Subido por Luis Libardo Lopez Luna

551108 15 Tarea Intermedia 3

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Paso 4 - Tarea Intermedia 3
Presentado por:
Alejandra Calvete Cod.
Neiserlen Pertuz Cod.39317955
Cristian Danilo Osorio Cod. 1115.420.538
Jhon Carlos Silva Ruiz Cod. 91456355
Niver Orejuela Cod.. 101009972
Algebra, Trigonometría
Y Geometría Analítica 551108a_474
Grupo 551108_15
Presentado a:
Pablo Andrés López
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD
Escuela de Ciencias de la Educación (ECEDU)
Licenciatura en Matemáticas
28 de Noviembre de 2018
2
Presentación
El presente trabajo busca profundizar en el estudio de la geometria, mediante la solución
de ejercicios que desarrollan los siguientes temas: Hipérbola, Elipse, Circunferencia, Parábola,
Gráficas de las cónicas, Ecuaciones de las cónicas y Geometría Analítica y finalmente unos
problemas que permitían aplicar estos conceptos en la solución de situaciones de la vida real.
Para el desarrollo de esta actividad los ejercicios fueron distribuidos en los integrantes del
grupo quienes presentaron su solución y la explicación de los pasos desarrollados y su
comprobación en el programa de Geogebra, los mismos fueron publicados en el foro diseñado para
tal fin, en donde el tutor realizo las explicaciones y correcciones pertinentes.
.
Objetivos
-
Emplear diversos sistemas de representación para enriquecer el significado de los
objetos matemáticos propios del A-T-G-A, utilizando software de modelación libre y
comercial.
4
Desarrollo de los ejercicios
Tarea 1. Dadas las siguientes hipérbolas y elipses dar, en cada caso, las coordenadas del centro,
de los vértices, los focos, la excentricidad y la gráfica. (Comprobar con Geogebra).
a).
(𝑥−2)2
16
−
(𝑦−3)2
9
=1
(𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2
−
=1
𝑎2
𝑏2
Coordenadas del centro
−ℎ = −2 → (−1) − ℎ = (−1) − 2 → 𝒉 = 𝟐
−𝑘 = −3 → (−1) − 𝑘 = (−1) − 3 → 𝒌 = 𝟑
𝒉=𝟐 𝒚 𝒌=𝟑
𝐶 = (ℎ, 𝑘)
𝑪 = (𝟐, 𝟑)
Distancia focal
𝑎2 = 16 → √𝑎2 = √16 → 𝒂 = 𝟒
𝑏2 = 9
→ √𝑏 2 = √9 → 𝒃 = 𝟑
𝒂=𝟒 𝒚 𝒃=𝟑
𝑐 = √𝑎 2 + 𝑏 2
𝑐 = √16 + 9
𝑐 = √25
𝒄 = 𝟓 Distancia focal
5
Coordenadas de los vértices
𝑉1 = (ℎ − 𝑎, 𝑘) → (2 − 4, 3)
𝑉2 = (ℎ + 𝑎, 𝑘)
→ (−𝟐, 𝟑)
→ (2 + 4, 3) → (𝟔, 𝟑)
𝐵1 = (ℎ , 𝑘 − 𝑏) → (2 , 3 − 3) → (𝟐 , 𝟎)
𝐵2 = (ℎ, 𝑘 + 𝑏)
→
(2, 3 + 3)
→ (𝟐 , 𝟔)
Coordenadas de los focos
𝐹1 = (ℎ − 𝑐, 𝑘) → (2 − 5, 3) → (−𝟑, 𝟑)
𝐹2 = (ℎ + 𝑐, 𝑘) → (2 + 5, 3) → (𝟕, 𝟑)
Gráfica
Respuesta
 Coordenadas del centro
𝑪 = (𝟐, 𝟑)
6
 Coordenadas de los vértices
𝒗𝟏 = (−𝟐, 𝟑) 𝒗𝟐 = (𝟔, 𝟑) 𝑩𝟏 = (𝟐, 𝟎) 𝑩𝟐 = (𝟐, 𝟔)
 Coordenadas de los focos
𝒇𝟏 = (−𝟑, 𝟑)
𝒇𝟐 = (𝟕, 𝟑)
 La excentricidad
𝑒=
𝑐
𝑎
→
𝟓
𝟒
𝒆=
 Comprobación Geogebra
b).
