Notas del minicurso - Departamento de Matemáticas

Aplicación del Análisis de Simetrías para la Solución
de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
M.C. Elba Lilia de la Cruz García
Dra. Liliya Yakhno
Dr. Alexander Yakhno
Departamento de Matemáticas, Universidad de Guadalajara
II Escuela de Verano en Matemáticas
11-15 de Julio de 2016
Alexander Yakhno (UdeG)
Simetrías de EDO
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Organización
1035
1135
Lunes
Alexander
Yakhno
Martes
Liliya
Yakhno
Miércoles
Liliya
Yakhno
Jueves
Elba Lilia de la
Cruz Garcia
Viernes
Elba Lilia de la
Cruz Garcia
Lunes: Introducción
Martes, Miércoles: Cálculo de simetrías
Jueves, Viernes: Resolución de EDO
Bibliografía
1. Senashov, S.I., Yakhno, A., Aplicación de simetrías y leyes de conservación a
la resolución de ecuaciones diferenciales de mecánica, Universidad de
Guadalajara, 2008.
2. Ibragimov, Nail H., Selected works, Volume I, ALGA Publications, 2006.
3. Olver, Peter J., Applications of Lie groups to differential equations,
Springer-Verlag, 1986.
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Grupo uniparamétrico de transformaciones puntuales continuas
Transformación inversible de un
punto z ∈ Rn a otro punto z̄ ∈ Rn :
Familia uniparamétrica {Ta } de
transformaciones:
T : z̄ = f (z)
Alexander Yakhno (UdeG)
Ta : z̄ = f (z, a), a ∈ I ⊂ R
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Grupo uniparamétrico de transformaciones puntuales continuas
Si para a, b ∈ I
1
existe c ∈ I : Tb Ta = Tc=ϕ(a,b)
2
existe a0 = 0 : T0 = E
3
existe a−1 : Ta−1 = (Ta )−1
4
Tc (Tb Ta ) = (Tc Tb )Ta
Familia uniparamétrica {Ta } de
transformaciones:
Ta : z̄ = f (z, a), a ∈ I ⊂ R
entonces {Ta } es un grupo G.
Nota
1. si Ta0 = E, a0 �= 0 → a = ā + a0 .
2. ley de multiplicación ϕ es
diferenciable suf. num. de veces.
3. se puede reducir a ϕ(a, b) = a + b.
Por lo tanto: a−1 = −a, 0 ∈ I.
G es un grupo (local) de Lie.
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Ejemplo
Grupo de escalamiento (estiramiento, homotecia) en R2 :
�
z̄1 = ea z 1
1 2
z̄ = (z̄ , z̄ ) = f (z, a) =
z̄2 = e2a z 2
a = 0 → z̄ = z
� 1
� ¯1
z̄ = e−a ea z 1
z
=
=z
a = −a : f (z̄, −a) =
2
−2a
2a
2
¯
z2
z̄ = e e z
� a a 1
� a +a 1
e 1 2z
e 2e 1z
ϕ(a1 , a2 ) = a1 + a2 :
=
2a
2a
2
2
1
e e z
e2(a1 +a2 ) z 2
−1
Ejemplo
Grupo de rotación:
1
2
z̄ = (z̄ , z̄ ) = f (z, α) =
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�
z̄ 1 = z 1 cos α + z 2 sen α
z̄ 2 = −z 1 sen α + z 2 cos α
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Campo Vectorial
Desarrollando f (z, a) en serie de
Taylor en a = 0
�
∂f (z, a) ��
a + o(a)
z̄ = f (z, a) = z +
∂a �a=0
La relación ξ(z) =
�
∂f (z,a) �
∂a �
a=0
define el campo vectorial
tangente en el punto z para la
curva z̄.
Ejemplo
ξ = (z 1 , 2z 2 )
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Teorema (de Lie)
Si el grupo de transformaciones dado por f (z, a), la cual tiene el desarrollo
�
∂f (z, a) ��
a + o(a).
z̄ = f (z, a) = z +
∂a �a=0
Entonces esta función es la solución del PVI:
df
d z̄
= ξ(f ), f |a=0 = z ∼
= ξ(z̄), z̄|a=0 = z.
da
da
y viceversa.
Ejemplo
Sea ξ = (z 1 , 2z 2 ), entonces
d z̄ 1
= z̄ 1 , z̄ 1 |a=0 = z 1 → ln z̄ 1 = a + C → z̄ 1 = kea → z̄ 1 = ea z 1 ;
da
d z̄ 2
= 2z̄ 2 , z̄ 2 |a=0 = z 2 → ln z̄ 2 = 2a + C → z̄ 2 = ke2a → z̄ 2 = e2a z 2 ;
da
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Así que el grupo de Lie G se define por su campo tangente.
