13.Sistemas de Desigualdades

Sistemas de desigualdades
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM
Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
MATEMÁTICAS BÁSICAS
SISTEMAS DE DESIGUALDADES
SISTEMAS DE DOS INECUACIONES Y DOS INCÓGNITAS
Un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita es el conjunto formado por dos o más
inecuaciones lineales de la forma:
a1 x + c1 > 0 
a2 x + c2 < 0

…
⋯ 
an x + cn ≥ 0
o cualquier otro signo de desigualdad, donde
a1 , a2 , ⋯ , an son coeficientes reales y c1 , c2 , ⋯ , cn son
términos independientes.
La solución de un sistema de este tipo es un conjunto de números reales x que satisfagan
simultáneamente todas y cada una de las desigualdades. La solución, en caso de existir, suele
expresarse en forma de intervalo y se debe tener cuidado en expresar correctamente si es abierto o
cerrado según el signo de desigualdad utilizado.
Particularmente, un sistema de dos inecuaciones lineales con incógnita
x , es de la forma:
a1 x + c1 > 0 

a 2 x + c 2 < 0
o cualquier otro signo de desigualdad. Resolver un sistema de este tipo es encontrar el intervalo de
números reales x que satisface ambas inecuaciones, si existe.
Ejemplos.
Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita.
1)
5 x − 4 > 12 − 3 x 

7 x + 9 > 34 + 2 x 
Solución.
De la primera inecuación:
5 x + 3 x > 12 + 4 ⇒ 8 x > 16 ⇒
x>
16
8
⇒
x>2
x>
25
5
⇒
x>5
de la segunda inecuación:
7 x − 2 x > 34 − 9 ⇒ 5 x > 25 ⇒
el conjunto solución es la intersección de ambos intervalos que corresponde al intervalo señalado por la
flecha, por lo tanto es x > 5
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x>5
x>2
0
1
Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
2
5
4
3
6
7
x
x>5
2)
11x − 23 < −3 + 6 x

− 5 x + 4 > −8 − x 
Solución.
De la primera inecuación:
11x − 6 x < −3 + 23 ⇒ 5 x < 20 ⇒
x<
20
5
de la segunda inecuación:
− 5 x + x > −8 − 4 ⇒
− 4 x > −12 ⇒
x<
⇒
− 12
−4
x<4
⇒
x<3
el conjunto solución es la intersección de ambos intervalos que corresponde al intervalo señalado por la
flecha, por lo tanto es x < 3
x<3
2
3
− 9 x + 8 x − 2 x < 7 − 4 ⇒ − 3x < 3 ⇒
x>
0
1
x<4
4
6
5
7
x
x<3
3)
− 9 x + 4 + 8 x < 7 + 2 x

− 3x − 6 < 10 − 9 x + 2 
Solución.
De la primera inecuación:
3
⇒
−3
x > −1
de la segunda inecuación:
− 3x + 9 x < 10 + 2 + 6 ⇒ 6 x < 18 ⇒
x<
18
6
⇒
x<3
el conjunto solución es la intersección de ambos intervalos que corresponde al intervalo señalado por la
flecha, por lo tanto es − 1 < x < 3
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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
x > −1
x<3
-1
-2
0
1
5
4
3
2
x
−1 < x < 3
4)
8 x + 6 > 15 + 2 x + 3 

− 2 x − 8 > −11 − 4 + 5 x 
Solución.
De la primera inecuación:
8 x − 2 x > 15 + 3 − 6 ⇒ 6 x > 12 ⇒
x>
12
⇒
6
de la segunda inecuación:
− 2 x − 5 x > −11 − 4 + 8 ⇒ − 7 x > −7 ⇒
x<
x>2
−7
−7
x <1
⇒
al no haber intersección de ambos intervalos, no hay solución.
x>2
x <1
-2
0
-1
1
2
3
4
5
x
Solución = φ
5)
9x − 3 ≤ 4x + 7 