(𝑦−1)2
4
−
(𝑥−2)2
16
=1
(𝑦 − 𝑘)2 (𝑥 − ℎ)2
−
𝑎2
𝑏2
Coordenadas del centro
−ℎ = −2 → (−1) − ℎ = (−1) − 2 → 𝒉 = 𝟐
7
−𝑘 = −1 → (−1) − 𝑘 = (−1) − 1 → 𝒌 = 𝟏
𝒉=𝟐 𝒚 𝒌=𝟏
𝐶 = (ℎ, 𝑘)
𝑪 = (𝟐, 𝟏)
Distancia focal
𝑎2 = 4 → √𝑎2 = √4 → 𝒂 = 𝟐
𝑏 2 = 16
→ √𝑏 2 = √16 → 𝒃 = 𝟒
𝒂=𝟐 𝒚 𝒃=𝟒
𝑐 = √𝑎 2 + 𝑏 2
𝑐 = √4 + 16
𝑐 = √20
𝒄 = √𝟐𝟎 ≈ 𝟒. 𝟒𝟕 Distancia focal
Coordenadas de los vértices
𝑉1 = (ℎ, 𝑘 + 𝑎) → (2, 1 + 2 )
→ (𝟐, 𝟑)
𝑉2 = (ℎ, 𝑘 − 𝑎) → (2, 1 − 2) → (𝟐, −𝟏)
𝐵1 = (ℎ + 𝑏, 𝑘) → (2 + 4, 1) → (𝟔 , 𝟏)
𝐵2 = (ℎ − 𝑏, 𝑘)
→ (2 − 4, 1) → (−𝟐 , 𝟏)
Coordenadas de los focos
𝐹1 = (ℎ, 𝑘 + 𝑐) → (2, 1 + 4.47) → (𝟐, 𝟓. 𝟒𝟕)
𝐹2 = (ℎ, 𝑘 − 𝑐) → (2, 1 − 4.47) → (𝟐, −𝟑. 𝟒𝟕)
8
Gráfica
Respuesta
 Coordenadas del centro
𝑪 = (𝟐, 𝟏)
 Coordenadas de los vértices
𝒗𝟏 = (𝟐, 𝟑) 𝒗𝟐 = (𝟐, −𝟏) 𝑩𝟏 = (𝟔, 𝟏) 𝑩𝟐 = (−𝟐, 𝟏)
 Coordenadas de los focos
𝒇𝟏 = (𝟐, 𝟓. 𝟒𝟕)
𝒇𝟐 = (𝟐, −𝟑. 𝟒𝟕)
 La excentricidad
𝑒=
𝑐
𝑎
→
𝒆=
√𝟐𝟎
𝟐
9
 Comprobación Geogebra
c).(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 25
(𝑋 − 2)2 + (𝑌 − 3)2 = 25
Circunferencia
Respuesta
La ecuación anterior no corresponde a una hipérbola, ni a una elipse. Esta ecuación cumple las
características de la ecuación canónica de la circunferencia. Razón por la cual se grafica la
circunferencia y los elementos que se identifican son el centro y el radio.