Nota
La solución de las ecuaciones de Lie impone el caracter local de grupo de
Lie: los valores del parámetro grupal a se toman de los subintervalos de I
suficientemente pequeños: a ∈ I1 ⊂ I ∈ R.
Definición
Una función F (z) es un invariante del grupo G : z̄ = f (z, a), si para todos
valores (permitidos) de z y a se tiene:
F (z̄) = F (f (z, a)) = F (z).
Por ejemplo F
�
(z 1 )
z2
�
2
es invariante del grupo G : z̄ 1 = ea z 1 , z̄ 2 = e2a z 2 .
Criterio de invariancia: F es el invariante ⇔ XF = 0, donde
X =
n
�
i=1
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ξ i (z)
∂
.
∂z i
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Ejemplo
G : z̄ 1 = ea z 1 , z̄ 2 = e2a z 2 ↔ campo tangente ξ = (z 1 , 2z 2 )
X = z 1 ∂z 1 + 2z 2 ∂z2
F = F (z 1 , z 2 ) =?
XF = 0 ⇒ z 1
∂F
∂F
+ 2z 2 2 = 0
1
∂z
∂z
dz 2
(z 1 )2
dz 1
1
2
=
→
2
ln
z
−
ln
z
=
k
→
= J → F (J) = F
z1
2z 2
z2
�
(z 1 )2
z2
�
.
El operador diferencial X se llama el operador infinitesimal (generador) del
grupo de transformaciones G.
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Simetría
Ya hemos definido las acciones: grupo de transformaciones continuas G.
Ahora veremos el objeto, el cual se queda ’intacto’ con respecto a las
acciones → Es ’simétrico’ con respecto a las transformaciones.
Se considera una superficie (N − s)-dimensional M en el espacio RN , dada
por un sistema de s ecuaciones:
Ejemplo:
F : −(z 1 )2 + (z 2 )2 + (z 3 )2 = R 2
M : F1 (z) = 0, . . . , Fs (z) = 0
La superficie M es invariante con
respecto al G (o lo admite) si para
cualquier punto z ∈ M ⇒ z̄ ∈ M.
El criterio de invariancia:
XFk |M = 0
→ G es simetría de la M.
Simetrías (grupo de isometría): X1 = z 2 ∂z 3 − z 3 ∂z 2 , X2,3 = z 2,3 ∂z 1 + z 1 ∂z 2,3 .
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2
x = (x�1 , x �
, ...x n ) v.
u = (u 1 , u 2 , ...u m ) v. dependientes,
� independientes,
�
∂u i
∂ 2 ui
u1 = ∂x j , u2 = ∂x j ∂x k ,... las derivadas orden 1, 2,...
El sistema de s ecuaciones diferenciales de orden p = m«
ax pk :
k
F : F1 (x, u, u1 , ....up1 ) = 0, ..., Fs (x, u, u1 , ....ups ) = 0,
el cual determina una superficie M en el espacio {x, u, u1 , . . . , up }.
Una simetría de F es un cambio de variables: el sistema F es invariante.
Sea z = (x, u) → grupo
G : z̄ = f (z, a) en Rn+m
i
i
i
Cambio de variables (x̄, ū) induce el
cambio (u1 , ...) G : Rn+m+nm+...
p
i
x̄ = f (x, u, a), f |a=0 = x , i = 1, n
j
ū = g j (x, u, a), g j |a=0 = u j , j = 1, m
con el operador infinitesimal:
X =
n
�
i=1
m
�
∂
∂
ξ (x, u) i +
η j (x, u) j
∂x
∂u
i
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ūkj = hkj (x, u, a, u1 , ..., uk ), hkj |a=0 = ukj ,
con el operador prolongado
m
n �
�
∂
+ ...
ξji ∂u
X =X+
1
p
i=1 j=1
El criterio: X Fj |[F ] = 0 ⇔ F admite G.
j=1
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p
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Ejemplo (ecuación de eikonal)
F :
�
∂u
∂x
�2
+
�
∂u
∂y
�2
= 1, (x 1 , x 2 , u 1 ) = (x, y , u).
∂
∂
∂
+ ξ 2 ∂y
+ η ∂u
, X = X + ξ1 ∂u∂,x + ξ2 ∂u∂,y .
