Solución a la tarea 8

Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a
Resultados sobre Integrales de Contorno en Variable Compleja, problemas resueltos
1. Calcule la integral indicada:
Z
2+3 i
−3 − 3 i + (−3 + 4 i) z + 3 z 2 dz
3−2 i
Reporte el módulo del resultado.
Solución
En este caso la función a ser integrada:
f (z) = −3 − 3 i + (−3 + 4 i) z + 3 z 2
En la siguiente pantalla se ilustra el cálculo directo de la
integral usando el comando de integración.
es entera (es decir, es analı́tica en todo el plano complejo)
al ser una función polinomial.
2. Calcule la integral indicada:
Z
1
1
3−i
e3 i z z dz
1−3 i
Reporte el módulo del resultado.
Solución
La función que se integra
f (z) = e3 i z z
Por tanto, para calcular la integral basta encontrarle una
primitiva; es decir, una función cuya derivada sea f (z).
Si integramos por las técnicas tradicionales tenemos que
una primitiva es:
1
g(z) = (−3 − 3 i) z + (−3 + 4 i) z 2 + z 3
2
es una función entera; es decir, es analı́tica en todo el
plano complejo. Por consiguiente, para calcular la integral
debemos calcular una primitiva F (z) y evaluarla en los
lı́mites de integración:
Z
3−i
f (z) dz = F (3 − i) − F (1 − 3 i)
1−3 i
Este tipo de primitivas y de evaluaciones es lo que hace la
calculadora: Procedemos como en el problema anterior:
Por tanto,
Z
2+3 i
f (z) dz = g(2 + 3 i) − g(3 − 2 i)
I=
3−2 i
La siguiente gráfica ilustra su solución en la calculadora TI; primeramente se limpian las variables a trabajar,
después se define el integrando, seguido se determina una
primitiva del integrando, y por último se obtiene el módulo de la diferencia de la sustitución de la primitiva en los
lı́mites de integración.
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2
4. Calcule la integral
3. Calcule la integral
I
C
I
1 − 3i + z
dz
−4 − 2 i + z
C
donde C es el cı́rculo |z| = 11. Reporte el módulo del resultado.
Solución
La expresión a integrar se escribe
f=
p
1 − 3i + z
=
−4 − 2 i + z
q
Siendo f racional, los polos de f ocurrirán en los ceros de
q:
q = 0 → z = zo = 4 + 2 i
e−i z
dz
3+i+z
donde C es el cı́rculo |z| = 10. Reporte el módulo del resultado.
Solución
El integrando se escribe como
f=
f1
e−i z
=
3+i+z
f2
Donde f1 = e−i z es entera y f2 = 3 + i + z. Por tanto, los
únicos polos de f son los ceros del denominador f2 :
f2 = 0 → zo = −3 − i
1
1
1
Por otro lado, el cı́rculo donde se integra tiene centro en
z = z1 = 0 y radio 11. Puesto que la distancia de zo a z1
es:
d(zo , z1 ) = |zo − z1 | = |zo − 0| = |zo | ≈ 4.47214 < 11
el polo se encuentra dentro de la curva de integración. Para
calcular la integral requeriremos la fórmula de Cauchy:
I
I
1 − 3i + z
f dz =
dz = 2 π i [1 − 3 i + z]z=zo
z − zo
C
C
Ası́
I
f dz = 2 π i (1 − 3 i + (4 + 3 i))
C
Los cálculos se ilustran en la siguiente figura:
Como la curva de integración C es un cı́rculo con centro
en z1 = 0 y radio r = 10 y la distancia de zo a z1 es
√
d(zo , z1 ) = |z1 − zo | = | − 3 − i| = 4 ≈ 3.162
Entonces, el polo se encuentra dentro de C; por tanto, para
calcular la integral debemos usar la fórmula de Cauchy:
I
e−i z
dz = 2 π i [e−i,z ]z=−3−i
C z − (−3 − i)
Los cálculos se ilustran en la siguiente figura. Los cálculos
se ilustran en la siguiente figura:
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5. Calcule la integral
I
C
−4 i + z
dz
(−2 + 2 i + z) (3 + i + z)
donde C es el cı́rculo |z| = 3. Reporte el módulo del resultado.