(𝑋 − 2)2 + (𝑌 − 3)2 = 25
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2
Coordenadas del centro
−ℎ = −2 → (−1) − ℎ = (−1) − 2 → 𝒉 = 𝟐
10
−𝑘 = −3 → (−1) − 𝑘 = (−1) − 1 → 𝒌 = 𝟑
𝒉=𝟐 𝒚 𝒌=𝟑
𝐶 = (ℎ, 𝑘)
𝑪 = (𝟐, 𝟑)
Radio
𝑟 2 = 25 → √𝑟 2 = √25 → 𝒓 = 𝟓
Gráfica
 Coordenadas del centro
𝑪 = (𝟐, 𝟑)
 Medida radio
𝒓=𝟓
 Comprobación Geogebra
11
d). 9𝑥2 + 4(𝑦 − 3)2 = 36
9𝑋 2 4(𝑌 − 3)2 36
+
=
36
36
36
𝑥 2 (𝑦 − 3)2
+
=1
4
9
(𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2
−
𝑏2
𝑎2
Coordenadas del centro
−ℎ = 0 → (−1) − ℎ = (−1)0 → 𝒉 = 𝟎
−𝑘 = −3 → (−1) − 𝑘 = (−3) − 1 → 𝒌 = 𝟑
𝒉=𝟎 𝒚 𝒌=𝟑
𝐶 = (ℎ, 𝑘)
𝑪 = (𝟎, 𝟑)
Distancia focal
12
𝑎2 = 9
→ √𝑎2 = √9
𝑏2 = 4
→ √𝑏 2 = √4 → 𝒃 = 𝟐
→ 𝒂=𝟑
𝒂=𝟑 𝒚 𝒃=𝟐
𝑐 = √𝑎 2 − 𝑏 2
𝑐 = √9 − 4
𝑐 = √5
𝒄 = √𝟓 ≈ 𝟐. 𝟐𝟑 Distancia focal
Coordenadas de los vértices
𝑣1 = (ℎ, 𝑘 + 𝑎) → (0, 3 + 3 )
→ (𝟎, 𝟔)
𝑣2 = (ℎ, 𝑘 − 𝑎) → (0, 3 − 3) → (𝟎, 𝟎)
𝑏1 = (ℎ + 𝑏, 𝑘) → (0 + 2, 3) → (𝟐 , 𝟑)
𝑏2 = (ℎ − 𝑏, 𝑘)
→ (0 − 2, 3) → (−𝟐 , 𝟑)
Coordenadas de los focos
𝐹1 = (ℎ, 𝑘 + 𝑐) → (0, 3 + 2.23) → (𝟎, 𝟓. 𝟐𝟑)
𝐹2 = (ℎ, 𝑘 − 𝑐) → (0, 3 − 2.23) → (𝟎, 𝟎. 𝟕𝟕)
Gráfica
13
Respuesta
 Coordenadas del centro
𝑪 = (𝟎, 𝟑)
 Coordenadas de los vértices
𝒗𝟏 = (𝟎, 𝟔) 𝒗𝟐 = (𝟎, 𝟎) 𝑩𝟏 = (𝟐, 𝟑) 𝑩𝟐 = (−𝟐, 𝟑)
 Coordenadas de los focos
𝒇𝟏 = (𝟎, 𝟓. 𝟐𝟑)
𝒇𝟐 = (𝟎, 𝟎. 𝟕𝟕)
 La excentricidad
𝑒=
𝑐
𝑎
→
𝒆=
√𝟓
𝟑
 Comprobación Geogebra
14
e). 2(𝑦 − 4)2 − 3(𝑥 − 5)2 = 1
2(𝑌 − 4)2 3(𝑋 − 5)2
−
=1
1
1
(𝑌 − 4)2 (𝑋 − 5)2
−
=1
1
1
2
3
(𝑦 − 𝑘)2 (𝑥 − ℎ)2
−
𝑎2
𝑏2
Coordenadas del centro
−ℎ = −5 → (−1) − ℎ = (−1) − 5 → 𝒉 = 𝟓
−𝑘 = −4 → (−1) − 𝑘 = (−1) − 4 → 𝒌 = 𝟒
𝒉=𝟐 𝒚 𝒌=𝟏
𝐶 = (ℎ, 𝑘)
𝑪 = (𝟓, 𝟒)
Distancia focal
15
𝑎2 =
1
1
→ √𝑎2 = √ → 𝒂 ≈ 𝟎. 𝟕𝟎
2
2
𝑏2 =
1
3
→ √𝑏 2 = √
1
→ 𝒃 ≈ 𝟎. 𝟓𝟖
3
𝒂 ≈ 𝟎. 𝟕𝟎 𝒚 𝒃 ≈ 𝟎. 𝟓𝟖
𝑐 = √𝑎 2 + 𝑏 2
1 1
𝑐= √ +
2 3
𝑐= √
𝑐=√
3+2
6
5
6
𝟓
𝒄 = √𝟔 ≈ 𝟎. 𝟗𝟏 Distancia focal
Coordenadas de los vértices
𝑣1 = (ℎ, 𝑘 + 𝑎) → (5, 4 + 0.70 )
→ (𝟓, 𝟒. 𝟕𝟎)
𝑣2 = (ℎ, 𝑘 − 𝑎) → (5, 4 − 0.70) → (𝟓, 𝟑. 𝟑𝟎)
𝑏1 = (ℎ + 𝑏, 𝑘) → (5 + 0.58, 4) → (𝟓. 𝟓𝟖 , 𝟒)
𝑏2 = (ℎ − 𝑏, 𝑘)
→ (5 − 0.58, 4) → (𝟒. 𝟒𝟐 , 𝟒)
Coordenadas de los focos
16
𝐹1 = (ℎ, 𝑘 + 𝑐) → (5, 4 + 0.91) → (𝟓, 𝟒. 𝟗𝟏)
𝐹2 = (ℎ, 𝑘 − 𝑐) → (5, 4 − 0.91) → (𝟓, 𝟑. 𝟎𝟗)
Gráfica
Respuesta
 Coordenadas del centro
𝑪 = (𝟓, 𝟒)
 Coordenadas de los vértices
𝒗𝟏 = (𝟓, 𝟒. 𝟕𝟎) 𝒗𝟐 = (𝟓, 𝟑. 𝟑𝟎) 𝑩𝟏 = (𝟓. 𝟓𝟖, 𝟒) 𝑩𝟐 = (𝟒. 𝟒𝟐, 𝟒)