X = ξ 1 ∂x
1
Condición X F |[F ] = 0 da los operadores L10 :
1
u2 + x 2 + y 2 ∂
∂
∂
∂
u2 + x 2 − y 2 ∂
∂
+ ux
+ uy
, X2 = ux
+
+ xy
,
2
∂u
∂x
∂y
∂u
2
∂x
∂y
∂
1
∂
∂
∂
∂
∂
∂
X3 = uy
+ (u 2 + x 2 − y 2 )
+ xy
, X4 = x
+u
, X5 = y
+u
,
∂u
2
∂y
∂x
∂u
∂x
∂u
∂y
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
X6 = u
+x
+y
, X7 = x
−y
, X8 =
, X9 =
, X10 =
.
∂u
∂x
∂y
∂y
∂x
∂x
∂y
∂u
X1 =
Los operadores admisibles forman un álgebra de Lie Ln = �X1 , ..., Xn � con respecto a
la operación de conmutación:
n
�
� ∂
�
α
cab
Xα .
[Xa , Xb ] = Xa (ξbi ) − Xb (ξai )
=
∂z i
α=1
Gn ↔ Ln
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EDO de primer orden Q(x, y )dx − P(x, y )dy = 0: si se conoce una
simetría X = ξ∂x + η∂y → la EDO se reduce a cuadraturas, pues su
1
factor integrante es µ(x, y ) = ξQ−ηP
.
EDO de orden > 1: si admite un álgebra Ln → se reduce el orden.
EDPs de primer orden: si admite un álgebra Ln → la EDP se reduce a
EDO.
EDPs de orden > 1: si admite un álgebra Ln → se reduce el orden de la
EDP o se reduce el número de variables independientes (soluciones
invariantes).
Ejemplo
(z + ex )
∂z
∂z
+ (z + ey )
= z 2 − ex+y
∂x
∂y
x̄ = x + a, ȳ = y + a, z̄ = ea z ⇒ X = ∂x + ∂y + z∂z
dz
⇒ J1 = x − y , J2 = e−x z ⇒ z = f (J1 )ex
z
x −y +C
x −y +C
⇒ z = ex
.
eJ1 (f + f � ) = f � − 1 ⇒ f =
1 − ex−y
1 − ex−y
XJ = 0 ⇒ dx = dy =
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Problemas abiertos
Cálculo de los grupos de simetrías para sistemas de ED.
Clasificación de los subálgebras de las algebras de Lie.
Construcción de soluciones invariantes, parcialmente invariantes.
Reproducción de soluciones.
Simetrias superiores (Lie-Backlund), condicionales, ’hidden’,...
Leyes de conservación.
Separación de variables.
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Cálculo de simetrías puntuales, admisibles por un sistema
Busquemos un operador infinitesimal de un sistema de ecuaciones diferenciales � =
forma
�
�
�= �
,…, , ,…,
+
,
.
,…, , ,…,
�
�
en la
donde





son las variables independientes del problema (puede ser una ecuación diferencial
ordinaria, una ecuación en derivadas parciales o un sistema de ecuaciones diferenciales),
es el número de variables independientes,
son funciones desconocidas,
es el número de las funciones desconocidas,
la presencia de dos índices con la misma letra significa sumatoria, respecto a este índice.
Ejemplo 2.1



Si � = es una ecuación diferencial ordinaria (es decir, tiene una variable independiente y
una función desconocida), entonces el operador infinitesimal tiene la forma (en este curso de
verano vamos a considerar sólo este tipo de ecuaciones)
�
�
+
,
= �� + � .
�= � ,
�
�
Si � = es una ecuación en derivadas parciales y tiene dos variables independientes y una
función desconocida, entonces el operador infinitesimal tiene la forma
�
�
�
�= �
, ,
+�
+
, ,
.
, ,
�
�
�
Si � = es un sistema de ecuaciones en derivadas parciales y tiene dos variables
independientes y tres funciones desconocidas, entonces el operador infinitesimal tiene la
forma
�
�
+�
+
, , , ,
�= �
, , , ,
�
�
�
�
�
+
, , , ,
+
+
.
, , , ,
, , , ,
�
�
�
La primera prolongación del operador infinitesimal es el operador de la forma
�
X = � + � , … , , , … , , , … , �, … , �
,
.
� �
donde
 La presencia de dos índices con la misma letra significa sumatoria, respecto a este índice,
�
es la derivada parcial de la función desconocida � con respecto a la variable ,

 Coeficiente del operador infinitesimal
�
�
=
− � (� ),
(2.3)

Operador de la derivada total
�
+ �
=
�
Ejemplo 2.2.



�
�
+
�
�
�
+⋯ .