8 x + 4 ≤ 12 x + 16
Solución.
De la primera inecuación:
9 x − 4 x ≤ 7 + 3 ⇒ 5 x ≤ 10 ⇒
x≤
10
5
⇒
x≤2
de la segunda inecuación:
8 x − 12 x ≤ 16 − 4 ⇒ − 4 x ≤ 12 ⇒ x ≥
12
⇒ x ≥ −3
−4
el conjunto solución es la intersección de ambos intervalos que corresponde al intervalo señalado por la
flecha, por lo tanto es − 3 ≤ x ≤ 2
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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
x ≥ −3
-4
x≤2
-3
-2
-1
1
0
2
3
x
−3≤ x ≤ 2
Un sistema de dos inecuaciones lineales con incógnitas
x y y , es de la forma:
a11 x + a12 y > b1 

a21 x + a22 y < b2 
o cualquier otro signo de desigualdad, donde a11 , a12 , a 21 , a 22 son coeficientes reales y b1 , b2 son
términos independientes. En cada una de las inecuaciones, por lo menos uno de los coeficientes de las
incógnitas es diferente de cero. Resolver un sistema de este tipo es obtener el semiplano solución de las
dos desigualdades e identificar su intersección.
Obtener la solución de un sistema de este tipo supone obtener el hiperplano solución de cada una de las
inecuaciones que lo forman y determinar la intersección de todos ellos.
La solución de un sistema de n inecuaciones lineales con dos incógnitas es siempre un conjunto convexo.
Se llama conjunto convexo a una región del plano tal que para dos puntos cualesquiera de la misma, el
segmento que los une está íntegramente contenido en dicha región. Como casos particulares, un conjunto
convexo puede quedar reducido a una recta, a una semirrecta, a un segmento, a un punto o al conjunto vacío.
Los segmentos que delimitan un conjunto convexo se llaman bordes o lados y, la intersección de ellos,
vértices. Los vértices y puntos de los lados que pertenezcan a la solución del sistema de inecuaciones se
denominan puntos extremos. Un conjunto convexo puede ser cerrado o abierto respecto a cada lado o vértice
según se incluya éste o no en la solución. Puede ser acotado o no acotado según su área sea o no finita.
Ejemplos.
Resolver los siguientes sistemas de dos inecuaciones lineales con dos incógnitas.
1)
2 x + y − 4 > 0

x − y +1 > 0 
Solución.
Convirtiendo a igualdad la primera inecuación:
Si
x =0 ⇒ y−4=0 ⇒
Si y = 0
2x + y − 4 = 0
y=4
⇒ 2x − 4 = 0 ⇒ 2x = 4 ⇒
x=
4
=2
2
la recta pasa por los puntos (0, 4 ) y (2, 0 )
Para representar gráficamente la solución de la primera inecuación se elige un punto que no esté en la
recta y se comprueba si verifica o no la desigualdad. Por ejemplo, tomando el punto P1 (1, 3) se aprecia
que cumple la inecuación ya que al sustituir se obtiene 2(1) + (3) − 4 = 2 + 3 − 4 = 1 > 0 . Esto significa
que la región que incluye a ese punto es solución de esta desigualdad.
Convirtiendo a igualdad la segunda inecuación: x − y + 1 = 0
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Si x = 0
Si
⇒
− y = −1 ⇒
y=
Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
−1
=1
−1
y = 0 ⇒ x + 1 = 0 ⇒ x = −1
la recta pasa por los puntos (0, 1) y (− 1, 0 )
Para representar gráficamente la solución de la segunda inecuación se elige un punto que no esté en la
recta y se comprueba si verifica o no la desigualdad. Por ejemplo, tomando el punto P2 (3, 2 ) se observa
que cumple la inecuación ya que al sustituir se obtiene 3 − 2 + 1 = 2 > 0 . Esto significa que la región que
incluye a ese punto es solución de esta desigualdad.
El conjunto solución es la intersección de las dos regiones, formando el semiplano sombreado.
y
5
4
P1
3
2
P2
1
-5
-4
-3
-2
-1 -1
1
2
3
4
5
x
-2
-3
Recta 2
Recta 1
2)
− x+ y −3> 0 

x + 2 y − 10 > 0
Solución.
Convirtiendo a igualdad la primera inecuación:
y −3 = 0 ⇒
− x + y −3 = 0
Si
x=0 ⇒
y =3
Si
y = 0 ⇒ − x −3 = 0 ⇒ − x = 3 ⇒
x=
3
= −3
−1
la recta pasa por los puntos (0, 3) y (− 3, 0 )
Se elige un punto que no esté en la recta para verificar si cumple o no la desigualdad. Por ejemplo,
tomando al punto P1 (− 3, 8) se tiene que − (− 3) + 8 − 3 = 3 + 8 − 3 = 8 > 0 , esto es, cumple la
inecuación, por lo que la región que incluye a ese punto es solución de esta desigualdad.
Convirtiendo a igualdad la segunda inecuación: x + 2 y − 10 = 0
10
=5
2
Si y = 0 ⇒ x − 10 = 0 ⇒ x = 10
la recta pasa por los puntos (0, 5) y (10, 0 )
Si
x = 0 ⇒ 2 y = 10 ⇒
y=
5
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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
Se elige un punto que no esté en la recta para verificar si cumple o no la desigualdad. Por ejemplo,
tomando al punto P2 (1, 6 ) se tiene que 1 + 2(6 ) − 10 = 1 + 12 − 10 = 3 > 0 , esto es, cumple la
inecuación, por lo que la región que incluye a ese punto es solución de esta desigualdad.
El conjunto solución es la intersección de las dos regiones, formando el semiplano sombreado.
y
10
P1
P2
5
-10
-5
5
10
x
Recta 2
-5
Recta 1
3)
2 x + y − 8 > 0