Solución
Los polos de la expresión se obtienen de los ceros del denominador:
(−2 + 2 i + z) (3 + i + z) = 0
Cuando salen más de una raı́z conviene manejarlos como
una tabla. Para ello el comando expIlist puede servir.
Observe cómo es utilizado en la figura.
lo cual da los valores:
z1 = −3 − i y z2 = 2 − 2 i
Como la curva de integración es un cı́rculo con centro en
zo = con radio r = 2, vemos si están en el interior de C:
d(z1 , zo ) =
d(z2 , zo ) =
|z1 − zo | = |z1 | ≈ 3.162 > 3
|z2 − zo | = |z2 | ≈ 2.828 < 3
Concluimos que sólo z2 está en el interior de C.
1
El resultado de este comando es una matriz a una columna
y para disponer de sus elementos habrá que seleccionar por
renglón y columna. Por ejemplo, para calcular los módulos
de los polos se procede como en la figura siguiente.
1
Para hacer el último cálculo, debemos quitar del denominador el factor z − z2 y el resultado debemos reunirlo con
el numerador. Evaluar la expresión resultante en z = z2 y
multiplicar por 2 π i. Estos últimos cálculos se ilustran en
la siguiente figura.
1
Entonces reescribimos el integrando original como
−4 i+z
−4 i + z
f1
3+i+z
=
=
(−2 + 2 i + z) (3 + i + z)
z − (2 − 2 i)
f2
Ası́ f1 es analı́tica en C y su interior. Podemos entonces
calcular la integral usando la fórmula de Cauchy:
I
o
−4 i+z
3+i+z
−4 i + z
dz = 2 π i
z − (2 − 2 i)
3+i+z
z=2−2 i
En la calculadora procedemos a capturar por separado numerador y denominador. Asimismo calculamos los polos.
6. Calcule la integral
I
C
−1 − 6 i + i z
dz
(−2 + 2 i + z) (−1 − 2 i + z)
donde C es el cı́rculo |z| = 9. Reporte el módulo del resultado.
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Solución
Siendo la función a integrar racional (es decir, el cociente
de dos polinomios) y la curva donde se integra una curva
cerrada simple, para poder utiizar el teorema de Chauchy,
debemos ver cuáles de los polos (es decir, de los ceros del
denominador) están dentro de C. Tomaremos el denominador y obtendremos sus raı́ces:
(−2 + 2 i + z) · (−1 − 2 i + z) = 0
al estar igualdada a cero y teniendo factorizada la expresión, las raı́ces serán las raı́ces de cada factor:
−2 + 2 i + z = 0 → z1 = 2 − 2 i
y
−1 − 2 i + z = 0 → z2 = 1 + 2 i
la curva donde se integra es una circunferencia con centro
en zo = 0 y con radio r = 9; para ver si alguna de las
raı́ces está dentro de C, basta determinar la distancia al
centro y comparar contra el radio: como
|z1 − zo | = |2 − 2 i − 0| = |2 − 2 i| =
√
Por fracciones parciales Una de las ventajas y a la
vez desventajas de la calculadora es la forma como opera los números complejos: intenta escribirlos en su forma
rectangular (es decir, en una expresión donde esté por separado la parte real y la parte imaginaria). Por ejemplo,
en la siguiente figura se ilustra cómo opera con un binomio
al cuadrado. Si no está explı́citamente declarado que tiene
el complejo i, la potencia no se desarrolla. Pero si aparece
i en el binomio, el producto se desarrolla.
8<9
por tanto, z1 está en el interior de C. como
|z2 − zo | = |1 + 2 i − 0| = |1 + 2 i| =
√
5<9
por tanto, ambas raı́ces está en el interior de C. En esta
situación tenemos tres alternativas posibles:
aplicar integración numérica y obtener el resultado
por fuerza bruta usando una caculadora TI,
En el caso de las fracciones donde aparece el complejo i
ocurre lo mismo.
aplicar fracciones parciales para cambiar la expresión
a integrar por la suma de dos expresiones cada una
de ellas con un solo polo, ó
cambiar a C por dos cı́rculos que no se traslapen, que
estén encerrados en C y donde cada uno encierre un
polo por separado.