.
Si � = es una ecuación diferencial ordinaria (tiene una variable independiente y una
función desconocida), entonces la primera prolongación del operador infinitesimal tiene la
forma (en este curso de verano vamos a considerar sólo este tipo de ecuaciones)
�
, ,
X=�+
�
o sustituyendo en la expresión del operador (2.1) obtenemos la siguiente fórmula para la
primera prolongación
�
�
�
, ,
X=� ,
+
,
+
.
�
�
�
Si � = es una ecuación en derivadas parciales y tiene dos variables independientes y una
función desconocida, entonces la primera prolongación del operador infinitesimal tiene la
forma
�
�
X=�+ ( , , , , )
+
, , , ,
.
�
�
Si � = es un sistema de ecuaciones en derivadas parciales y tiene dos variables
independientes y tres funciones desconocidas, entonces el operador infinitesimal tiene la
forma
�
�
�
�
�
�
X=�+
+
++
+
+
+
�
�
�
�
�
� .
La segunda prolongación del operador infinitesimal es el operador de la forma
�
X = X + � , … , , , … , , , … , �,
,…,
,…, � �
�
� � ,
.
donde
 la presencia de dos índices con la misma letra significa sumatoria, respecto a este índice,
�
es la segunda derivada parcial de la función desconocida � primero respecto a la

variable y después respecto a la variable .
�
�
� ,
− �

=
.

=
Ejemplo 2.3.

�
�
+
� �
�
+
�
�
�
+ ⋯.
.
Si � = es una ecuación diferencial ordinaria y tiene una variable independiente y una
función desconocida, entonces la segunda prolongación del operador infinitesimal tiene la
forma (en este curso de verano vamos a considerar sólo este tipo de ecuaciones)
X=X+


, ,
,
�
�
,
o sustituyendo la expresión de la primera prolongación (2.2) del operador, se obtiene
�
�
�
�
, ,
, , ,
+
,
+
+
X=� ,
.
�
�
�
�
Si � = es una ecuación en derivadas parciales y tiene dos variables independientes y una
función desconocida, entonces la segunda prolongación del operador infinitesimal tiene la
forma
�
X=X+ ( , , , , ,
,
,
)
�
�
+ ( , , , , ,
,
,
)
�
�
+ ( , , , , ,
,
,
)
�
�
+ ( , , , , ,
,
,
)
�
�
,
,
)
+ ( , , , , ,
�
Si � = es un sistema de ecuaciones en derivadas parciales y tiene dos variables
independientes y tres funciones desconocidas, entonces la segunda prolongación tiene la
forma
X=X+
�
�
+
+
�
�
�
�
+
+
�
�
�
�
+
+
�
�
�
�
+
+
�
�
�
�
+
+
�
�
�
�
.
+
�
�
Algoritmo de construcción del álgebra de Lie de simetrías,
admisibles por la ecuación (o sistema de ecuaciones).
1. Determinar la forma del operador (dependiendo del número de las variables independientes
y funciones desconocidas de la ecuación).
 En caso de un problema arbitrario, usar la fórmula (2.1).
 En caso de una EDO, usar la fórmula
�
�
�= � ,
+
,
.
�
�
2. Hacer la prolongación del operador (el orden de la ecuación, determina el orden de la
prolongación).
 En caso de un problema arbitrario, utilizar las fórmulas (2.2) y (2.5).
 En caso de una EDO, utilizar la fórmula
X=�
,
X=�
�
+
�
3. Calcular los coeficientes
�
,
,
�
�
+
�
�
,
+
�
,
�
+
�
, ,
, ,
�
+
�
�
,
�
, ,
,
�
�
.
, … de la prolongación, pero no sustituir en este momento.
=
−
�
�
�
�
=
+
+
+⋯
�
�
�
�
�
− �
�
=
4. Aplicar la prolongación del operador sobre :
 el sistema de ecuaciones o
 la ecuación dada.
5. Sustituir
�
,
�
, … al resultado del paso 4.
6. Pasar a la variedad dada por el sistema de ecuaciones � = , sustituyendo (por lo general)
las derivadas superiores expresadas:
 del sistema de ecuaciones al sistema del paso 5.
 de la ecuación dada a la ecuación del paso 5.
7. Efectuando procedimiento de separación para la ecuación del
ecuaciones), se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales
determinar las funciones � y (en caso de EDO) y � y (en
arbitrario). Estas ecuaciones se llaman ecuaciones definitivas.
sistema obtenido, siempre es compatible y sobredeterminado.
paso 6 (o sistema de
parciales lineales para
caso de un problema
Notaremos que, dicho
8. Resolver el sistema de ecuaciones definitivas del paso 7. El número de constantes
arbitrarias determina la dimensión de la base del espacio de soluciones.