 Coordenadas de los focos
𝒇𝟏 = (𝟓, 𝟒. 𝟗𝟏)
 La excentricidad
𝒇𝟐 = (𝟓, 𝟑. 𝟎𝟗)
17
𝑐
𝑒=
𝑎
→
𝒆=
√𝟓
𝟔
√𝟏
𝟐
 Comprobación Geogebra
Tarea 2. En el siguiente problema debe completar cuadrados para obtener la cónica en la forma
canónica (comprobar con Geogebra):
a). 𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑦 + 2𝑦 − 15 = 0
𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑦 + 2𝑦 − 15 = 0
𝑥 2 + 8𝑦 + 𝑦 2 − 15 = 0
𝑥 2 + 𝑦 2 + 8𝑦 = 15
Para completar cuadrados con respecto a y agregamos 16 a ambos lados de la igualdad
𝑥 2 + (𝑦 2 + 8𝑦 + 16) = 15 + 16
Resolviendo esto nos queda
𝑥 2 + (𝑦 + 4)2 = 15 + 16
𝑥 2 + (𝑦 + 4)2 = 31
18
Ahora utilizamos la ecuación del círculo con radio r y centro (a, b),
(𝑥 + 𝑎)2 + (𝑦 + 𝑏)2 = 𝑟 2
Remplazamos estos valores
(𝑥 + 0)2 + (𝑦 + 4)2 = √31
Por lo tanto las propiedades del circulo son (a,b)=(0,4),r=√31
 Comprobación Geogebra
b). 2𝑦 2 − 2𝑥 + 2𝑦 + 9 = 0
2𝑦 2 − 2𝑥 − 2𝑦 + 9 = 0
Para resolver esta ecuación utilizamos la ecuación de la parábola
4𝑝(𝑥 − ℎ) = (𝑦 − 𝑘)2
2𝑥 = 2𝑦 2 − 2𝑦 + 9
19
Dividimos por 2 toda esta ecuación y nos queda
2𝑥 2𝑦 2 2𝑦 9
=
−
+
2
2
2 2
Nos queda
𝑥 = 𝑦2 − 𝑦 +
9
2
Utilizamos la siguiente formula que dice
𝑥 2 + 2𝑎 + 𝑎2
𝑦2 − 𝑦 +
9
2
2𝑎 = −1
1
𝑎 = −2
1
1 2
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑎 = − 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 (− ) 𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠
2
2
9
1 2
1 2
𝑥 = 𝑦 − 𝑦 + + (− ) + (− )
2
2
2
2
1 2
1 2 9
𝑥 = 𝑦 − 𝑦 + (− ) − (− ) +
2
2
2
2
1 2 1 9
𝑥 = (𝑦 − ) − +
2
4 2
1 2 17
𝑥 = (𝑦 − ) +
2
4
Despejando esto nos queda
20
17
1 2
𝑥−
= (𝑦 − )
4
2
Rescribiendo en la formula estándar
17
1 2
𝑥−
= (𝑦 − )
4
2
Rescribiendo la formula estándar
1
17
1 2
4 ∗ (𝑥 − ) = (𝑦 − )
4
4
2
Por lo tanto, las propiedades de la parábola son
17 1
1
(ℎ, 𝑘) = ( , ) , 𝑝 =
4 2
4
 Comprobación Geogebra
21
c). 𝑥 2 + 𝑦 2 + 16𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0
𝑥 2 + 𝑦 2 − 16𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0
Para resolver esta ecuación utilizamos la ecuación del círculo con radio r y centro
(a, b), (x + a)2 + (y + b)2 = r 2
Primero completamos los cuadrados
𝑥 2 − 16𝑥 + 64 + 𝑦 2 + 2𝑦 + 1 = 64
