TDI Vibraciones 2doParcial

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA ENERGÍA Y MECÁNICA
VIBRACIONES
Trabajo de Investigación
TEMA:
Vibración Forzada de Coulomb e Histerética
DOCENTE:
Ing. Jaime Echeverría Y. MSC.
ALUMNO:
Diego González G
NRC:
1351
SANGOLQUÍ, 16 DE ENERO DEL 2018
Tabla de contenido
1.
Tema: .............................................................................................................................................. 3
2.
Introducción .................................................................................................................................... 3
3.
Marco Teórico ................................................................................................................................. 3
3.1.
Vibración forzada con amortiguamiento de Coulomb ............................................................ 4
Ejemplo 3.1
3.2.
5.
Sistema de resorte-masa con amortiguamiento de Coulomb ................................. 7
Vibración forzada con amortiguamiento de histerésis ............................................................ 8
Bibliografía: .................................................................................................................................. 10
Tabla de figuras
Figura 1: Sistema de resorte-masa-amortiguador. .................................................................................. 4
Figura 2 Sistema de un solo grado de libertad ........................................................................................ 4
figura 3: energía alimentada y energía disipada con amortiguamiento de coulomb ............................... 7
Figura 4: Sistema con amortiguamiento de histéresis ............................................................................. 8
Figura 5: Respuesta de estado estable ..................................................................................................... 9
VIBRACIONES
Diego González G
1. TEMA:
VIBRACIÓN FORZADA DE COULOMB E HISTERÉTICA
2. INTRODUCCIÓN
Se dice que un sistema mecánico o estructural experimenta vibración forzada siempre
que se suministra energía externa al sistema durante la vibración. La energía externa se puede
suministrar ya sea mediante una fuerza aplicada o por una excitación de desplazamiento
impuesta. La fuerza aplicada o la excitación de desplazamiento pueden ser armónica, no
armónica pero periódica, no periódica, o aleatoria. La respuesta de un sistema a una excitación
armónica se llama respuesta armónica. La excitación no periódica puede ser de larga o de corta
duración. La respuesta de un sistema dinámico a excitaciones no periódicas repentinamente
aplicadas se llama respuesta transitoria.
En este capítulo consideraremos la respuesta dinámica de un sistema de un solo grado
de libertad sujeto a excitaciones armónicas de la forma 𝐹(𝑡) = 𝐹0 𝑒 𝑖(𝜔𝑡+𝜙) ó 𝐹(𝑡) =
𝐹0 cos(𝜔𝑡 + 𝜙) ó 𝐹(𝑡) = 𝐹0 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜙), donde 𝐹0 es la amplitud, 𝜔 es la frecuencia y 𝜙
depende del valor de 𝐹(𝑡) en 𝑡 = 0 y suele considerársele cero. Bajo excitación armónica, la
respuesta del sistema también será armónica. Si la frecuencia de excitación coincide con la
frecuencia natural del sistema, la respuesta será muy grande. Esta condición, conocida como
resonancia, se debe evitar para que no falle el sistema. La vibración producida por una máquina
rotatoria desbalanceada, la oscilación de una alta chimenea producida por la formación de
torbellino en un viento constante y el movimiento vertical de un automóvil sobre una carretera
ondulada son ejemplos de vibración excitada.
3. MARCO TEÓRICO
Si una fuerza F(t) actúa en un sistema de resorte-masa viscosamente amortiguado como
se muestra en la figura 3.1, la ecuación del movimiento se puede obtener aplicando la segunda
ley de Newton:
𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 𝐹(𝑡)
(3.1)
Como esta ecuación es no homogénea, la suma de la solución homogénea xh(t) y la
solución particular, xp(t) proporciona su solución general. La solución homogénea, la cual es
la solución de la ecuación homogénea
𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 0
(3.2)
representa la vibración libre del sistema. La vibración libre se reduce con el tiempo en cada
una de las tres posibles condiciones de amortiguamiento (sub amortiguamiento,
amortiguamiento crítico y sobre amortiguamiento) y en todas las posibles condiciones iniciales.
Por lo tanto, la solución general de la ecuación (3.1) se reduce en último término a la solución
particular xp(t), la cual representa la vibración de estado estable. El movimiento de estado
estable está presente mientras la función forzada está presente.