Por fuerza bruta Limpiamos las variables de trabajo,
definimos la función a integrar, la parametrización de z y
tras de varios minutos y la señal de bateria baja obtenemos:
Nos podemos imaginar que la TI es un animalito que se
pone muy impaciente cuando aparece i. En general, esto
es una ventaja. Pero hay muchas situaciones donde esta
impaciencia es negativa. Cuando se vea transformada de
Fourier y transformada Z se entederá esta desventaja. De
momento confie en que hay situaciones donde una expresión tiene imaginarios en el denominador y conviene que
no quede en la forma rectangular. La pregunta es, ¿cómo
evitar que la calculadora TI la lleve a la forma rectangular? Como el álgebra de complejos es el álgebra tradicional
de expresiones donde i2 = −1, una alternativa es esconder el comportamiento de i. Esto lo lograremos usando la
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variable i en lugar de i( i previamente limpiada) y simplificando la expresión de manera tal que cada vez que
aparezca i2 pondremos −1. No sé si sea la mejor solución,
pero esto funciona. En la siguiente imagen se ilustra que
la expresión se reescribe usando i en lugar de i.
Posteriormente utilizamos el proceso de desarrollo en fracciones parciales de una expresión:
Observe que es una expresión con un buen número de
términos. Lo que haremos ahora es seleccionar sólo aquellas fracciones que tienen z − 2 i − 1 en el denominador:
limpiando la lı́nea de comando en la TI, subiremos a la
lı́nea superior que ilustra el resultado y daremos enter.
5
Ahora borraremos manualmente aquellas expresiones que
no contengan el denominador z − 2 i − 1 y salvaremos en
una nueva variables como se ilustra en la siguiente figura.
La fracción donde aparece z−2 i−1 en el denominador puede obtenerse de la siguiente manera: como lo que importa
son los coeficientes, nos quedaremos con ellos haciendo 1
la expresión z − 2 i − 1. Esto lo lograremos con el comando
que nos permite hacer reemplazos de expresiones. Esto se
ilustra en la siguiente figura.
Después regresaremos nuestra variable i a ser de nuevo i:
Esto nos dice que ya temos una parte del desarrollo en
fracciones parciales:
f (z) =
−1 + i
+ ···
z − 2i − 1
Para la parte que nos queda quitamos de la expresión desarrollada la parte que llevamos:
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Que obtengamos 0 significa que nuestro desarrollo en fracciones parciales es correcto. Esto es la técnica de fracciones
parciales con denominadores con polos complejos. Confie
en que vale la pena aprender hacer esto en su calculadora.
Continuemos con el proceso de integración: nuestra integral original queda
I
I −1 + i
1
f (z) dz =
+
dz
z − 2 i − 1 z + 2 (i − 1)
C
C
cuando la invocamos nuestra expresión es sólo una fracción
con denominador z + 2 (i − 1):
Como los polos están en el interior de C por la fórmula de
Cauchy tenemos:
I
−1 + i
dz = 2 π i [−1 + i]z=2 i+1 = −2 π − 2 π i
C z − 2i − 1
I
1
dz = 2 π i [1]z=2 i−2 = 2 π i
z
−
2
i+2
C
Por lo tanto,
I
f (z) dz = −2 π
C
Por el teorema de Cauchy-Goursat La siguiente
imagen describe la curva C y los polos del denominador
en el plano complejo.