(𝑥 − 8)2 + (𝑦 + 1)2 = 64
Por lo tanto las propiedades del círculo son
(𝑎, 𝑏) = (8, −1), 𝑟 = 8
 Comprobación Geogebra
22
d). 5𝑥 2 + 9𝑦 2 + 20𝑥 − 36𝑦 − 369 = 0
5𝑥 2 + 9𝑦 2 + 20𝑥 − 36𝑦 − 369 = 0
Para resolver esta ecuación utilizamos la ecuación de la elipse con centro fuera del origen, centro
(h, k) y a, b son los semiejes mayor o menor
(𝑥 + ℎ)2 (𝑦 + 𝑘)2
+
=1
𝑎2
𝑏2
5𝑥 2 + 9𝑦 2 + 20𝑥 − 36𝑦 − 369 = 0
Primeramente, factorizamos los términos semejantes
5(𝑥 2 + 4𝑥) + 9(𝑦 2 − 4𝑦) = 369
5𝑥 2 + 20𝑥 + 20 − 36𝑦 + 9𝑦 2 + 36 = 369 + 20 + 36
5(𝑥 2 + 4𝑥 + 4) + 9(𝑦 2 − 4𝑦 + 4) = 425
5(𝑥 2 + 4𝑥 + 4) 9(𝑦 2 − 4𝑦 + 4) 425
+
=
9∗5
9∗5
9∗5
(𝑥 2 + 4𝑥 + 4) (𝑦 2 − 4𝑦 + 4) 425
+
=
9
5
9∗5
(𝑥 + 2)2 (𝑦 − 2)2
425
+
=
9
5
9∗5
(𝑥 + 2)2 (𝑦 − 2)2 85
+
=
9
5
9
85
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒
𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑜
9
1
1
85
(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 2)2 =
9
5
9
1
1
85
(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 2)2 =
9
5
9
23
1
9 (𝑥 + 2)2 +
85
9
1
85
5 (𝑦 − 2)2 = 9
85
85
9
9
1
425
(𝑦 − 2)2 = 1
(𝑥 + 2)2 +
85
9
(𝑥 + 2)2 (𝑦 − 2)2
+
=1
425
85
9
(𝑥 + 2)2
√85
(𝑥 + 2)2
√85
+
+
(𝑦 − 2)2
√425
9
(𝑦 − 2)2
5√17
3
=1
=1
𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑠𝑜𝑛:
(ℎ, 𝑘) = (2, −2), 𝑎 = √85, 𝑏 =
 Comprobación Geogebra
5√17
3
24
e). 25𝑥 2 + 16𝑦 2 + 150𝑥 + 128𝑦 − 1119 = 0
25𝑥 2 + 16𝑦 2 + 150𝑥 + 128𝑦 − 1119 = 0
Para resolver esta ecuación utilizamos la ecuación de la elipse con centro fuera del origen,
centro (h, k) y a, b son los semiejes mayor o menor
(𝑥 + ℎ)2 (𝑦 + 𝑘)2
+
=1
𝑎2
𝑏2
25𝑥 2 + 16𝑦 2 + 150𝑥 + 128𝑦 − 1119 = 0
Primeramente, factorizamos los términos semejantes
25𝑥 2 + 150𝑥 + 16𝑦 2 + 128𝑦 − 1119 = 0
25(𝑥 2 + 6𝑥) + 16(𝑦 2 + 8𝑦) = 1119
25(𝑥 2 + 6𝑥 + 9) + 16(𝑦 2 + 8𝑦 + 16) = 1119
25(𝑥 2 + 6𝑥 + 9) + 16(𝑦 2 + 8𝑦 + 16) = 1119 + 225 + 256
25(𝑥 2 + 6𝑥 + 9) + 16(𝑦 2 + 8𝑦 + 16) = 1600
25(𝑥 + 3)2 + 16( 𝑦 + 4)2 = 1600
Dividimos todo esto entre 400
25(𝑥 + 3)2 16( 𝑦 + 4)2 1600
+
=
400
400
400
(𝑥 + 3)2 ( 𝑦 + 4)2
+
=4
16
25
1
16
1
16
4
1
(𝑥 + 3)2 + 25 ( 𝑦 + 4)2 = 4
(𝑥 + 3)2 +
1
25
4
4
( 𝑦 + 4)2 = 4
Dividimos todo esto entre 4
25
1
64
1
(𝑥 + 3)2 + 100 ( 𝑦 + 4)2 = 1
(𝑥 + 3)2 ( 𝑦 + 4)2
+
=1
64
100
(𝑥 + 3)2 ( 𝑦 + 4)2
