Cardinalidad y el conjunto potencia

Cardinalidad y el conjunto potencia
Un conjunto es una colección o agregado de objetos distintos
tomados como un todo. Los conjuntos a su vez pueden ser
tomados como objetos.
Ejemplos:
Sea de todos los números positivos impares menores que
100. Ese conjunto puede ser escrito claramente como
De los elementos de un conjunto dado podemos
construir otros conjuntos llamados subconjuntos.
En el conjunto previo , podemos hacer los siguientes
subconjuntos de un elemento:
.
Algunos de los subconjuntos de
son:
.
Sea el conjunto de de todos los enteros que terminan en 5.
En este caso, el conjunto puede ser descrito explícitamente
como
.
Como , están claramente definidos, entonces también
pueden ser elementos de otros conjuntos. Así que podemos
también hablar del conjunto de los conjuntos ,
de dos elementos
Similarmente, podemos construir todo los
subconjuntos de tres elementos, etc.
Si un conjunto tiene elementos, entonces hay
subconjuntos de este conjunto, incluyendo el conjunto mismo, y el conjunto vacío simbolizado por: .
.
En este ejemplo es un conjunto de dos elementos. Sin
embargo, podemos también construir otro conjunto de los
elementos de los conjuntos y , así:
that isdea elementos
finite set, while
is an infinite
set. su
ANote
la cantidad
de un conjunto
se le llama
cardinalidad. La cardinalidad del conjunto potencia es siempre
mayor que la cardinalidad del conjunto base.
Georg Cantor demostró que el conjunto potencia de los
conjuntos infinitos no se pueden poner en correspondencia
uno-a-uno con su conjunto base. Por lo tanto, para los
conjuntos infinitos, el conjunto potencia es un infinito
“mayor”. Él simbolizó el infinito de primer tipo, como los
números naturales N =
, llamados los infinitos
contables por .
Así que, ¿cuál es el conjunto potencia de los números
naturales? Bueno, es imposible “contarlo” en el sentido de de
establecer una correspondencia (1-1) con los números
naturales. Así que, la cardinalidad de N es otro tipio de
infinidad. Esto se escribe así
.
Es el concepto de conjunto potencia el que genera los muchos
órdenes de infinidades.
Podemos colectar todos los subconjuntos de un
conjunto para obtener otro conjunto. A este
conjunto, o colección especial se le llama el conjunto
potencia. Se usa denotarlo por
. Para el conjunto
anterior A, el conjunto potencia es
. Otra forma
de expresar el conjunto potencia de un conjunto es
con el símbolo: .
Una propiedad inesperada del conjunto potencia es
que son “más grandes” que el conjunto base en el
sentido de que el conjunto potencia genera más
elementos que el conjunto base. Esto es porque
. Así que, el conjunto potencia de tiene
elementos.
El conjunto potencia de un conjunto finito es fácil de
calcular, aunque es tedioso. Sin embargo, la gran
sorpresa es para los conjuntos infinitos.
Georg Cantor (1845-1918). Fundador de la
teoría de los conjuntos. Introdujo el
símbolo , llamado “aleph-cero”.
es
un número transfinito, es decir, no igual a
ningún número finito. Otros transfinitos
son: ,
, etc.
Ref. Cantor, G. (1915). Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers. Cosimo, Inc. New York.
© E. Pérez http://4DLab.info