inyectiva si y sólo si N (T ) = {o}. c) ¿Existe T : R4 [x] → R4 lineal e inyectiva? Justifique su respuesta.