+
=1
(8)2
(10)2
𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑠𝑜𝑛:
(ℎ, 𝑘) = (−3, −4), 𝑎 = 8, 𝑏 = 10
 Comprobación Geogebra
Tarea 3. Encontrar la ecuación canónica de una elipse cuyos vértices son respectivamente:
a). 𝑣1 = (−3; −2), 𝑣2 = (5; −2), 𝑣3 = (1; −7), 𝑣4 = (1; 3)
Primero buscamos sus elementos.
26
(Al analizar los vértices podemos notar que es una elipse vertical)
*El centro (C) podemos hallarlo de los puntos comunes de los vértices
C = (1,-2)
Donde h = 1 y k = -2
Ahora, sabemos que los valores de los puntos (a, b, c) son
a = Eje mayor/2
b = Eje menor/2
c2 = a2 – b2
𝑎=
𝑏=
3+7
2
5+3
2
=5
(Aquí ponemos 7 y no -7 pues se suman los valores absolutos de los puntos)
= 4 (Aquí ponemos 3 y no -3 pues se suman los valores absolutos de los puntos)
c2 = 25 – 16
c2 = 9
c=3
(Para encontrar los puntos del foco solo sumamos o restamos el valor de c al punto C
F1= ((1, (-2+3)), F2= ((1,(-2-3); F1= (1, 1),
La ecuación canónica para una elipse vertical es
(𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2
+
=1
𝑏2
𝑎2
Entonces remplazamos y tenemos
(𝑥 − 1)2 (𝑦 + 2)2
+
=1
(4)2
(5)2
F2= (1,-5)
27
(𝑥 − 1)2 (𝑦 + 2)2
+
=1
16
25
 Comprobación Geogebra
b). 𝑣1 = (4; −1), 𝑣2 = (−2; −1), 𝑣3 = (1; 1), 𝑣4 = (1; 3)
Primero buscamos sus elementos.
(Al analizar los vértices podemos notar que es una elipse horizontal)
*El centro (C) podemos hallarlo de los puntos comunes de los vértices.
C = (1,-1)
Donde h = 1 y k = -1
Ahora, sabemos que los valores de los puntos (a, b, c) son
28
a = Eje mayor/2
b = Eje menor/2
c2 = a2 – b2
𝑎=
𝑏=
4+2
2
1+3
2
=3
(Aquí ponemos 2 y no -2 pues se suman los valores absolutos de los puntos)
= 2 (Aquí ponemos 3 y no -3 pues se suman los valores absolutos de los puntos)
c2 = 9 - 4
c2 = 5
c = √5
(Para encontrar los puntos del foco solo sumamos o restamos el valor de c al punto C
F1=((1+√5), -1),
F2=((1-√5), -1)
La ecuación canónica para una elipse horizontal es
(𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2
+
=1
𝑎2
𝑏2
Entonces remplazamos y tenemos
(𝑥 − 1)2 (𝑦 − (−1))2
+
=1
(3)2
(2)2
(𝑥 − 1)2 (𝑦 + 1)2
+
=1
9
4
 Comprobación Geogebra
29
c). 𝑣1 = (0; 6), 𝑣2 = (4; 6), 𝑣3 = (2; 0), 𝑣4 = (2; 12)
Primero buscamos sus elementos.