9. Calcular la base del espacio de soluciones (usando el método de la unidad corriente). Para
cada vector de la base calcular � , .
10. Para cada conjunto � , , construir el operador � . Los operadores � forman la base del
álgebra de Lie de simetrías puntuales admisibles.
11. Calcular los conmutadores de esta álgebra de Lie: si � = � � + � , � = � � +
entonces
�
�
[� , � ] = � (� ) − � �
+ �( )−�
.
�
�
� ,
Ejemplo 2.4
Calcular el álgebra de simetrías admisibles por la ecuación diferencial
′′
=
′
′′
+
′
−
.
Ejemplo 2.5
Calcular el álgebra de simetrías admisibles por la ecuación diferencial
Solución
−� =
(2.8).
Paso 1
La ecuación dada tiene una variable independiente y una función desconocida , por tal razón el
operador infinitesimal tiene la forma
�
�
�= � ,
+
,
.
�
�
Paso 2
La ecuación dada es de segundo orden (orden más alto de la derivada), entonces hay que construir
la segunda prolongación de este operador. Por la fórmula (2.5), obtenemos
�
�
�
�
X=� ,
, ,
+
,
+
+
, , ,
.
.
�
�
�
�
Paso 3
Determinaremos los coeficientes de la segunda prolongación, usando las fórmulas
correspondientes obtenemos:
�
−
=
Calculando los componentes de esta fórmula obtenemos:
�
�
�
=
+
+
+⋯=
+
+
�
�
�
�
�
�
� +
� +
� +⋯=� + � +
� =
�
�
�
Entonces
=
+
− � −
�
.
�
−
=
.
Calculando los componentes de esta fórmula obtenemos
�
�
�
+
+
=
=
�
�
�
�
�
=
( +
− � −
� )+
( +
− � −
� )
�
�
�
( +
− � −
� )=
+
�
Calculando estas derivadas vamos a tomar en cuenta que las funciones � y dependen de las
variables e . La para este procedimiento se toma como variable independiente. Obtenemos:
� )
� )+
( −� −
− � −
+
� + (
− � −
=
+
=
+
− � −
� +
−
� +
( −� −
� ).
y (2.11) a la fórmula (2.12), obtenemos finalmente
Sustituyendo
=
+
− � −
� +
−
� +
( − � −
� )
.
Paso 4
Aplicando la segunda prolongación del operador infinitesimal (2.10) a la ecuación dada (2.8),
obtenemos
′
X ′′ + − � =
=�
+
�
�
�
=−
Paso 5
Sustituimos
X
�
�
′′
+
′′
′
−�
+
− � +
′
�
�
+
−�
′′
=� −
+
′
+
−�
+
−�
y
a la última expresión y obtenemos
′
′′
+ −�
�
=−
− � + (
+
−
� −
+
+
�
�
′′
( )+
� )+
+
+
′
−�
=
−
�
−
� +
−
� +
( − � −
� )
Paso 6
Pasamos a la variedad dada por la ecuación, sustituyendo en última ecuación la expresión para la
segunda derivada
Como resultado tenemos:
′
X ′′ + − � |
′
=−
−
=−
+
′′ =−
�
�
′′
+�
− � + (
�
+
− � +
−
�
=−
+
+
−
−
−
−
�
+
�
′
+� .
� −
+ −
−
�
+
� )+
�
+�
+
(
�
+
+
+�
− � −
−
−
�
�
−
� )=
− � � − �
�
� =
Paso 7
Las funciones
,
,
,
son linealmente independientes, entonces su combinación
lineal es igual a cero, si y sólo si todos los coeficientes son iguales a cero. Así obtenemos el sistema
de ecuaciones definitivas para determinar las funciones � , y
, :
:
� =
.
�
:
− � +
=
.
:
:
−
�
+
+
�
+
+�
−�
− � � =
− � −
=
.
.
Paso 8
Integrando la ecuación (2.14) respecto a variable , obtenemos
�=
+
.
.
Sabiendo esta expresión, calcularemos que � =
expresiones a la ecuación (2.15) obtenemos
+
−
Integrando la última ecuación respecto a la variable
= .
=
. Sustituyendo estas
, obtenemos
+
−
=
y �
+
.
.
