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PROBLEMARIO UNIDAD 1-CÁLCULO VECTORIAL

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TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CUAUTLA
CÁLCULO VECTORIAL-AGOSTO-DICIEMBRE 2019
PROBLEMARIO UNIDAD 1
VECTORES EN EL ESPACIO
Competencias específicas:
Conoce y desarrolla las propiedades de las operaciones con vectores para resolver problemas de
aplicación en las diferentes áreas de ingeniería.
Determina ecuaciones de rectas y planos del entorno para desarrollar la capacidad de modelado
matemático.
Realice los ejercicios de manera clara y ordenada. Escribir todo el procedimiento. Se realizara en hojas blancas
tamaño carta.
Suma, resta y multiplicación por un escalar
b) Sea 𝑢 =< 2,3 > 𝑦 𝑣 =< −5,4 >. Encuentre a) 3u; b) u+v, c) v-u; d) 2u – 7v
a) Sea 𝑢 = −3𝑖 + 2𝑗 𝑦 𝑣 = 4𝑖 + 5𝑗. Encuentre 𝑎) 𝑢 + 𝑣; 𝑏) 𝑢 − 𝑣; 𝑐) 𝑣 − 𝑢; 𝑑) − 2𝑢 +
3𝑣; 𝑒) 2𝑢 − 3𝑣; 𝑓) 𝑢 + 2𝑣.
Vectores unitarios
En los siguientes ejercicios encuentre un vector unitario que tenga la misma dirección que el vector dado
𝑎) 𝑣 = 6𝑖 + 10𝑗
𝑏) 𝑣 = 4𝑖 − 6𝑗
𝑐) 𝑣 = 3𝑖 − 10𝑗
𝑑) − 3𝑖 − 8𝑗
𝑒) 𝑣 = 7𝑖 + 9𝑗
Determine si los vectores dados son ortogonales, paralelos o ninguno de los dos. Dibuje cada par.
𝑎) 𝑢 = 3𝑖 + 5𝑗; 𝑣 = −6𝑖 − 10𝑗
𝑏) 𝑢 = 2𝑖 − 3𝑗; 𝑣 = −9𝑖 + 6𝑗
𝑐) 𝑢 = 2𝑖 + 3𝑗; 𝑣 = 6𝑖 + 4𝑗
𝑑) 𝑢 = 2𝑖 − 4𝑗; 𝑣 = −𝑖 + 3𝑗
𝑒) 𝑢 = −2𝑖 + 9𝑗; 𝑣 = 6𝑖 + 10𝑗
Producto punto
Calcule el producto escalar de los dos vectores y el coseno del ángulo.
𝑎) 𝑢 = 𝑖 + 𝑗; 𝑣 = 𝑖 − 𝑗
𝑏) 𝑢 = 2𝑖 + 5𝑗; 𝑣 = 5𝑖 + 2𝑗
𝑐) 𝑢 = 2𝑖 + 5𝑗; 𝑣 = 5𝑖 − 2𝑗
𝑑) 𝑢 = 4𝑖 + 5𝑗; 𝑣 = 5𝑖 − 4𝑗
𝑒) 𝑢 = 7𝑖 + 9𝑗; 𝑣 = −8𝑖 + 9𝑗
Ángulos entre vectores
1. Calcula los ángulos interiores del triángulo ABC con :
A(-3,-3); B(2,-2); C(-4,-6)
2. Se dan los puntos A(2,4); B(5,2); C(7,3) calcular:
a) El ángulo formado por los vectores 𝑎⃗ y 𝑏⃗⃗
b) El ángulo CAB
3. Determine si el ángulo formado por 𝑎⃗ y 𝑏⃗⃗ es agudo, obtuso, o si los vectores son ortogonales.
a) 𝑎⃗ = (7,3,5), 𝑏⃗⃗ = (8, 4, −2)
b) 𝑎⃗ = (1,1, −1), 𝑏⃗⃗ = (0, 1,0)
c) 𝑎⃗ = (5,1,3), 𝑏⃗⃗ = (2, 0, −3)
d) 𝑎⃗ = (2,1,4), 𝑏⃗⃗ = (0, 2,1)
4. Dados 𝑎⃗ = (5,12)𝑦 𝑏⃗⃗ = (1, 𝑘)., donde k es un escalar, encuentre k tal que la medida en radianes
𝜋
del ángulo entre 𝑎⃗ y 𝑏⃗⃗ sea .
3
Producto cruz
Dados los s vectores 𝒖 𝒚 𝒗 , hallar el producto vectorial de 𝑢 × 𝑣
𝑎) 𝑢 = 𝑖 − 2𝑗 + 𝑘 𝑦 𝑣 = 3𝑖 + 𝑗 − 2𝑘
𝑏) 𝑢 =< 2, −3, 1 > 𝑦 𝑣 =< 1, −2, 1 >
𝑐) 𝑢 =< −6, −10, 4 > 𝑦 𝑣 =< 3, 5, −2 >
𝑑) 𝑢 = 2𝑖 + 4𝑗 − 5𝑘 𝑦 𝑣 = −3𝑖 − 2𝑗 + 𝑘
𝑒) 𝑢 = 4𝑖 + 𝑗 + 2𝑘 𝑦 𝑣 = −3𝑖 − 4𝑗 + 𝑘
ÁREA DE UN PARALELOGRAMO
1. Se dan los puntos A(4,1); B(7,3); C(2,3). Hallar un cuarto punto D de manera tal que el
cuadrilátero que formen ABCD sea un paralelogramo.(tres soluciones).
2. Tres vértices de un paralelogramo son (-1,2), (3,1), (1,5). Hállense el cuarto vértice ( tres
respuestas).
3. Tres vértices de un paralelogramo son (2,-1,3), (5,2,6), (-1,4,2). Hállense el cuarto vértice
4.
Encuentre el área del paralelogramo con los vértices adyacentes dados P(-2,1,0), Q(1,4,2) y R(-3,1,5)
5.
Calcule el área del paralelogramo con vértices adyacentes P(-2,1,1), Q(2,2,3) y R(-1,-2,4)
6.
Calcule el área del paralelogramo con vértices adyacentes P(1,4,-2), Q(-3,1,6) y R(1,-2,3)
7.
En las siguientes figuras:
a) Verifique que el cuadrilatero dado es un paralelogramo
b) Determine el área del paralelogramo
1.
VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO
Calcule el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑅 Y ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑆, donde, P=(2,1,-1), Q=(3,1,4), R(-1,0,2) y S=(-3,-1,5).
2.
3.
4.
5.
Determine el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas adyacentes los vectores dados. u=(1,2,1),
v=(-1,-1,0), w=(3,4,-1)
Calcule el volumen de paralelepípedo determinado por los vectores ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷 , donde A(2,1,-1), B(3,0,2),
C(4,-2,1), D(5,-3,0).
En el siguiente ejercicio, usar el triple producto escalar para encontrar el volumen del paralelepípedo que
tiene como aristas adyacentes, 𝑢 = 𝑖 + 𝑗, 𝑣 = 𝑗 + 𝑘, 𝑤 = 𝑖 + 𝑘.
En el siguiente ejercicio, usar el triple producto escalar para encontrar el volumen del paralelepípedo que
tiene como aristas adyacentes, 𝑢 =< 1, 3, 1 >, 𝑣 =< 0, 6, 6 >, 𝑤 =< −4, 0, −4 >.
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