(Al analizar los vértices podemos notar que es una elipse vertical)
*El centro (C) podemos hallarlo de los puntos comunes de los vértices
C = (2,6)
Donde h = 2 y k = 6
Ahora, sabemos que los valores de los puntos (a, b, c) son
a = Eje mayor/2
b = Eje menor/2
c2 = a2 – b2
𝑎=
𝑏=
12+0
2
4+0
2
=6
=2
c2 = 36 – 4
c2 = 32
30
c = √32 (Para encontrar los puntos del foco solo sumamos o restamos el valor de c al punto C
F1= ((2, (6+√32)), F2= ((2,( 6-√32))
La ecuación canónica para una elipse vertical es
(𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2
+
=1
𝑏2
𝑎2
Entonces remplazamos y tenemos
(𝑥 − 2)2 (𝑦 − 6)2
+
=1
(2)2
(6)2
(𝑥 − 2)2 (𝑦 − 6)2
+
=1
4
36
 Comprobación Geogebra
31
d). 𝑣1 = (√6; 0; ), 𝑣2 = (−√6; 0), 𝑣3 = (0; √2), 𝑣4 = (0; −√2)
Primero buscamos sus elementos.
(Al analizar los vértices podemos notar que es una elipse horizontal)
*El centro (C) podemos hallarlo de los puntos comunes de los vértices.
C = (0,0)
Donde h = 0 y k = 0
Ahora, sabemos que los valores de los puntos (a, b, c) son
a = Eje mayor/2
b = Eje menor/2
c2 = a2 – b2
𝑎=
√6+√6
2
= √6
(Aquí ponemos √6 y no -√6 pues se suman los valores absolutos de los
puntos)
𝑏=
√2+√2
2
= √2 (Aquí ponemos √2 y no -√2 pues se suman los valores absolutos de los
puntos)
c2 = 6 - 2
c2 = 4
c = 2 (Para encontrar los puntos del foco solo sumamos o restamos el valor de c al punto C
F1=(0+2), 0), F2=((0-2), 0);
F1=(2, 0),
F2=(-2, 0);
La ecuación canónica para una elipse horizontal es
(𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2
+
=1
𝑎2
𝑏2
32
Entonces remplazamos y tenemos
(𝑥 − 0)2
(√6)2
𝑥2
√6
+
𝑦2
√2
+
(𝑦 − 0)2
(√2)2
=1
=1
 Comprobación Geogebra
e). 𝑣1 = (1; −2), 𝑣2 = (−1; −2), 𝑣3 = (0; −2 + √2), 𝑣4 = (0; −2 − √2)
Primero buscamos sus elementos.
(Al analizar los vértices podemos notar que es una elipse vertical)
*El centro (C) podemos hallarlo de los puntos comunes de los vértices
C = (0,-2)
33
Donde h = 0 y k = -2
Ahora, sabemos que los valores de los puntos (a, b, c) son
a = Eje mayor/2
b = Eje menor/2
c2 = a2 – b2
𝑎=|
−2−√2+2−√2
2
| = √2
(Como ambos valores son negativos, le resto al menor valor el mayor
valor y lo tomo como valor absoluto, por eso en vez de −√2 coloco √2
𝑏=
1+1
2
= 1 (Aquí ponemos 1 y no -1 pues se suman los valores absolutos de los puntos)
c2 = 2 – 1
c2 = 1
c = 1 (Para encontrar los puntos del foco solo sumamos o restamos el valor de c al punto C
F1= ((0, (-2+1)), F2= ((0,( -2-1)); F1= (0, -1), F2= (0,-3)
La ecuación canónica para una elipse vertical es
(𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2
+
=1
𝑏2
𝑎2
Entonces remplazamos y tenemos
(𝑥 − 0)2 (𝑦 − (−2))2
+
=1
(1)2
(√2)2
𝑥 2 (𝑦 + 2)2
+
=1
1
2
 Comprobación Geogebra
34
Tarea 4. Halle (si existe) los valores de “K”, que pertenecen a los reales positivos, para que las
siguientes ecuaciones corresponda a las ecuaciones de las circunferencias:
a).
