TITULO: Ejercicios Resueltos de Teorema Central de Límite (TCL

EJERCICIOS DE PROBABILIDAD
EJERCICIOS ADECUADOS PARA SECUNDARIA O BACHILLER
TITULO:
Ejercicios Resueltos de Teorema Central de Límite (TCL)
AUTOR:
JUAN VICENTE GONZÁLEZ OVANDO
Ejercicios 1 y 2: Resolución de Ejercicios propuestos del Tema 5
Ejercicio 15:
Una moneda corriente se lanza 20 veces. Hallar la probabilidad de obtener entre 8 y
14 caras.
1. Utilizando la distribución Binomial.
2. Utilizando la aproximación normal a la distribución Binomial.
3. Utilizando las variables Bernoulli y el TCL en la forma de Lindeberg-Levy.
Desarrollo
Datos:
n=20
p (cara) = 0,5
B ( 20 ; ½ ) C : combinación
Solución
1) Por distribución Binomial
q ( no cara ) = 0,5
B ( 20 ; ½ )
C : combinación
14
P ( 8 <= x <= 14) =
∑
(20 C i ) ( ½ ) i ( ½ ) 20 – i = 0,8477
i =8
2) Aproximación normal a la distribución Binomial
P ( 8 <= x <= 14)
Realizamos la corrección de continuidad
P ( 8 – 0, 5 <= x <= 14 + 0,5 ) =
P ( 7,5 <= x <= 14,5 ) =
Tipificamos: P [ (7,5 – 10) / 2,23 <= z <= (14,5 + 10) / 2,23 ] =
= P [ - 1,12 <= z <= 2,01 ] = P [ z <= 2,01 ] - P [ z <= -1,12] =
= P [ z <= 2,01 ] - ( 1 - P [ z <= 1,12] ) =
= P [ z <= 2,01 ] + P [ z <= 1,12] – 1 = 0,8464
3) Por Bernoulli y el TCL de L.-Levy
La media y la varianza de cada variable Bernoulli es
µ= p = ½ = 0,5
σ = Ѵ (p.q) = Ѵ ¼ = ½ = 0,5
Y = ∑ Xi ≈ N ( n.µ ; σ. Ѵ n )
P ( 8 <= x <= 14) = P ( 7,5 <= x <= 14,4 ) =
= P [ (7,5 – 20. ½ ) / ½ . Ѵ 20 <= Z <= (14,5 – 20. ½ ) / / ½ . Ѵ 20 ] ≈
≈ P [- 1,11 <= Z <= 2,01 ] = P [Z <= 2,01 ] - P [Z <= - 1,11] =
= P [Z <= 2,01 ] + P [Z <= - 1,11] – 1 = 0,9778 + 0,8665 – 1 = 0,8443
Ejercicio 17 :
En una asignatura del colegio, la probabilidad de que te saquen a la pizarra en cada
clase es del 12%. A lo largo del año tienes 125 clases de esa asignatura. ¿Cuál es la
probabilidad de tener que salir a la pizarra más de 18 veces?
Cálculo
Sea S el suceso de que a un alumno le saquen a la pizarra en cada clase
P (S) = 0,12 --
q ( ¬S ) = 0,88 , n= 125
µ = n.p = 125 * 0,12 = 15
σ = Ѵ ( n.p.q ) = Ѵ ( 125*0,12* 0,88 ) = 3,63
P [ x > 18 ] ≈ ≈ P [ x >= 19 ] = P [ x >= (19-0,5) ] = P [ x >= 18,50 ] =
= P [ z >= (18,50 – 15 ) / 3,63 ] = P [ Z > = 0,96 ] = 1 - P [ Z < = 0,96 ] =
= 1 – 0,8315 = 0,1685 = 16,85 % es la probabilidad de salir a la pizarra mas de 18
veces.
Ejercicios propuestos
1) El 80 % de las bolas contenidas en una urna son de color azul, siendo el 20 %
restante de color rojo. Determinar la probabilidad de que al efectuar tres
extracciones sucesivas con reemplazamiento, dos de las bolas extraidas sean
de color azul y una de color rojo.