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Las variaciones con el tiempo de las soluciones homogénea, particular y general. Se ve que
xh(t) se reduce y que x(t) se transforma en xp(t) después de algún tiempo. La parte del
movimiento que se reduce a causa del amortiguamiento (la parte de vibración libre) se llama
transitoria. El ritmo al cual el movimiento transitorio se reduce depende de los valores de los
parámetros del sistema k, c y m. En este capítulo, excepto en la sección 3.3, ignoramos el
movimiento transitorio y derivamos sólo la solución particular de la ecuación (3.1), la cual
representa la respuesta de estado estable, sometida a funciones forzadas armónicas.
FIGURA 1: SISTEMA DE RESORTE-MASA-AMORTIGUADOR.
3.1. Vibración forzada con amortiguamiento de Coulomb
Para un sistema de un solo grado de libertad con amortiguamiento de
Coulomb o de fricción seca, sometido a una fuerza armónica 𝐹(𝑡) =
𝐹0 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) como en la figura 2, la ecuación de movimiento es
𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥 ± 𝜇𝑁 = 𝐹(𝑡) = 𝐹0 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
(3.3)
donde el signo de la fuerza de fricción (𝜇𝑁 = 𝜇𝑚𝑔) es positivo (negativo)
cuando la masa se mueve de izquierda a derecha (derecha a izquierda). La
solución exacta de la ecuación (3.2) es bastante complicada. Sin embargo,
podemos esperar que, si la fuerza de amortiguamiento de fricción seca es grande,
el movimiento de la masa será discontinuo. Por otra parte, si la fuerza de fricción
seca es pequeña comparada con la amplitud de la fuerza aplicada F0, se espera
que la solución de estado estable sea casi armónica.
FIGURA 2 SISTEMA DE UN SOLO GRADO DE LIBERTAD
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En este caso, podemos determinar una solución aproximada de la
ecuación (3.2) por medio de una relación de amortiguamiento viscoso
equivalente. Para determinar tal relación, igualamos la energía disipada por la
fricción seca a la energía disipada por un amortiguador viscoso equivalente
durante un ciclo de movimiento completo. Si X denota la amplitud de
movimiento, la energía disipada por la fuerza de fricción µN en un cuarto de
ciclo es µNX. Por consiguiente, en un ciclo completo la energía disipada por el
amortiguamiento de fricción seca está dada por
∆𝑊 = 4𝜇𝑁𝑋
(3.4)
Si la constante de amortiguamiento viscoso equivalente se indica como 𝑐𝑒𝑞 , la
energía disipada durante un ciclo completo será
∆𝑊 = 𝜋𝑐𝑒𝑞 𝜔𝑋 2
(3.5)
Igualando las ecuaciones (3.4) y (3.5), obtenemos
𝑐𝑒𝑞 =
4𝜇𝑁
𝜋𝜔𝑥
(3.6)
Por lo tanto, la respuesta de estado estable está dada por
𝑥𝑝 (𝑡) = 𝑋𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝜙)
(3.7)
Donde la amplitud X se puede hallar a partir de:
con:
se obtiene:
(3.8)
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Se puede usar la ecuación 3.8 solo si la fuerza de fricción es pequeña
comparada con Fo. De hecho, el valor limite de la fuerza de fricción µN se
determina con la ecuación (3.8). Para evitar valores imaginarios de X,
necesitamos tener
Si no se satisface esta condición se debe utilizar el análisis exacto. El ángulo de
fase 𝜙 se puede obtener mediante la siguiente igualdad:
ó también luego de sustituir, tiene la siguiente forma:
La ecuación (3.8) muestra que la fricción sirve para limitar la amplitud
de vibración forzada para 𝜔⁄𝜔𝑛 = 1. Sin embargo, en resonancia (𝜔⁄𝜔𝑛 = 1),
la amplitud se vuelve infinita. Esto se puede explicar como sigue. La energía
dirigida hacia el sistema durante un ciclo cuando es excitado armónicamente en
resonancia es:
Por lo tanto, más energía se dirige al sistema por ciclo que la que se
disipa por ciclo. Esta energía extra se utiliza para incrementar la amplitud de
vibración. Para la condición no resonante (𝜔⁄𝜔𝑛 = 1), la energía alimentada se
determina con la ecuación (3.9):
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(3.10)
Por la presencia de 𝑠𝑒𝑛 𝜙 en la ecuación (3.10), se hace que la curva de
la energía alimentada en la figura 3 coincida con la curva de la energía disipada,
así que la amplitud se limita. Por lo tanto, se ve que la fase del movimiento 𝜙
limita la amplitud de movimiento.