3x − y + 6 > 0
Solución.
Convirtiendo a igualdad la primera inecuación:
Si
x=0 ⇒
y −8 = 0 ⇒
Si
y = 0 ⇒ 2x − 8 = 0 ⇒ 2x = 8 ⇒
2x + y − 8 = 0
y =8
x=
8
=4
2
la recta pasa por los puntos (0, 8) y (4, 0 )
Se elige un punto que no esté en la recta para verificar si cumple o no la desigualdad. Por ejemplo,
tomando al punto P1 (1, 2 ) se tiene que 2(1) + 2 − 8 = −4 < 0 , esto es, no cumple la inecuación, por lo
que la región que no incluye a ese punto es solución de esta desigualdad.
Convirtiendo a igualdad la segunda inecuación: 3x − y + 6 = 0
Si
x = 0 ⇒ − y + 6 = 0 ⇒ − y = −6 ⇒
Si
y = 0 ⇒ 3x + 6 = 0 ⇒ 3x = −6 ⇒
−6
=6
−1
−6
x=
= −2
3
y=
la recta pasa por los puntos (0, 6 ) y (− 2, 0 )
Se elige un punto que no esté en la recta para verificar si cumple o no la desigualdad. Por ejemplo,
tomando al punto P2 (− 4 , 2 ) se tiene que 3(− 4 ) − 2 + 6 = −12 − 2 + 6 = −8 < 0 , esto es, no cumple la
inecuación, por lo que la región que no incluye a ese punto es solución de esta desigualdad.
El conjunto solución es la intersección de las dos regiones, formando el semiplano sombreado.
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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
y
10
5
P2
P1
-10
-5
5
10
x
-5
Recta 2
4)
Recta 1
2 x + 5 y ≥ 10

5 x + 3 y ≤ 15 
Solución.
Acomodando:
2 x + 5 y − 10 ≥ 0

5 x + 3 y − 15 ≤ 0 
2 x + 5 y −10 = 0
10
x = 0 ⇒ 5 y − 10 = 0 ⇒ 5 y = 10 ⇒ y = = 2
5
10
y = 0 ⇒ 2 x − 10 = 0 ⇒ 2 x = 10 ⇒ x = = 5
2
Convirtiendo a igualdad la primera inecuación:
Si
Si
la recta pasa por los puntos (0, 2 ) y (5, 0 )
Se elige un punto que no esté en la recta para verificar si cumple o no la desigualdad. Por ejemplo,
tomando al punto P1 (3, 2 ) se tiene que 2(3) + 5(2 ) − 10 = 6 + 10 − 10 = 6 > 0 , esto es, cumple la
inecuación, por lo que la región que incluye a ese punto es solución de esta desigualdad.
Convirtiendo a igualdad la segunda inecuación: 5 x + 3 y − 15 = 0
Si
x = 0 ⇒ 3 y − 15 = 0 ⇒ 3 y = 15 ⇒
Si
y = 0 ⇒ 5 x − 15 = 0 ⇒ 5 x = 15 ⇒
15
=5
3
15
x= =3
5
y=
la recta pasa por los puntos (0, 5) y (3, 0 )
Se elige un punto que no esté en la recta para verificar si cumple o no la desigualdad. Por ejemplo,
tomando al punto P2 (4 , 1) se tiene que 5(4 ) + 3(1) − 15 = 20 + 3 − 15 = 8 > 0 , esto es, no cumple la
inecuación, por lo que la región que no incluye a ese punto es solución de esta desigualdad.
El conjunto solución es la intersección de las dos regiones, formando el semiplano sombreado.
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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
y
5
4
Recta 1
3
P1
2
P2
1
-5
-4
-3
-2
-1 -1
1
2
3
4
5
-2
-3
Recta 2
8
x