Al analizar el desempeño de un sistema de control una de las características de mayor importancia es el análisis de su estabilidad. Por lo tanto nos vamos a enfocar en la posición de las raíces dela ecuación característica. F(S)= 1 + G(S)H(S) Que son los polos de la función de transferencia de lazo cerrado R(S)/E(S) = G(s) / (1+G(S)H(S)) Nuestro criterio es detectar si la ecuación característica del sistema, tiene ceros o polos con parte real positiva. Si ocurre esto el sistema es inestable. El criterio de Nyquist es un método grafico para la determinación de la estabilidad de un sistema de lazo cerrado, que se basa en el estudio de las propiedades graficas de F(S) o G(S)H(S) en el dominio de la frecuencia. Relación de polos y ceros respecto a las funciones del sistema R(S)/E(S) = Ganancia del sistema de lazo cerrado G(S) = Ganancia directa H(S) = Ganancia de realimentación G(S)H(S) = Ganancia de lazo o ganancia de lazo abierto Ceros de la función de transferencia de lazo = ceros G(S)H(S) Polos de la función de transferencia de lazo = polos de G(S)H(S) Polos de función transf. Lazo cerrado = ceros de F(S) = 1 + G(S)H(S) Los Polos de 1+G(S)H(S) son iguales a los polos de G(S)(HS) Para que un sistema de lazo cerrado sea asintóticamente estable, no hay restricciones en la posición de los polos y los ceros de la función de transferencia de lazo, pero los polos de la función de transferencia de lazo cerrado o las raíces de la ecuación característica deben estar todos situados en el semiplano izquierdo del plano s Conceptos Básicos 1- Punto Circundado : Se dice que un punto esta circundado por una trayectoria cerrada cuando esta situado en el interior de dicha trayectoria. 2- Punto Contenido: Un punto esta encerrado o contenido por una trayectoria cerrada cuando aparece a la izquierda de la trayectoria al recorrer la misma en un dirección. B A A Numero de Circundamientos y Encierros Cuando esta circundado o encerrado por una trayectoria cerrada, se puede asignar un numero N como como numero de encierros o circundamientos. Principio del Argumento Sea ∆(S) una función analítica en una región especifica del plano S, excepto en un numero finito de puntos. Supóngase que en el plano S se selecciona en forma arbitraria una trayectoria cerrada ζs de tal manera que ∆(S) sea analítica en todos los puntos de ζs; el lugar geométrico correspondiente de ∆(S) trazado en el plano ∆(S) circundara al origen tantas veces como la diferencia entre el numero de ceros y el numero de polos ∆(S) estén circundados por el lugar geométrico de ζs el plano s N=Z-P N = Numero de vueltas alrededor del origen que da el lugar geométrico ζs en el plano ∆s Z = Numero de ceros de ∆s rodeados por el lugar geométrico ζs en el plano s P = Numero de polos de ∆s rodeados por el lugar geométrico ζs en el plano s 1- N ˃ 0 El lugar geométrico del plano S circunda mas ceros que polos de F(s) en una cierta dirección preestablecida. En este caso el lugar geométrico del plano S circundara al origen del plano ∆s N veces en la misma dirección que ζs 2- N = 0 El lugar geométrico del plano S circunda tantos ceros como polos o ninguno de ∆s . En este caso el lugar geométrico de ζs en el plano plano ∆(s) no circundara al origen del plano ∆(s) 3- N ˂ 0 El lugar geométrico del plano S circunda mas polos que ceros de F(s) en una cierta dirección preestablecida. En este caso el lugar geométrico de ζs del plano ∆(S) circundara al origen del plano ∆s N veces en la dirección opuesta a la de ζs Resumen de los resultados posibles del principio del argumento N=Z-P Lugar Geométrico del plano ∆S Sentido de recorrido del lugar geométrico en el plano S Numero de vueltas del origen N˃0 Igual al de las agujas del reloj N Contrario al de las agujas del reloj N˂0 Igual al de las agujas del reloj Igual al de las agujas del reloj Contrario al de