2𝑘(𝑥−1)2
𝑘+1
5(𝐾−3)𝑦 2
3𝑘−1
+
5(𝑘−3)𝑦 2
=1−
3𝑘−1
=1
2𝑘(𝑥+1)2
𝐾+1
5(𝑘 − 3)𝑦 2 = 3𝑘 − 1 −
2𝑘(𝑥+1)2 (3𝑘−1)
𝑘+1
Esta ecuación no corresponde a una circunferencia
b). 𝐾𝑥 2 +𝑦 2 = −2𝐾𝑥
La ecuación no corresponde a una ecuación del círculo
Tarea 5. Realice los siguientes ejercicios de Geometría Analítica:
35
a). Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3, –2) y (5,2).
(𝑥1, 𝑥2) = (3, −2)
(𝑥2, 𝑦2) = (5,2)
𝑚=
𝑦2 − 𝑦1 2 − (−2)
=
=2
𝑥2 − 𝑥1
5−3
𝑦 − 𝑦2 = 𝑚(𝑥 − 𝑥2)
𝑦 − 2 = 2(𝑥 − 2)
𝑦 = 2𝑥 − 2
b). Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (–2; –4) y es paralela a la ecuación 3𝑥 −
𝑦+9=0
(𝑥1, 𝑦1) = (−2, −4)
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑚=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
3𝑥 − 𝑦 + 9 = 0
𝑦 = 3𝑥 + 9
𝑦 = 3(𝑥 + 3)
𝑦 − 0 = 3(𝑥 − (−3))
(𝑥2, 𝑦2) = (−3,0)
𝑦 + 4 = 3(𝑥 + 2)
c). Determine la ecuación de la recta perpendicular a 𝑥 − 5𝑦 + 10 = 0 y que pasa por el punto (2,
4).
36
5𝑦 = 𝑥 + 10
𝑦=
1
(𝑥 + 10)
5
1
(𝑦 − 0) = (𝑥 − (−10))
5
𝑚1 =
1
5
𝑚2 =
1
1
=
𝑚1 1
5
(𝑥2, 𝑦2) = (2,4)
𝑚=5
𝑦 − 𝑦2 = 𝑚2(𝑥 − 𝑥2)
𝑦 − 4 = 5(𝑥 − 2)
𝑦 = 5𝑥 − 6
d). Probar que los puntos A(–13, 6), B(–5, 21), C(2, –2) y D(10, 13) son los vértices de un
cuadrado... Dibujar el cuadrado.
En el punto 𝐴(−13, 6)
𝑥 = −13
En el punto 𝐵(−5, 21)
𝑦 = 21
En el punto 𝐶(2, −2)
𝑦 = −2
En el punto 𝐷(10, 13)
𝑥 = −13
37
Conclusiones
En el área de la geometría plana, es de vital importancia apelar a herramientas visuales que
condense la información matemática. Hoy día, gracias al avance de la tecnología y el desarrollo
de la computación, tenemos acceso a herramientas digitales que nos facilitan los procesos de
convertir información algebraica o numérica, a información gráfica.
En esta fase se tuvo por objetivo emplear diversos sistemas de representación para enriquecer el
significado de los objetos matemáticos propios del A-T-G-A, utilizando software de modelación
libre y comercial.
38
Podemos concluir que se logró el objetivo propuesto. En este caso, este trabajo apeló al uso de
herramientas como Geogebra para representar gráficamente el contenido teórico que se desarrolló
y construir así un conocimiento significativo y valioso.
Bibliografía
Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.:
Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 285 – 347. Recuperado de
http://hdl.handle.net/10596/11583
Ortiz, C. F. J. (2014). Matemáticas 3 (2a. ed.). México, D.F., MX: Larousse - Grupo
Editorial Patria. Páginas 48 – 140. Recuperado de
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=5&docID=11046371&tm
=1488213794691
39
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