Tenemos que las funciones � , y
, son polinomios respecto a variable . El polinomio y la
función exponencial � son linealmente independientes, entonces los coeficientes de la función
exponencial en las ecuaciones (2.16) y (2.17) deben ser iguales a cero, entonces
y
Aplicando � =
y � =
.
obtenemos que
� =
− � −
=
.
= , entonces � =
.
Sustituyendo esto a (2.19), obtenemos que =
+
, entonces
−
−
, y � a la ecuación (2.20), obtenemos
−
polinomio en la variable , entonces
= , por lo tanto,
=−
.
=−
.
Sustituyendo (2.21) y (2.22) a la (2.16), obtenemos −
�
−
= , por lo tanto (
�
y resolviendo esa ecuación llegamos
se satisface idénticamente. Entonces
�=
ln +
−
=
y
�
+
�
=
. Sustituyendo
= . El cual es un
. Entonces
−
) = . Integrando tenemos que
ln +
= −
�
= , entonces
−
. Con este resultado, la ecuación (2.17)
+
+
ln
.
Paso 9
La solución general de las ecuaciones definitivas, contiene dos constantes arbitrarias
entonces el espacio de soluciones tiene dimensión dos. Encontramos la base:
= , =
⇒ � = ,
=−
Paso 10
= ,
=
⇒ � =
ln ,
=
= − − ln .
y
,
La base del álgebra de Lie de las simetrías puntuales admisibles por la ecuación (2.8) contiene los
siguientes operadores
�
�
�
�
� =
−
� = ln
−
+ ln
�
�
�
�
Paso 11
Construimos el conmutador de estos operadores
�
�
[� , � ] = (� � − � � ) + (�
−�
)
�
�
Determinaremos aparte los componentes de esta fórmula
�
�
�
�
� � =
� −
� =
ln −
ln = ln +
�
�
�
�
�
�
�
�
� −
� = ln
−
+ ln
= ln
+ ln
� � = ln
�
�
�
�
�
�
�
�
− − ln −
− − ln = −
−
=
�
=
�
�
�
�
�
�
�
�
�
= ln
− −
+ ln
− = .
−
+ ln
= ln
�
�
�
�
Sustituyendo, obtenemos
�
�
�
�
[� , � ] = ln + − ln
+ − −
=
−
�
�
�
�
El resultado coincide con el operador � .
Tabla de los operadores admitidos para
las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
Tabla de los operadores admitidos para
las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden
1
Resolución de EDO usando simetrías puntuales
Para el proceso de resolución de una EDO
F x; y; y 0 ; y 00 ; : : : ; y (n) = 0;
con y = y (x) ; necesitaremos de los siguientes Teoremas según [Ibragimov] :
Teorema 1 Consideremos un grupo uniparamétrico de transformaciones de Lie
x = f (x; y; a)
;
y = g (x; y; a)
(1)
con generador in…nitesimal
X = (x; y)
@
@
+ (x; y)
;
@x
@y
(2)
Cualquier grupo de transformaciones (1) se reduce al grupo de las traslaciones
t=t+a
;
u=u
con generador in…nitesimal X (t) =
@
@t
al hacer un cambio adecuado de variables
t = t (x; y) ;
u = u (x; y) :
(3)
Las variables t y u son llamadas variables canónicas.
Demostración: Dado el generador in…nitesimal (2) al hacer el cambio de variables (3) se tiene:
@x =
@u
@t
@u
@t
@t +
@u y@y =
@t +
@u
@x
@x
@y
@y
y al sustituir en X
@u
@t
@t +
@u +
@x
@x
@t
@t
=
@t +
+
@x
@y
@
@
+ X (u)
= X (t)
@t
@u
X=
@t
@u
@t +
@u
@y
@y
@u
@u
@u
+
@x
@y
entonces queda
X = X (t)
pero X (t) =
@
@t ,
@
@
+ X (u)
@t
@u
por lo cual:
X (u) = 0
X (t) = 1
1
Para ecuaciones ordinarias de primer orden, se tiene el siguiente
Teorema 2 Una EDO de primer orden escrita en la forma
Q (x; y) dx
P (x; y) dy = 0
admite un grupo uniparamétrico con generador ini…nitesimal
X = (x; y)
@
@
+ (x; y)
@x
@y
si y sólo si la función
=
1
Q
P
es un factor integrante para la ecuación ordinaria.
El problema de determinar una simetría de una EDO de primer orden, generalmente, presenta la misma di…cultad que resolver la ecuación original con
los métodos tradicionales. Sin embargo, en ocasiones es posible "adivinar" la
simetría y entonces podemos usarla para resolver la EDO con el método de Lie.
Existen tablas con los operadores admitidos para EDO de primer orden.