las agujas del reloj Igual al de las agujas del reloj Contrario al de las agujas del reloj N Contrario al de las agujas del reloj N=0 Dirección de la vuelta Contrario al de las agujas del reloj Igual al de las agujas del reloj 0 No hay vuelta No hay vuelta Trayectoria de Nyquist Sección 1: desde s = +j∞ hasta +jω1+ a lo largo del eje jω Sección 2: desde +jω1+ hasta +jω1- a lo largo del semicírculo de radio ε→ 0 que rodea a s = jω1 Sección 3: desde +jω1- hasta +j0+ a lo largo del eje jω Sección 4: desde +j0+ hasta +j0- a lo largo del semicírculo de radio ε → 0 que rodea a s = 0 Sección 5: desde –j0+ hasta -jω1- a lo largo del eje jω Sección 6: desde -jω1- hasta +jω1+ a lo largo del semicírculo de radio ε → 0 que rodea a s = -jω1 Sección 7: desde -jω1+ hasta s = -j∞ a lo largo del eje jω Sección 8: Desde s = = -j∞ hasta s = +j∞ a lo largo del semicírculo de radio infinito Criterio de Estabilidad y la Traza de G(s)H(S) En principio, una vez que se especifica la trayectoria de Nyquist, la estabilidad del sistema se puede determinar al graficar el lugar geométrico de F(s)=1+G(s)H(S) cuando s toma valores a lo largo de la trayectoria de Nyquist, e investigar el comportamiento de la traza de F(s) con respecto al punto critico, que en este caso es el origen del plano F(s). Sin embargo, puesto que en un sistema de un solo lazo, G(s)H(s), casi siempre son funciones conocidas, resulta mas simple construir la traza de Nyquist de G(s)H(s). La misma conclusión sobre la estabilidad del sistema se puede obtener al observar el comportamiento de la traza de G(s)H(s) con respecto al punto (-1,j0) en el plano G(s)H(s). Esto es cierto pues el origen del plano F(s)=1+G(s)H(s) corresponde al punto (-1, j0) en el plano G(s)H(s). Por tanto el punto (-1, j0) en el plano G(s)H(s) será el punto critico para determinar la estabilidad del sistema, como lo indican las figuras Es importante recordar que la estabilidad de lazo cerrado implica que F(s) = 1 + G(s)H(s) solo tiene ceros en el semiplan0 izquierdo del plano s. Para analizar la estabilidad debemos definir lo siguiente: - N0 = Número de vueltas alrededor del origen dadas por G(s)H(s) - Zo = Número de ceros de G(s)H(s) que están rodeados por la trayectoria de Nyquist, o en el semiplano derecho del plano s - Po = Número de polos de G(s)H(s) que están rodeados por la trayectoria de Nyquist, o en el semiplano derecho del plano s - N-1 = Número de vueltas alrededor del pinto (-1,j0) dadas por G(s)H(s) - Z-1 = Número de ceros de 1+G(s)H(s) que están rodeados por la trayectoria de Nyquist, o en el semiplano derecho del plano s - P-1 = Número de polos de G(s)H(s) que están rodeados por la trayectoria de Nyquist, o en el semiplano derecho del plano s Al llegar a este punto podemos ver que: Po = P-1 Debido a que G(s)H(s) y 1 + G(s)H(s) siempre tienen los mismos polos , la estabilidad de lazo cerrado implica o requiere que Z-1 = 0 Pero la estabilidad de lazo abierto requiere que: P0 = 0 El procedimiento se resume de la siguiente manera: Se construye la traza de Nyquist de G(s)H(s) Se determinan los valores de N0 y N-1 analizando el comportamiento de la traza de Nyquist de G(s)H(s) con respecto al origen y al punto (-1,j0) El valor de P0 si no se conoce todavía se calcula a partir de N0 = Z0 – P0 cuando se cuenta con Z0. Después de calcular P0, P-1 = P0 y Z-1 se calcula con N-1 = Z-1 – P-1 Como se estableció que Z-1 debe ser cero para un lazo cerrado estable N-1 = -P-1 Por consiguiente, el criterio de Nyquist puede enunciarse de la siguiente manera: Para que un sistema de lazo cerrado sea estable, la traza de Nyquist de G(s)H(s) debe circundar al punto (-1,j0) tantas veces como el numero de polos de G(s)H(s) que hay en el semiplano derecho del plano s, y estas vueltas si se presentan deben darse en la dirección del movimiento de las agujas del reloj.