FIGURA 3: ENERGÍA ALIMENTADA Y ENERGÍA DISIPADA CON AMORTIGUAMIENTO DE COULOMB
Ejemplo 3.1
Sistema de resorte-masa con amortiguamiento de Coulomb
Un sistema de resorte de 4000 N/m rigidez y masa de 10 kg vibra sobre
una superficie horizontal. El coeficiente de fricción es de 0.12. Cuando
se somete a una fuerza armónica de 2 Hz de frecuencia, la masa vibra
con una amplitud de 40 mm. Determine la amplitud de la fuerza
armónica aplicada a la masa.
Solución:
La fuerza vertical (peso) de la masa es N = mg = 10 x 9.81 = 9.81 N. La
frecuencia natural es:
y la relación de frecuencia es
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La ecuación (3.8) da la amplitud de vibración X:
La solución de esta ecuación es 𝐹𝑜 = 97.9874 𝑁.
3.2. Vibración forzada con amortiguamiento de histerésis
Considere un sistema de un solo grado de libertad con amortiguamiento
de histéresis sometido a una fuerza armónica F(t) = Fo 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 , como se
indica en la figura 4. La ecuación de movimiento de la masa se deriva como:
𝑚𝑥̈ +
𝛽𝑘
𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 𝐹𝑜 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡
𝜔
(3.11)
𝛽𝑘⁄
ℎ
𝜔) 𝑥̇ = ( ⁄𝜔)𝑥̇ indica la fuerza de amortiguamiento.
donde (
Aun cuando la solución de la ecuación 3.11 es bastante complicada en el
caso de una función forzada general F(t), nos interesa encontrar la respuesta bajo
una fuerza armónica.
FIGURA 4: SISTEMA CON AMORTIGUAMIENTO DE HISTÉRESIS
La solución de estado estable de la ecuación (3.11) se puede suponer como:
(3.12)
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Sustituyendo la ecuación (3.12) en la ecuación (3.11), obtenemos
y
Las gráficas de las ecuaciones de X y 𝜙 se muestran en la figura 5 para varios
valores de β.
1. La relación de amplitud de amplitud
𝑋
𝐹
( 𝑜⁄𝑘 )
FIGURA 5: RESPUESTA DE ESTADO ESTABLE
alcanza su valor máximo de
𝐹𝑜
⁄𝑘𝛽 a la frecuencia (𝜔 = 𝜔𝑛 ) en el caso de
amortiguamiento de histéresis, en tanto que ocurre a una frecuencia por
debajo de la de resonancia (𝜔 < 𝜔𝑛 ) en el caso de amortiguamiento
viscoso.
2. El ángulo de fase 𝜙 tiene un valor de 𝑡𝑎𝑛−1 (𝛽) a 𝜔 = 0 en el caso de
amortiguamiento de histéresis, en tanto tiene un valor de cero en 𝜔 = 0 en
el caso de amortiguamiento viscoso.
Esto indica que la respuesta nunca puede estar en fase con la función forzada
en el caso de amortiguamiento de histéresis. Observe que si supone que la
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excitación armónica es F(t) = Fo 𝑒 𝑖𝜔𝑡 en la figura 3.4, la ecuación de
movimiento se escribe entonces como
(3.13)
En este caso, la respuesta x(t) también es una función armónica que implica
el factor 𝑒 𝑖𝜔𝑡 . Por consiguiente, 𝑖𝜔𝑥(𝑡) da por resultado 𝑥̇ (𝑡), y la ecuación
(3.13) se escribe como
(3.14)
donde la cantidad 𝑘(1 + 𝛽) se conoce como rigidez compleja o
amortiguamiento complejo. La parte real de la siguiente ecuación
proporciona la solución de estado estable de la ecuación (3.14)
5. BIBLIOGRAFÍA:
P, D. J. (1956). Mechanical Vibrations. New York: McGraw-Hill.
Rao, S. S. (2012). Vibraciones Mecánicas. México: PEARSON.
Shabana, A. (1991). Theory of Vibration. Chicago: Springer.
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