Cálculo
Consideraciones:
- Los sucesos son independientes uno del otro.
- Hay dos resultados posibles: extraer bola azul o extraer bola roja
- Sea S1 el suceso de extraer bola azul, y S2 el suceso de extraer bola
roja.
- P (S1) = 0,80 q ( ¬ S1) = 0,20
- En el primer caso podemos considerar una distribución binomial
- B (n, p) = B ( 3 ; 0,80 ) de extraer bola azul.
- P (X=2) = 3C2 * (o,80)2 * (0,2) = 0,3840 … es la probabilidad de
extraer color azul 2 veces en 3 extracciones.
- En el segundo caso podemos considerar una distribución binomial
B(n,p) = B ( 3; 0,2 ) de extraer una bola roja.
- P (X=1) = 3C1 * (0,20) * (0,8) 2 = 0,3840 … es la probabilidad de
extraer color rojo 1 vez en 3 extracciones.
2 ) Un agente de seguros vende pólizas a cinco individuos, todos de
la misma edad. De acuerdo con las tablas actuariales, la
probabilidad de que un individuo con esa edad viva 30 años más es
de 3/5. Determinar la probabilidad de que, dentro de 30 años,
vivan:
2.1. Los cinco individuos.
2.2. Al menos tres.
2.3. Sólo dos.
2.4. Al menos uno.
Cálculo
Consideraciones:
- Hay dos resultados posibles: para dentro de 30 años, cada individuo
la situación será que viva ( S1) o que no viva ( ¬ S1 ).
- Cada suceso es independiente uno del otro.
- Siendo la probabilidad de que viva: P (S1) = 3/5 = 0,6
- Siendo la probabilidad de que no viva: P ( ¬ S1 ) = 2/5 = 0,4
- Se trata de una distribución Binomial B ( n , p ) = B ( 5 ; 0,6 )
2.1. Para el primer caso: “ Los cinco individuos vivan”
- P (x=5) = 5C5 * (0,6)5 * (0,4)0 = (0,6)5 = 0,07776
2.2.
“Al menos tres”.
P ( x >= 3) = P (x=3) + P (x=4) + P (x=5) =
= 5C3 * (0,6)3 *(0,4)2 + 5C4* (0,6)4 *(0,4) + 5C5 * (0,6)5 * (0,4)0
= 0,3456 + 0,2592 + 0,07776 = 0,68256
2.3.
“Solo dos”.
- P (x=2) = 5C2 * (0,6)2 * (0,4)3 = 0,2304
2.4.
“Al menos uno”
P ( x >= 1) = P (x=1) + P (x=2) + P (x=3) + P (x=4) + P (x=5)
- P ( X>=1) = 1 – P (x=0) = 1 – 5C0 * (0,6)0 * (0,4)5 = 1- 0,01024 =
= 0,98976
Otros ejercicios propuestos
3) Un establecimiento comercial dispone a la venta diariamente, en
una de sus secciones, solo dos artículos a precios p1 y p2, de suerte
que:
- el 70 % de las unidades ofrecidas lo son del artículo de precio p1
- el 30 % de las unidades ofrecidas lo son del artículo de precio p2
Si en un día determinado se venden en dicha sección 20 unidades,
determinar la probabilidad de que las 20 unidades correspondan al
artículo de precio p2.
4) Una empresa, dedicada a la venta de un determinado tipo de
mercadería, que ofrece a sus habituales clientes dos formas de pago:
“pago al contado”, o “pago a crédito”, sabe que el 20 % de las
unidades adquiridas de dicha mercadería lo son bajo la forma de
¨pago al contado”.
Si en un periodo de tiempo determinado, se han adquirido cinco
unidades, determina la probabilidad de que:
a- Dos unidades o más, lo hayan sido bajo la forma “pago al
contado”.
b- Dos unidades o menos, lo hayan sido bajo la forma de “pago a
crédito”.
Bibliografía
1) Materíales del presente curso
2) Problemas de Estadística, autor J.López de la Manzanara Barbero.