Si se conoce una simetría, entonces, usando el Teorema 2, es posible determinar su factor integrante.
1.1
Método de variables canónicas.
Si conocemos un grupo admitido, podemos usar el Teorema 1 para reducir un
grupo uniparamétrico al grupo de traslaciones con la introducción de variables
canónicas. Debido a que una ecuación conserva el grupo de simetrías, es independiente de la elección de las variables. la introducción de variables canónicas
conduce a una ecuación que no depende de la variable "t" y por lo tanto, se
puede integrar por cuadraturas (en el caso de una ecuación de primer orden) o
admite reducción de orden (en el caso de las ecuaciones de orden dos o más).
En R2 ; si el generador de un grupo de Lie uniparamétrico está dado por (2)
una función u (x; y) que satisface
X (u) = (x; y)
@u
@u
+ (x; y)
= 0;
@x
@y
se llama función invariante del grupo. Así que u es la solución de la ecuación
diferencial
dx
dy
=
:
(x; y)
(x; y)
Por otro lado, la coordenada canónica t (x; y), satisface
X (t) = (x; y)
@t
@t
+ (x; y)
= 1;
@x
@y
2
y resolvemos
dx
=
(x; y)
dy
dt
=
(x; y)
1
para obtener t = t (x; y) :
Al sustituir las variables canónicas en la ecuación diferencial, siempre es
posible obtener una ecuación la cual no depende explícitamente de la variable
"t": Por lo que, dada una EDO, si es conocida una simetría y la ecuación es
de primer orden, es posible resolverla completamente; si la ecuación dada es de
segundo orden o más, se puede reducir el orden de la EDO en uno.Por otro lado,
si se conocen dos simetrías para una ODE de segundo orden, es posible resolver
completamente la ecuación.
1.2
Soluciones de EDO de primer orden
Ejemplo 1 En general, una EDO de coe…cientes homogéneos de primer orden
se puede escribir en la forma
dy
y
=f
:
dx
x
Consideremos las variables transformadas:
x = ax
y = by
entonces debe cumplirse
f
f
y
y
=f
x
x
by
y
=f
ax
x
lo cual sucede si y sólo sí a = b; si hacemos a = e se obtiene el grupo de
estiramiento (escalamiento)
x=e x
y=e y
así
df
d
dg
d
=0
=0
=e x
=0
=x=
=e y
=0
=y=
entonces el generador es X = x@x + y@y :
Hallemos las coordenadas canónicas. Para encontrar u; ésta debe satisfacer
X (u) = 0 de donde
dx
dy
=
x
y
3
y u es la solución de esta última ecuación diferencial, es decir u =
aplicando X (t) = 1 para obtener t; debemos resolver:
y
x:
Luego,
dy
dx
=
= dt;
x
y
de donde obtenemos t = ln jxj entonces x = et y y = uet : Sustituyendo la
dy
ecuación dx
= f xy en términos de las variables canónicas; se obtiene
0
(uet )x = f (u)
0 0 t
ut tx e + et ut0x = f
0
ut e t et + et ute t =
0
(u)
f (u)
u + u = f (u)
y como puede observarse, esta ecuación no contiene la variable independiente
"t"; usando el método de variables separables se obtiene la solución general:
Z
du
t=
+ C;
f (u) u
R du
si F (u) = f (u)
u ; entonces la solución general de la EDO homogénea inicial
se expresa en la forma
y
+ C:
ln jxj = F
x
Nota: El ejemplo anterior permite justi…car por que toda EDO homogénea
de primer orden se reduce a una ecuación de variables separables por medio
de la sustitución y = ux: La razón se debe a que u (x; y) = xy es una función
invariante del grupo uniparamétrico de estiramiento que admiten todas las EDO
de coe…cientes homogéneos.
Ejemplo 2 La ecuación diferencial
y0 + y2 =
2
x2
es de Riccati. Al sustituir las variables
x = ax
y = by
en la ecuación de Riccati, tenemos que
y0 + y 2
2
b
= y 0 + b2 y 2
x2
a
2
a2 x2
1
1
b
= b2 = 2 ; si hacemos b =
se obtiene el grupo
lo cual sucede si y sólo sí
a
a
a
de estiramiento
x=e x
y=e y
4
así
df
d
dg
d
=0
=0
=e x
=
e
y
=0
=0
=x=
=
y=
entonces el generador es X = x@x y@y :
Resolvamos esta ecuación diferencial con un factor integrante.