Procedemos de nuevo a obtener su coeficiente:
C
1
C2
1
−1
1
1
C1
Resumiendo, nuestra expresión original desarrollada en
fracciones parciales es:
f (z) =
−1 + i
1
+
z − 2 i − 1 z + 2 (i − 1)
Tenemos la obligación cientı́fica de verificar que este desarrollo es efectivamente válido: en lugar de la variable i
pondremos i y compararemos con nuestro desarrollo como
se ilustra en la figura
Notemos que C1 encierra al polo z1 = 2 − 2 i, mientras que
C2 encierra al polo z2 = 1 + 2 i. Observe que no especificamos los radios de las curvas C1 y C2 , pero imaginamos
que son lo suficientemente pequeños para que el segundo
polo no esté dentro de la circuenferencia con centro en el
primero. Por medio del teorema de Cauchy-Goursat, cambiaremos la integración sobre C por la integral sobre las
curvas C1 y C2 :
I
I
I
f (z) dz =
f (z) dz +
f (z) dz
C
C1
C2
Para hacer cada una de las integrales reescribiremos el
integrando de forma tal que en el denominador quede solamente la expresión que tiene el polo dentro de la curva
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(esto hará que la expresión racional en el numerador sea
una función analı́tica en el disco al no tener su polo en tal
disco lo cual nos permitirá usal el teorema de Cauchy en
el cálculo de la integral):
I
I
f (z) dz
=
C1
C1
I
=
C1
=
2πi
=
2πi
−1 − 6 i + i z
dz
(−2 + 2 i + z) (−1 − 2 i + z)
−1−6 i+i z
−1−2 i+z
−2 + 2 i + z
i
h
−1−6 i+i z
−1−2 i+z
dz
1
2
z=2−2 i
y por otro lado
I
I
f (z) dz
=
C2
C2
I
=
C2
−1 − 6 i + i z
dz
(−2 + 2 i + z) (−1 − 2 i + z)
−1−6 i+i z
−2+2 i+z
−1 − 2 i + z
h
i
−1−6 i+i z
−2+2 i+z
=
2πi
=
−2 π − 2 π i
Para calcular la integral debemos usar la fórmula de
Cauchy, si
dz
z=1+2 i
Por lo tanto,
f=
9 + 3 i + (1 − 3 i) z
entonces
I
I
f dz =
f (z) dz = 2 π i + (−2 π − 2 π i) = −2 π
C
C
2
(−2 + 2 i + z)
=
f1
(z − z1 )2
2πi d
(f1 )
= π (6 + 2 i)
1! dz
z=z1
Observe que los tres cálculos llevan al mismo resultado.
Aunque en el primero se debe descartar la pequeñı́sima
parte imaginaria 4.5591×10−12 . El procedimiento numérico puede llevar a errores de cálculo, por ello es que no es recomendable confiar plenamente en la integración numérica
cuando se conocen y son relativamente fáciles de usar las
técnicas analı́ticas.
7. Calcule la integral
I
C
9 + 3 i + (1 − 3 i) z
2
(−2 + 2 i + z)
dz
donde C es el cı́rculo |z| = 9. Reporte el módulo del resultado.
Solución
La raı́z del denominador se repite y es:
8. Calcule la integral
z1 = 2 − 2 i
es decir, su multiplicidad es 2. Como la curva C donde se
integra es un cı́rculo con centro en zo = 0 y con radio 9 y
d(z1 , zo ) = |z1 − zo | = |z1 | ≈ 2.828
tenemos que z1 está en el interior de C.
I
C
16 + 8 i + (−4 − 12 i) z + (−1 + 2 i) z 2
(2 + z)
3
dz
donde C es el cı́rculo |z| = 5. Reporte el módulo del resultado.
Solución
En nuestro caso la región de integración es un cı́rculo con
centro en zo = 0 y de radio 5. Por otro lado, la función
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que se desea integrar es una función racional cuyo único
polo
(2 + z)3 = 0 → z1 = −2
z1 = −2 tiene orden 3. Como la distancia de z1 a zo es menor que el radio, z1 está dentro de C. La gráfica siguiente
describe la situación.
8
De acuerdo con el teorema de Cauchy, si f (z) es analı́tica
dentro de la curva cerrada y orientada positiva C entonces
I
f (z)
2 π i dn
f (z)
n+1 dz = n!
dz n
C (z − z1 )
z=z1
ası́
H
C
2πi
2!
h
d2
dz
16+8 i+(−4−12 i) z+(−1+2 i) z 2
(2+z)3
16 + 8 i + (−4 − 12 i) z + (−1 + 2 i) z 2
1
3
−1
1
i
z=−2
2 π i (−1 + 2 i)
C
dz =
=