Para determinar un factor integrante, reescribimos la ecuación original en
la forma
2
dx = 0;
dy + y 2
x2
aplicando la fórmula del factor integrante obtenemos:
=
y multiplicando
x
xy
x2 y 2
2
por la ecuación diferencial se tiene
xdy + xy 2
x2 y 2 xy
2
x
dx
2
xdy + ydx
+
x2 y 2 xy 2
1
= d ln jxj + ln
3
=
dx
x
xy 2
xy + 1
=0
la cual es una ecuación exacta que al resolver queda como:
xy 2
C
= 3:
xy + 1
x
Procedamos ahora a resolver la misma ecuación por el método de variables
canónicas. Para encontrar u; ésta debe satisfacer X (u) = 0 de donde
dx
=
x
dy
y
y u es la solución de esta última ecuación diferencial, es decir u = xy: Luego,
aplicando X (t) = 1 para obtener t; debemos resolver:
dx
=
x
dy
= dt;
y
de donde obtenemos t = ln jxj entonces x = et y y = ue t : Sustituyendo la
ecuación y 0 + y 2 = x22 en términos de las variables canónicas, se tiene:
2
0
(ue t )x + (ue t ) =
2
2
(uet )
0
0
u (e t )x + (u)x e t + u2 e 2t = 2e 2t
0
ue t t0x + ut t0x e t + u2 e 2t = 2e 2t
0
ue t (e t ) + ut t (e t ) e t + u2 e 2t = 2e 2t
0
2
u +u
u
5
2=0
donde podemos observar que esta última ecuación no tiene dependencia explícita
de la variable "t" y podemos resolverla por el método de variables separables,
cuya solución general es
t+C =
1
ln j(u + 1)j
3
1
ln j(u
3
2)j ;
y luego, sustituyendo las variables originales, queda como:
Cx3 =
1.2.1
xy + 1
:
xy 2
Ejercicios
Resuelva las siguientes ecuaciones por el método de Lie, considerando que el
generador dado es admitido por cada ecuación.
1. x + y 2 dx
2. xy 0 + xy 2
3.
1.3
2xydy = 0; X = 2x
y = 0; X = x
y
y2
dy
= + 2
dx
x x
1; X = x
@
@x
y
@
@
+y :
@x
@y
@
:
@y
@
@
+y :
@x
@y
Soluciones de EDO de segundo orden
Para resolver una EDO de segundo orden usando simetrías, se tiene el siguiente
1. Dada una EDO, primero se debe determinar el álgebra de Lie admitida.
2. Calcular las coordenadas canónicas (t; u) :
3. Expresar la ecuación diferencial en términos de las variables canónicas.
4. Resolver la EDO de primer orden usando algún método tradicional o el
Teorema 2.
5. Volver a las variables iniciales para obtener la solución en términos de
(x; y) :
y0
1
; sabiendo que admite
2
y
xy
y
los generadores in…nitesimales X1 = x2 @x + xy@y y X2 = x@x + @y (los cuales
2
fueron obtenidos anteriormente).
Ejemplo 3 Resolver la ecuación diferencial y 00 =
6
Considerando el generador X1 = x2 @x + xy@y ; las variables canónicas in1
y
; entonces:
ducidas por X1 son u = y t =
x
x
u
1
, y=
x=
t
t
al ser sustituidas en la ecuación original, ésta se reescribe como:
t3 u00 =
t2 u
u2 t3 u00 =
u00 =
t3 u 0
u2
t2
u
t3 u 0
u0
u2
notemos que esta última ecuación no contiene a la variable "t" explícitalmente
por lo cual es posible reducir el orden haciendo u0 = p (u) ; entonces u00 =
p0 (u) u0t = p0 p y sustituyendo en la ecuación anterior:
p
p0 p = 2
u
du
dp = 2
u
que tiene como solución p =
1
u
+ C; pero p = u0t ; entonces
1
du
=
+C
dt
u
udu
= dt
Cu 1
Resolviendo
u
u
+ 2 ln jC1 u 1j = t + C2
C1
C1
y en las variables originales, la solución general queda como
C1 y + C12 x ln C1
1.4
y
x
1 + 1 = C2 x:
Ejercicios
Resuelva las siguientes ecuaciones por el método de Lie, considerando los generadores admitidos dados.
1. y 00 =
@
3y 2
@
y0
+ 3; X = x
+y :
x
2x
@x
@y
2. y 00 + xy 0 + xy 03
3. y 00 =
y2
x2
2yy 0
x
y
yy 02 = 0; X = xy
+ y 02 ; X1 = x
@
@x
x
@
@
; X2 = x ;
@x
@y
7
@
:
@y
[X1 ; X2 ] = X2 :